复旦高等代数I（23级）每周一题

本学期的高等代数每周一题活动计划从第2教学周开始，到第15教学周结束，每周的周末公布1道思考题（共14道，思考题一般与下周授课内容密切相关），供大家思考和解答。每周一题将通过“高等代数官方博客”（以博文的形式）和“23级高等代数在线课群”（以课群话题的形式）这两个渠道同时发布。有兴趣的同学可将每周一题的解答写在纸上，用手机APP或微信小程序扫描（推荐夸克扫描王或扫描全能王，请不要直接用手机拍照，这样的图片像素太高不利于浏览），并将扫描图片上传到每周一题对应的课群话题中。本人会定期对每周一题的解答进行批改，并将优秀解答标记出来推荐给全班同学。

[问题2023A01]  设 $abc\neq 0$, 求下列行列式的值:

$$|A|=\begin{vmatrix} a+b & a^{-1}+b^{-1} & (a+b)^2+(a^{-1}+b^{-1})^2 \\ b+c & b^{-1}+c^{-1} & (b+c)^2+(b^{-1}+c^{-1})^2 \\ c+a & c^{-1}+a^{-1} & (c+a)^2+(c^{-1}+a^{-1})^2 \\ \end{vmatrix}.$$

[问题2023A02]  设 $n$ 阶行列式 $|A|$ 的第 $(i,j)$ 元素 $a_{ij}=\mathrm{C}_{ni}^j\,(1\leq i,j\leq n)$, 试求 $|A|$ 的值.

[问题2023A03]  设 $n$ 阶方阵 $H=(a_{ij})$, 其中 $a_{ij}=\dfrac{1}{i+j-1}$, 称这样的矩阵为 $n$ 阶 Hilbert 矩阵. 求证: $H^{-1}$ 是整数矩阵, 即 $H^{-1}$ 的每个元素都是整数.

[问题2023A04]  设 $n$ 阶三对角矩阵

$$A=\begin{pmatrix} 2a & 1 & & & \\ a^2 & 2a & 1 & & \\ & \ddots & \ddots & \ddots & \\ & & \ddots & 2a & 1 \\ & & & a^2 & 2a \\ \end{pmatrix},$$

其中 $a\neq 0$. 请用初等变换法求 $A^{-1}$.

[问题2023A05]  设 $A$ 为 $n$ 阶实方阵, 证明: $\mathrm{tr}(A^2)\geq -\mathrm{tr}(AA')$, 并求等号成立的充要条件.

[问题2023A06]  设数域 $\mathbb{K}$ 上的 $n$ 阶方阵

$$A=\begin{pmatrix} & c_1 & & \\ & & \ddots & \\ & & & c_{n-1} \\ c_n & & & \\ \end{pmatrix},$$

证明: $|I_n+A+\cdots+A^{n-1}|=(1-c)^{n-1}$, 其中 $c=c_1c_2\cdots c_n$. 

[问题2023A07]  设有 $n$ 本不同的书, 有 $n+1$ 个人读且每人至少读 1 本. 证明: 存在两组不同的人, 使得这两组人读过书的种类相同.

注  参考高代教材第四版推论 3.5.1.

[问题2023A08]  设 $S=\{(a,b)\in\mathbb{R}^2\mid a^2+b^2=1\,\text{且}\,b\neq 1\}$, 定义映射 $\varphi:S\to\mathbb{R}$, $\varphi(a,b)=\dfrac{a}{1-b}$.

(1) 验证 $\varphi:S\to\mathbb{R}$ 是一个双射;

(2) 请在 $S$ 上定义加法 $\oplus$ 和数乘 $\circ$, 使 $(S,\oplus,\circ)$ 成为实数域 $\mathbb{R}$ 上的线性空间, 且 $\varphi:S\to\mathbb{R}$ 成为线性同构.

注  参考 [问题2021A10].

[问题2023A09]  设 $A$ 为 $n\,(n\geq 2)$ 阶复方阵, 求证: 存在 $n$ 阶复方阵 $B$, 使得 $B^*=A$ 的充要条件是 $\mathrm{r}(A)=n$ 或 $\mathrm{r}(A)\leq 1$.

[问题2023A10]  请分别用代数方法和几何方法证明以下结论:

设 $A\in M_{m\times n}(\mathbb{K})$, 证明: 存在 $B\in M_{n\times m}(\mathbb{K})$, 使得 $ABA=A$, $BAB=B$.

注  本题是高代白皮书第四版例 3.93 和例 4.3 的略微推广.

[问题2023A11]  设 $f(x)=a_nx^n+\cdots+a_1x+a_0$ 是数域 $\mathbb{K}$ 上的 $n$ 次不可约多项式, $c$ 是一个复数.

(1) 若 $c$ 和 $c^{-1}$ 都是 $f(x)$ 的复根, 求 $f(x)$ 的系数满足的关系;

(2) 若 $c$ 和 $-c$ 都是 $f(x)$ 的复根, 求 $f(x)$ 的系数满足的关系.

[问题2023A12]  请用一元多项式的方法证明: 设 $A,B$ 为 $n$ 阶实方阵, 且存在 $n$ 阶非异复方阵 $Q$, 使得 $B=Q^{-1}AQ$, 则必存在 $n$ 阶非异实方阵 $P$, 使得 $B=P^{-1}AP$.

[问题2023A13]  证明: 整系数多项式 $2x^4-3x^3+7x^2+6x-18$ 在有理数域 $\mathbb{Q}$ 上不可约.

[问题2023A14]  设 $f(x)$ 是 $n$ 次整系数多项式, 且存在 $n+1$ 个不同的整数 $a_1,\cdots,a_{n+1}$, 使得 $|f(a_i)|=1\,(1\leq i\leq n+1)$. 证明: $f(x)$ 在有理数域 $\mathbb{Q}$ 上不可约.