复旦大学2023--2024学年第二学期(23级)高等代数II期末考试第七大题解答

七、(10分)  设 Vn 阶实矩阵全体构成的实线性空间, An 阶正定实对称阵. 对任意的 X,YV, 定义二元函数 (X,Y)=tr(XAY).

(1) 求证: (,)V 上的一个内积.

(2) 在上述内积下, V 成为一个欧氏空间. 设 P,QV, V 上的线性算子 φ 定义为 φ(X)=PXQ, 求 φ 的伴随算子.

(3) 求上述线性算子 φ 是正交算子的充要条件.

证明  本题是高代白皮书例 9.29 的轻微推广 (矩阵的 Frobenius 内积即为 A=In 的特例), 也与 2022 级高代 II 每周一题第 14 题密切相关.

(1.1) 对称性  利用矩阵迹的对称性:

(Y,X)=tr(YAX)=tr((YAX))=tr(XAY)=tr(XAY)=(X,Y).

(1.2) 第一变量的线性  利用矩阵迹的线性:

(c1X1+c2X2,Y)=tr((c1X1+c2X2)AY)=tr(c1X1AY)+tr(c2X2AY)=c1tr(X1AY)+c2tr(X2AY)=c1(X1,Y)+c2(X2,Y).

(1.3) 正定性  利用矩阵迹的正定性:

(X,X)=tr(XAX)=tr((XA12)(XA12))0,

等号成立当且仅当 XA12=O, 即当且仅当 X=O. 也可以考虑 X 的列分快 X=(α1,α2,,αn), 则

(X,X)=tr(XAX)=i=1nαiAαi0,

等号成立当且仅当所有的 αi=0, 即当且仅当 X=O.

(2) 利用矩阵迹的交换性, 可得如下等式:

(φ(X),Y)=tr(PXQAY)=tr(XQAYP)=tr(XA(A1QAYP))=tr(XA(PYAQA1))=(X,PYAQA1).

由伴随的唯一性即得 φ(Y)=PYAQA1.

(3) φ 是正交算子当且仅当 φφ=IV, 即当且仅当 PPYQAQA1=Y 对任意的 YV 成立. 令 Y=In, 可得 QAQA1=(PP)1. 因此上式可改写为 (PP)Y=Y(PP) 对任意的 YV 成立, 于是 PP=cIn(c>0), 从而 QAQA1=c1In, 即 QAQ=c1A. 反之, 当 PP=cIn 且 QAQ=c1A(c>0) 时, 容易验证 φ 满足 φφ=IV, 从而 φ 是正交算子. 

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