复旦大学数学学院 22 级本科生对每周一题的评价
22级 张家溢
感谢谢帅的邀请，非常荣幸能够分享自己在高代学习之中之中的一些体会。
与日常作业不同，每周一题是谢帅根据当前学习进度的知识点所发布的习题，属于课外拓展性质，涵盖了整个大一的高代知识，涉及行列式、特征值计算、线性空间等内容，可以视作整个高代的浓缩和提炼，除了我自己这一届的每周一题，我还经常在谢帅博客上查找往届的每周一题，可以说每周一题是我学习高代最重要的资源之一。刚开始的时候，我以为每周一题都是那种让人抓耳挠腮的难题，但实际上做多了以后，我发现这些题目都是根据白皮书上的例题或者方法演变出来的，换言之，只需要从白皮书上寻找到合适的方法，切中肯綮，每周一题往往迎刃而解。每周一题之间往往存在关联性，比如18级的[问题2019S12] 和19级的[问题2020S17]，就是同一种类型的题目，还有21级的[问题2022S11]可以视作22级[问题2023S09]的引理，视作考察特殊的半正定阵之间的Hadamard乘积的正定性，问题就能迎刃而解。
此外，每周一题也提供了一个思想交流碰撞的平台，我将解答上传到在线课群，同时也能看见别的同学的解答思路，对同一个问题可以从不同的角度展开思考，提出不同的方法，比如[问题2023S04]，同学们分别提供了完全特征向量系，Kronecker积等方法，这让我对高代的基础知识有了更深刻的理解和应用。同时，我们也能见到许多具有启发性的问题，比如[问题2023S11]在高代I期中考试压轴题中的应用，这就能够启示我们得到一种矩阵的秩的估计方法：对于矩阵A，它的秩大于等于A+A'正负惯性指数中的最大值，这就是一个相当有趣的估计方法。
翻阅白皮书是我花费时间最多的，我每一次翻阅都会思考这些题放在这个位置是否有深意，这道题是否有代数(几何)的方法，每看完一遍都能获得新的体会，可以说精读白皮书，对于提升高代水平而言，是一个相当快捷高效的方法。相较于绿皮书而言，白皮书以更深入的视野看待问题，结合各种经典题目，帮助我加深了对知识、方法、技巧的理解。比如关于实(复)正规矩阵的正交相似标准型问题，这算是大一时期我所接触的最难的内容之一，白皮和绿皮则是分别给出了几何和代数的解决办法，帮助我对这个问题有了更加直观的理解。还有矩阵的Jordan标准型理论，在白皮上也占据了相当重要的篇幅，这些高代上的重点难点在白皮书上都能找到十分全面详尽的解析和拓展。我认为看白皮书最为重要的就是要掌握基础性质的证明和明白题目与题目之间的关系，要理清楚哪些题目可以作为引理，哪些题目是对结论的应用，例如正规矩阵的正交相似标准型的证明中，就将问题拆解为Schur定理等若干个小问题，只有把这些统一起来才能看清楚问题的全貌。
与高中学习很不同的一点，在高代的学习之中，我们不仅在线下听讲，还能在线上对自己的高代实力进行加深和巩固，比如参与每周一题的讨论，在B站自主观看谢帅的视频进行补充学习，也能在各种平台（比如博客园，知乎）找到谢帅的文章。我在课下花的时间远比课堂时间多，线上经常听习题课教学视频，查看谢帅写过的文章，相较于有限的线下课堂，这些线上的资源对我的高代学习起到了更加重要的帮助，在线上自主学习，能够清晰地明白我自身所欠缺的板块，能够及时的对我所遗忘或者了解不深入的知识进行弥补，合理规划线上线下的学习，能够将自己的学习效率最大化。
最后，非常感激谢帅这一年的教导，很幸运能在大一就接触到谢帅这么好的老师，再一次祝谢帅身体健康，工作顺利！也祝每一位同学在高代课程上有着自己的感悟和体会。
22级 范倚天
很幸运能在大一的两个学期都选到谢帅的课，并在谢老师的高代混合式教学体系下完成了高等代数的学习。
高代混合式教学体系是很成功的教学实践，包括高代正课教学视频、高代习题课教学视频、高代每周一题，对应的资料是高代课本、白皮书、习题集。在高代正课中，谢老师讲解基本知识，板书整洁，思路清晰。习题课视频主要讲白皮书上的内容，是解题方法与解题技巧，适合周末看，对本周的学习内容进行拓展和拔高。每到周末，老师会发布每周一题，让大家应用所学知识解题。
我们这一届与往届的一个变化就是白皮书出了第四版。这一版白皮书条理更加清晰，在很多很重要而且题目很多的小节中，把每一节的题目按照解题方法进行分类，加入了总结性的陈述，让大家能够记住解题方法而不是仅仅记住题目本身。此外，第四版白皮书加入了很多题目（尤其是第七、八、九章，我感觉几乎把往年每周一题和期中期末考试题都加入了），使得内容更加充实。白皮书囊括了高代的各种解题方法，而通过这些方法，我们得以一窥代数学最本质的内容。如几何语言与代数语言的转化与互补，用代数方法推导的Jordan标准型和正交相似标准型更利于计算也更好理解，而用几何方法推导则更加本质。
习题课教学视频是对白皮书部分题目的讲解，有些只看文字解答看不懂的题可以看老师的讲解，不过我比较喜欢精读白皮书，因为可以更好地把握节奏。
白皮书上有些题目确实太富技巧性，我会很困惑于这是如何想到的。我一般会找同学讨论一下然后再问谢老师。在下课之后，老师往往不会马上走，而是留在教室里为同学们答疑解惑。针对有些技巧，老师会指出背后的意义，告诉我们这个方法是怎样得出的，这真的能给我一种醍醐灌顶的感觉。而对于另外一些技巧，老师会说这仅仅是技巧，对于高代的学习可能没有那么重要。谢老师真的特别特别好，不仅会回答我们数学学习上的问题，更会给同学们选课与生涯规划方面的指导。
关于每周一题，谢老师一般会在每周五下午一点半到两点半之间发出每周一题，每周一题的主题是近期学到的内容。我一般都是先看白皮书，掌握方法，再运用这些方法去做每周一题。每周一题很富有启发性和拓展性，让我能够把学到的知识进行巩固，将不同时期学到的知识进行联系，产生新的火花。此外，我还可以看到其他同学对每周一题的解答，大家的方法往往不同，让我能够以新的视角审视所学知识。当然，最重要的是，谢帅会密切关注大家的做题情况，给大家提供启发与指导。同学们对每周一题的参与热情也很高涨，比如，往往在谢帅发布题目的半个小时内，就能看到一些同学的解答，速度之快让人惊叹，为了跟上他们的速度，后来我也先做每周一题，再看白皮书。
总而言之，谢老师一年的高代课带领我们大一的新生走入了数学的大门，引领我们在数学之路上迈出了坚实一步。这一年的学习，我们学到的远远不只是高等代数，还有学习数学的思维与方法。在此衷心感谢谢老师认真负责的教学与深入浅出的指导，祝谢老师身体健康，工作顺利！
22级 李燊旭
很荣幸在大一一年能跟着谢启鸿教授学习高等代数，也因此对代数有了浓厚的兴趣，沉浸于欣赏它的美。
在这一年中，谢帅创建的高代教学体系对我的学习帮助与影响非常大，而给我最大震撼的莫过于白皮书。我在下学期精读白皮书，就是这本书让我仿佛打开了新世界的大门。精读这本书之后我才意识到，课上（或者说教材上）讲的东西只是代数学的入门，而白皮书则涉及到一些更精髓、更本质的东西。精读白皮书可以说是在逻辑与结构的海洋中遨游，对于对代数感兴趣的人来说那简直是至高的享受。比如我最喜欢的定理——线性映射维数公式（dim Imφ + dim Kerφ = dim V)，在白皮书上有对其几何意义的说明，比单纯的代数意义来的更美妙更透彻；又比如我最喜欢的一章，也是我觉得写得最好的一章：Jordan标准型的几何，里面从几何方法推出Jordan标准型，是教材上代数方法的补充与呼应，更是美妙至极，也更接近其本质。从方法上来说，白皮书尤其强调几何与代数方法的辩证统一：几何视角来的直观美妙，代数视角来的简洁优雅。有些推导更是同时使用几何与代数两种方法，体现了这两种视角之间的紧密关联，而这也是谢帅反复强调与重视的一点，更是我觉得想要学好高等代数所必需的一点。从结构上来说，白皮书中的内容有些是课本内容的补充与进阶（比如矩阵的左逆右逆，商空间，幂等变换与投影变换，矩阵的Kronecker积，一般数域上的Jordan标准型，Moore-Penrose广义逆等等），有些则是解题的特殊Technique（比如乘法可交换与多项式表示，乘法可交换诱导的同时性质等等）。我读下来一遍的感觉是谢帅并未对这两类内容作明显区分说明，但确实因为此我才对这些题目进行了更深的思考分类，由此对代数有了更深的体会（所以我才认为白皮书的最好食用方式是“读”不是“刷”）。客观上评价，白皮书是我目前见过写的最好的一本代数学习指导书，一本白皮书通关高等代数绝对不是玩笑。
说完了优点再来说说“缺点”。我认为白皮书里面有一些题目有点“过度技巧性”，也不排除是我理解的不够深的这种可能。华丽的技巧有时会让人们忽略对本质的思考，对内在逻辑的追求。但与数学竞赛的思想内核以及考查方式不谋而合，所以作为一本也为考研同学服务的指导书和大学生数学竞赛学习方法指导书籍，这个我看来的“缺点”反而成为了利器。
然后是每周一题。这些题目的难度都不小，十分有利于同学们在学习知识后对知识的运用训练，可以说是“听课—理解—运用”中运用环节不可或缺的一环。谢帅一开始想的应该是每周一题是读完白皮书后的“练手”，不过我大部分时候都是先忍着不看白皮书试着把每周一题做出来，做出来之后再去看白皮书会对白皮书上的内容有更深的理解。就题目来说，我觉得有些题目出得非常好，结论十分优雅，美妙而有趣，对知识点的考察也很全面。在这一年的每周一题活动中，我基本全程参与了，每次做每周一题都有一种莫名的兴奋感，可能是觉得所学的知识竟能如此强大有力，更可能是透过题目一窥其代数，几何内核与本质，由此对所学知识的理解与掌握更上一层楼。可以说我的代数基础打得还行，每周一题是其中很重要的原因。
总的来说，我的学习方法就是听课—做每周一题—读白皮书—做习题集上的部分题目，这个方法让我在打牢基础的同时也欣赏到了代数之美。平时充满乐观的我，最后一节课上也难免伤感，望着谢老师充满着爱与热情的双眸，想起了一句话---“这世界上的美丽有两种，一是深刻又动人的方程，一是你泛着倦意淡淡的笑容。”十分感谢谢帅一年的指导与关心，谢帅真的是我见过最最认真最最负责的老师。祝谢帅身体健康，科研顺利，桃李满天下～
22级 詹显
我非常荣幸能够成为谢老师的学生，在谢老师的指导下打下了较为坚实的高代基础。
谢老师精心出的每周一题质量极高，是一周教学内容的精华。许多题目难或者复杂，但其实所需的知识并未超出绿皮和白皮。它需要的是知识的融会贯通、深刻理解，或者是多个小结论的组装拼接。在读白皮书时，我一般是以看为主：看命题，看证明，再自己感悟一下思路就过了。由于白皮书内容丰富，一题一题做下来所需时间太多，也不现实。但以看为主的坏处就是，对于某些结论印象不够深刻，思路的理解或许也不够，因此适度的练手是必要的。我认为，每周一题就是一个非常好的检验自己学习成果的机会。说来惭愧的是，我的每周一题下谢老师经常给我留言“引用白皮书xx即可”。这是因为我对于白皮书某些结论并不熟悉，并未产生直接联想，而是自己又老老实实证了一遍。虽然花了不少时间，但结果其实是好的，因为自己证过的结论反而更不容易忘了。再者，当遇到比较难解的每周一题时，我也会去翻翻白皮书寻找灵感。有时就找到了解题的关键，或者我第一次读的时候遗漏的知识。这种边学边练的方式对于高代的学习有着莫大的帮助！
除此之外，谢老师的线上教学资源也给了我很大帮助，当我看白皮书或者听课遇到迷惑的点时，也可以通过视频多听几遍加深理解。还有就是厚厚的一本白皮书，里面不仅有丰富的结论和技巧，更有许多几何和代数的例子，帮助我们从两个角度去理解高代。还有一些正课内并未涉及的元素，帮助我们拓展延伸。令我印象最深的就是矩阵的Kronecker积，当时我正好在接触张量积，白皮书的这个章节给我提供了很具体的代数例子。
总之，感谢老师一年以来的付出！祝老师工作顺心！
22级 林鑫
我是转专业进入数院的，在转入之前就听闻谢帅的大名，到数院后非常有幸连续两学期上谢老师的高代课。
谢老师上课时一般会先介绍本节课的背景、要解决什么问题，然后按照一定的思路推导定理，有时候还会额外补充一些内容，像是其他相关的定理或者本节课的更高等的背景。如将正定阵看做点逼近半正定阵，代数与几何之间的转换这些，我自己也比较喜欢把学过的相关知识放在一起比较。就比如，内积空间这一章的 Gram-Schmidt 正交化方法提供了一种计算 Legendre 多项式的新方法。分析解法一般是先设 $n$ 次 Legendre 多项式是 $2n$ 次多项式的 $n$ 阶导数 $L_n(x)=R_{2n}^{(n)}(x)$，再利用 Legendre 多项式定义和分部积分公式逐次化简；而用 Gram-Schmidt 方法则是将基 $\{1,x,\cdots,x^n\}$ 正交化，几何直观更为明显些。又或是内积空间这一章本身与 Fourier 级数有比较大的联系，例如高代书上 Bessel 不等式与下面这个可积函数版本：
$$\sum_n\int_a^bf\overline{\varphi_n}\mathrm{d}x\leq \int_a^b|f|^2\mathrm{d}x,$$
其中 $\{\varphi_n\}$ 是一组标准正交基。好吧，好像有点扯远了…总之我是很喜欢谢老师的上课方式的，如果能多提一些代数和其它领域的联系就更好了（时间充足的话）。
课后的话，谢老师每周都会发布每周一题。每周一题的题目大多是有一定技巧性的题目，解答的方法都在课上或者白皮书里讲过，有些是定理的直接运用，有些则是定理推论及其应用。其中大部分题目我都有尝试去解决，其中有一些相对简单的题（如2022A07、2022A08、2023S06），我都是边码边想的，当然也有相对困难的题，要思考好一会儿，有时会在上下课路上想。如2022A12，我是在解几下课路上想到解法的，路上突然想到循环矩阵的行列式等于某个多项式在单位根取值之积这个结论，于是就想到利用 $n$ 阶代数数不可能为 $n-1$ 次有理多项式的根来解决。当然了，后面学了特征值之后，就可以寻找在 $\mathbb{Q}$ 上线性无关的 $\mathbb{C}$ 中的特征值来解决。总的来说，每周一题算是课后习题的补充，对定理的灵活使用和概念的理解有更高的要求。
此外，参与每周一题也方便与其他人交流想法，我除了发布自己的解答之外，还可以参考其他人的解答，有时候发现自己的解法太过繁琐，会去看看其他人的解答以改进自己的解法。还有，谢老师每次都会认真批改每周一题，会去指出每个人的不足之处，提醒我们检查错误或者提供思路改善解法。例如，我在2022A04最初的解答中使用了 Hardy 的不等式记号，但反而没有用处；在2022A05中把问题复杂化了，事实上只要两句话就能解决问题，我在受到提醒后立刻改正了问题。
除了每周一题，谢老师在线上还提供了正课教学视频、习题课教学视频还有博客等线上资源供我们学习（这里谢谢谢老师为我们提供人手一本习题集）。前者为我们在大一上的一小段非常时期的学习提供很大帮助；而习题课教学视频主要是白皮书的讲解和评注，便于我们学习白皮书的内容；博客则包含了大量高等代数学习资源。
再谈谈白皮书。正好它去年也更新了第四版，除了勘误，还加入了习题课视频包含的、而第三版白皮书未包含的内容（可能前者是白皮书第四版的初稿吧），这也方便我结合习题课视频学习白皮书。这本书包含了课上讲的所有基本概念与定理，以及大量教材上没有的定理的推论和各种运用。除了上课和作业，学习白皮书应该是我花时间最多的部分吧。与教材不同，白皮书更多的是从例题出发得到各种结论与计算方法，技巧性更强些，当然它还包含了一些教材跳过的内容，例如实矩阵的 Schur 定理，并用其推出实正规阵的正交相似标准型（教材好像把这放在课后习题里了）。总的来说，白皮书强化了我对概念的理解和对定理的灵活使用。
最后非常感谢谢帅，以及两位习题课老师这一学年来为我们带来的优秀的教学，祝各位老师身体健康、工作顺利！
21级转专业 肖竣严
我是转专业进入数院的。非常感谢谢老师的混合教学模式，让我们这些转专业的同学可以接触到丰富的学习资源，正常修读高代——谢老师的正课与习题课视频、高代绿皮书与白皮书、每周一题、教学论文与博客等，都非常值得反复观摩学习。
我在大一暑假将谢老师上传在b站的习题课视频刷了一遍，收获颇丰。每节习题课的末尾谢老师都会留下几道思考题，它们或是往年每周一题中的题目，或是往届期中期末考试题，或是大数赛的赛题，或是谢老师精心挑选、命制的题目；此时暂停视频，动笔推算，让自己尝试着将本堂课所学运用起来；有些较难的题目，在谢老师的博文中按图索骥，也能找到详细的解答。这些题目或是需要一些巧妙的观察，提炼出一条或几条关键信息，或是有更加深刻的背景，而运用当前知识便可以处理一些简单的情况——尝试思考与解答，对于提升高代水平、锻炼思维是很有帮助的。
谢老师的白皮书我也不知翻阅过多少遍，学习新课与复习备考时，总会再通览一遍，细读某些小节。白皮书第四版框架更加清晰，每节的小标题总结了这一节的核心内容，起到了提纲挈领的作用，对复习有很大帮助。白皮书的内容也相当丰富，有着相当多的方法与技巧，辅以详细的讲解与海量例题，是高代学习的宝库。记得大一线性代数的最后一节课，线代老师讲了“（可对角化）矩阵若两两交换则可同时对角化”的结论。当时觉得矩阵交换性非常神秘，后来看白皮书便如醍醐灌顶——谢老师从线性空间的视角，从矩阵交换有公共特征向量出发，一步一步揭开“交换性诱导的同时性质”的神秘面纱，并总结出了一个个专题，更加深入地讨论了相关话题，彻底解决了这一类问题（因此白皮书上和矩阵交换性相关的几节也是我最喜欢的部分）。另一个印象深刻的章节是（半）正定阵的性质，谢老师也非常自豪地说这一部分内容白皮书是总结最为全面的。从内积空间的角度来看（半）正定阵当然无甚特别，但（半）正定阵相关的许多矩阵论技巧也是相当重要的。我对这部分内容很陌生，白皮书则详细地总结了它们的性质，丰富了我们处理（半）正定阵的方法库。
每周一题活动是谢老师高代教学中非常有特色的一环。我参与了第一学期的每周一题活动，第二学期因为课业压力很遗憾没有参加。每周一题的题目是谢老师精挑细选的，因此都很有趣，不过难度也较大。很多题目并不是拼凑套路就能解答的，做每周一题也是在锻炼遇到新问题的解决能力。
最后，非常感谢各位老师的辛勤付出，祝老师们身体健康，工作顺利！
21级转专业 秦保睿
1、写在前面
作为转专业的学生，我在大一的时候已经接触到了谢老师的高等代数线上课程，只看得一两集，我便深深为谢老师生动形象的授课所吸引，可以说这是我在大一时最喜爱的一门课程；而今，我坐在电脑前打下这些文字的时候，颇觉得是某种缘分使然。可惜的是，在招生结束后，不少个人认为相当中肯的描述都已忘之脑后，因此以下的某些论述或许尚待商榷，但我想这“一家之言”或许也会有客观可取之处。
2、万丈高楼平地起——线上线下结合课程
在转入数学科学学院之前，我在 B 站上偶然发现了复旦的高代课程，尽管在高中我便已经开始接触高代知识，但苦于没有名师指引，当时我对高代理解并不是很深刻。而谢老师对各个定理深入浅出的讲解，极大的激发了我对这门课的兴趣，促使我踏上了高代的再学习之旅。
引人入胜的不只有谢老师娓娓道来的授课，还有复旦高等代数的课程安排——
开篇的第一章是行列式，在介绍行列式的过程中，引出了高代中第一个重要的方法，数学归纳法。作为一个“新定义运算”，用行列式相关的知识比较适合新生从高中数学过渡到大学数学，而在证明行列式的相关性质的过程中，频繁使用的不过是数学归纳法或者恒等变换这样朴实的方法，这样也不至于让新生对行列式相关的证明感到无所适从。经过一段简短的开场白之后，便进入了高等代数的第一个主题，解线性方程组，在这里出现了高等代数研究的重要对象——矩阵和线性方程组，在这里揭示了行列式的重要意义，并系统的回答了线性方程解的结构。而引入线性空间也带来了高代一中的高峰——线性变换和矩阵的关系。而正是基于这样的关系，即代数语言和几何语言的协调性，有限维线性空间的结构和其上线性变换的特点得到归纳，并极大的澄清了矩阵的性质。在简明扼要地阐述了多项式的一些性质之后，高代二提出的第一个问题是怎么尽可能简洁地描述一个线性变换，为此我们引入了特征值与标准型理论，这些理论揭示了一个复数域 $\mathbb{C}$ 上的线性变换在特定基下的表现。接下来讨论的二次型则引出了一类重要的讨论对象——对称阵和 Hermite 阵，进一步又引出内积空间，正交阵（算子）和酉阵（算子），并回答了高代二中最后一个问题，酉对角化的充要条件和相关的一些推论，如正交阵的正交相似标准型等。
总的来说，复旦高代课程的线上线下结合的课程是相当成功的。和分析相比，高代或许并没有那么直接地显现出它的威力，但是高代却解决了分析无法确切描述的问题，并为后续的泛函分析，群表示论等课程打下了相当必要的基础。
3、问渠哪得清如许——白皮书和每周一题
受制于课时限制，高代中许多有趣的应用并不能完整的展现出来，因此白皮书可以说是我对提升高代水平的不二之选，例题详细而不失代表性，其中一部分例题有着广泛的推论，值得作为引理去记忆。同时，白皮书也微言大义地展示了高代中许多重要的思想与方法，这可以说是白皮书的精华所在，几乎可以说，只要掌握了这些思想与方法，就是掌握了高代中最有力的工具，在面对任何问题时，都不至于束手无策。
我想值得一提的是谢老师从 20 年 2 月到 21 年 5 月录制的高等代数习题课视频，这些视频和第四版白皮书均是按照线上线下授课的顺序进行讲述的，但是视频课更加侧重于讲解重要思想和方法技巧，其中的例题相对少一些，但是整个视频课相当流畅，并且相比白皮书更为简明。
纸上得来终觉浅，学习数学最重要的是思考和实践，为了让学有余力的同学能进一步地提升自己，谢老师推出了每周一题活动——每周五在博客及易班上更新一道有思考价值的问题，这些问题往往和最近一周的高代教学有关。无论能不能写出这些问题，只要能深入的思考，总会带来一些收获，像我在 2021 到 2022 学年里，刚接触到这些问题时，往往要思考良久，所幸愚者千虑必有一得，参加每周一题活动也很大程度上提高了我的高代解题水平。
4、结语
在谢老师班上学习高代也已经有两年了，让我觉得遗憾的是这两年里没有尽可能多地去听谢老师的线下课。庆幸的是谢老师将许多的高代教学资料和视频都公布在了网上，这为同学们学习高等代数带来了许多便利，希望谢老师的高代教学能在 23 级新生中再创佳绩，并祝谢老师身体健康，诸事顺遂。
