七、(10分) 设 V 是 n 阶实矩阵全体构成的实线性空间, A 是 n 阶正定实对称阵. 对任意的 X,Y∈V, 定义二元函数 (X,Y)=tr(XAY′).
(1) 求证: (−,−) 是 V 上的一个内积.
(2) 在上述内积下, V 成为一个欧氏空间. 设 P,Q∈V, V 上的线性算子 φ 定义为 φ(X)=PXQ, 求 φ 的伴随算子.
(3) 求上述线性算子 φ 是正交算子的充要条件.
证明 本题是高代白皮书例 9.29 的轻微推广 (矩阵的 Frobenius 内积即为 A=In 的特例), 也与 2022 级高代 II 每周一题第 14 题密切相关.
(1.1) 对称性 利用矩阵迹的对称性:
(Y,X)=tr(YAX′)=tr((YAX′)′)=tr(XA′Y′)=tr(XAY′)=(X,Y).
(1.2) 第一变量的线性 利用矩阵迹的线性:
(c1X1+c2X2,Y)=tr((c1X1+c2X2)AY′)=tr(c1X1AY′)+tr(c2X2AY′)=c1tr(X1AY′)+c2tr(X2AY′)=c1(X1,Y)+c2(X2,Y).
(1.3) 正定性 利用矩阵迹的正定性:
(X,X)=tr(XAX′)=tr((XA12)(XA12)′)≥0,
等号成立当且仅当 XA12=O, 即当且仅当 X=O. 也可以考虑 X′ 的列分快 X′=(α′1,α′2,⋯,α′n), 则
(X,X)=tr(XAX′)=n∑i=1αiAα′i≥0,
等号成立当且仅当所有的 αi=0, 即当且仅当 X=O.
(2) 利用矩阵迹的交换性, 可得如下等式:
(φ(X),Y)=tr(PXQAY′)=tr(XQAY′P)=tr(XA(A−1QAY′P))=tr(XA(P′YAQ′A−1)′)=(X,P′YAQ′A−1).
由伴随的唯一性即得 φ∗(Y)=P′YAQ′A−1.
(3) φ 是正交算子当且仅当 φ∗φ=IV, 即当且仅当 P′PYQAQ′A−1=Y 对任意的 Y∈V 成立. 令 Y=In, 可得 QAQ′A−1=(P′P)−1. 因此上式可改写为 (P′P)Y=Y(P′P) 对任意的 Y∈V 成立, 于是 P′P=cIn(c>0), 从而 QAQ′A−1=c−1In, 即 QAQ′=c−1A. 反之, 当 P′P=cIn 且 QAQ′=c−1A(c>0) 时, 容易验证 φ 满足 φ∗φ=IV, 从而 φ 是正交算子. □
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