谢启鸿谈“高等代数学习的提高与进阶”
高中数学的学习与大学数学的学习有何不同？这个问题涉及到高中数学与大学数学之间的衔接，对于数学学院大一新生尽快转变思维方式，顺利进入数学专业基础课（数学分析、高等代数和解析几何）的学习尤为重要。
以高等代数课程为例，通常每周会安排4学时的正课以及2学时的习题课。在正课上，任课教师会讲解课本中的概念、定理和理论，逐步构建高等代数知识体系。在课后，学生通过复习课本和做习题来加深对概念和定理的理解，掌握定理和理论的初步应用等。在习题课上，任课教师会讲解学生习题中的错误以及一些典型例题，帮助学生总结解题方法和技巧等。
上述课程安排称为基础阶段。从表面上看与高中数学并无很大差别，但高等代数思想理论深刻、方法技巧繁多，因此仅停留在基础阶段是远远不够的，要学好高等代数必须主动迈入提高阶段。这就是选择一本优质的高等代数学习指导书，在课后通过“刷题”的方式，深入理解和掌握高等代数中的重要思想、方法和技巧。
提高阶段应该是高中学习与大学学习之间的分水岭。与高中“填鸭式”教学不同，大学教学其实是“师傅领进门、修行靠个人”，尤其强调“自主学习”。因此，如何选择高等代数学习指导书？如何正确打开“刷题”的方式？如何深入理解和掌握重要的思想、方法和技巧呢？
这里向大家郑重推荐复旦大学高等代数学习指导书——《高等代数（第四版）》，因为封面为白色，所以被称为“高代白皮书”，深受全国各地数学学子们的喜爱与推崇。下面将从四个方面介绍高代白皮书在提高阶段起到的作用。
一、“刷方法”比“刷题”更重要
常见的高代学习指导书一般都是将大量的例题按照章节内容堆垒在一起，突显“刷题”的重要性，这也与高中的“题海战术”一脉相承。然而高代白皮书在主题的划分和例题的选取上主要按照方法和技巧进行分类。例如，每一章的第一节是基本概念，最后一节是基础训练，中间的每一节基本上都是在讲述一种方法。因此，高代白皮书与其说是在“刷题”，不如说是在“刷方法”，它强调了思想、方法和技巧在高等代数学习中发挥的重要作用。
二、“方法技巧的归纳总结”让大家飞得更高、看得更远
高代白皮书特别注重方法技巧的归纳总结。首先，在每一节的开始部分或在某些例题解答之后的备注中，都会对相同类型问题的解题方法和技巧作一归纳和总结。其次，在讲述大型主题时，先将所有的方法列出，后续章节再逐步补充完整。再次，若某一主题的内容过于庞大，则细分成若干个小节进行详细的阐述。最后，对特别重要的主题，归纳总结与例题精讲往往不惜笔墨。因此，高代白皮书关于方法技巧的归纳总结使大家能够举一反三、触类旁通，避免陷于题海战术之中。
三、“贵精不贵多”，典型例题串联起知识点的完整总结和方法技巧的完整应用
高代白皮书精讲典型例题830余道（数量不算多），给出了许多重要知识点相关性质的完整总结，比如 §2.6 伴随矩阵和 §2.7 矩阵迹的性质等。另外，许多重要思想方法的应用虽然分散在各章节中，但只要大家通篇阅读之后仍然可将它们连线串珠、合为一体。比如阐述了 §2.11 摄动法的原理之后，在后面的章节中陆续给出了20个应用。
高代白皮书还有一个特色是，通过一道典型例题串联起相关方法技巧的完整应用。例如，
$$A=\begin{pmatrix} a_1^2 & a_1a_2+1 & \cdots & a_1a_n+1 \\ a_2a_1+1 & a_2^2 & \cdots & a_2a_n+1 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_na_1+1 & a_na_2+1 & \cdots & a_n^2 \\ \end{pmatrix},$$
例2.67 → 例3.74 → 例6.22 → 例8.9 → 例8.9（第530页，由特征值得到正负惯性指数）。上述矩阵串联起了行列式的降阶公式、秩的降阶公式、特征值的降阶公式和正负惯性指数的降阶公式。
四、“知行合一”，高等代数学习的进阶秘诀
首先，谈一下高代白皮书的使用方法。因为它不是“以做题为目的”的习题集，而是“以讲解方法技巧为主旨”的学习指导书，所以建议大家第一遍先精读高代白皮书，即通过典型例题去学习对应的方法技巧，一些较难的例题可以暂时略过。当第二遍或第三遍读高代白皮书时，可以尝试自行给出某些例题的解答。
其次，方法技巧的熟练掌握必须通过做题来实现。正如数学家 Halmos 所言：“The best way to learn Mathematics is to do Mathematics”，即学数学的最佳途径就是做数学。因此在精读高代白皮书之后，需要做一定数量的练习题加以巩固。大家可以做高代白皮书每章的基础训练题，也可以做《复旦大学高等代数习题集》，里面收录了历届高等代数每周一题、期末考试压轴大题和期中考试精选大题等。
最后，数学是一门强调“知行合一”的学问，即通过学习数学知识来解决问题，也通过解决问题来发展数学理论。因此，“知行合一”也是高等代数学习的进阶秘诀。希望大家能利用好高代白皮书，早日找到适合自己的学习方法，并在高等代数的学习中取得优异的成绩！
