复旦大学数学学院22级高等代数I期中考试压轴大题的多种证法及其推广

七、设矩阵 $M=(m_{ij})$ 仅由 $0$ 和 $1$ 组成, 其主对角元全为 $0$, 且对任意的 $i\neq j$, $m_{ij}=0$ 当且仅当 $m_{ji}=1$, 这样的矩阵称为锦标赛矩阵. 求证: $$r(M)\geq n-1.$$

证法一 (代数方法)  一方面, 注意到 $M-M'$ 是实反对称阵, 故由高代白皮书第四版例 3.82 可知 $r(I_n+M-M')=n$. 另一方面, 注意到 $I_n+M+M'$ 是所有元素都等于 $1$ 的矩阵, 故 $r(I_n+M+M')=1$. 最后由矩阵秩的基本公式可得

$$r(M)=r(-2M')\geq r(I_n+M-M')-r(I_n+M+M')=n-1.$$

证法二 (几何方法)  设 $Mx=0$ 的解空间为 $V\subseteq\mathbb{R}^n$, $r(M)=r$, 则 $\dim V=n-r$. 由定义可知

$$M+M'=A=\begin{pmatrix} 0 & 1 & \cdots & 1 \\ 1 & 0 & \cdots & 1 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 1 & 1 & \cdots & 0 \\ \end{pmatrix}. \quad(*)$$

对任一 $\alpha=(a_1,a_2,\cdots,a_n)'\in V$, 即 $M\alpha=0$, 有
$$\alpha'A\alpha=\alpha'(M+M')\alpha=\alpha'(M\alpha)+(M\alpha)'\alpha=0.$$

令 $U=\big\{(x_1,x_2,\cdots,x_n)'\in\mathbb{R}^n\mid\sum\limits_{i=1}^nx_i=0\big\}$, 则 $U$ 是 $\mathbb{R}^n$ 的 $n-1$ 维子空间. 对任一 $\alpha\in V\cap U$, 有

$$0=\alpha'A\alpha=2\sum_{1\leq i<j\leq n}a_ia_j=\Big(\sum_{i=1}^na_i\Big)^2-\sum_{i=1}^na_i^2=-\sum_{i=1}^na_i^2,$$

从而 $a_1=a_2=\cdots=a_n=0$, 即 $\alpha=0$, 于是 $V\cap U=0$. 注意到 $V\oplus U$ 是 $\mathbb{R}^n$ 的子空间, 故

$$n=\dim\mathbb{R}^n\geq \dim(V\oplus U)=\dim V+\dim U=(n-r)+(n-1),$$

于是 $r(M)=r\geq n-1$.  $\Box$

上述第七大题的两种证法恰好对应于矩阵秩的等式和不等式的两大证明方法 (参考高代白皮书第四版第 3.7 节), 然而证法二 (几何证法) 并不是特别直观. 例如, 是怎样想到去构造子空间 $U$ 来参与讨论的呢? 事实上, 这一几何证法有更深刻的几何背景, 它需要下列二次型的结论.

命题  设实二次型 $f(x_1,\cdots,x_n)$ 的正负惯性指数为 $p,q$, 集合 $S=\{U$ 是 $\mathbb{R}^n$ 的子空间 $\mid$ $U$ 中的任一向量 $\alpha$ 均满足 $f(\alpha)=0\}$. 求证:

$$\max_{U\in S}\dim U=n-\max\{p,q\}.$$

证明  容易验证条件和结论在合同变换下不改变, 故不妨从一开始就假设 $f$ 是规范标准型:

$$f(x_1,\cdots,x_n)=x_1^2+\cdots+x_p^2-x_{p+1}^2-\cdots-x_r^2.$$

不妨设 $p\leq q$, 否则用 $-f$ 代替 $f$ 进行讨论即可. 设 $e_i=(0,\cdots,1,\cdots,0)'$ 为标准单位列向量, 令 $v_i=e_i+e_{p+i}\,(1\leq i\leq p)$, 显然 $f(v_i)=0\,(1\leq i\leq p)$. 令

$$U=L(v_1,\cdots,v_p,e_{r+1},\cdots,e_n),$$

容易验证 $U\in S$ 且 $v_1,\cdots,v_p,e_{r+1},\cdots,e_n$ 线性无关, 从而

$$\dim U=p+n-r=n-q= n-\max\{p,q\}.$$

下面只要证明: 对任一 $U\in S$, 均有 $\dim U\leq n-q$ 即可. 用反证法, 假设存在一个 $U\in S$, 使得 $\dim U>n-q$. 令 $W=L(e_{p+1},\cdots,e_r)$, 则 $\dim W=q$. 由交和空间维数公式可得

$$\dim(U\cap W)=\dim U+\dim W-\dim(U+W)>(n-q)+q-n=0.$$

任取非零向量 $\alpha\in U\cap W$, 则由 $\alpha\in U$ 可知 $f(\alpha)=0$, 再由 $\alpha\in W$ 可知 $f(\alpha)<0$, 矛盾!  $\Box$

上述命题是高代白皮书第四版例 10.26 的推广, 利用它可以给出第七大题的如下推广.

推广  设 $M$ 是 $n$ 阶实矩阵, $A=\dfrac{1}{2}(M+M')$ 是其对称化, $p(A),q(A)$ 是 $A$ 的正负惯性指数. 证明:

$$r(M)\geq\max\{p(A),q(A)\}.$$

证明  设 $f(x)=x'Ax$ 为相伴实二次型. 设 $Mx=0$ 的解空间为 $V\subseteq\mathbb{R}^n$, 则 $\dim V=n-r(M)$. 对任一 $\alpha\in V$, 即 $M\alpha=0$, 有
$$f(\alpha)=\alpha'A\alpha=\frac{1}{2}\alpha'(M+M')\alpha=\frac{1}{2}\alpha'(M\alpha)+\frac{1}{2}(M\alpha)'\alpha=0.$$

因此 $V\in S$, 从而由上述命题可得

$$n-r(M)=\dim V\leq n-\max\{p(A),q(A)\},$$

于是 $r(M)\geq\max\{p(A),q(A)\}$.  $\Box$

证法三  由 $(*)$ 式可计算出锦标赛矩阵 $M$ 的对称化 $A$ 的正负惯性指数为 $p(A)=1$, $q(A)=n-1$, 于是由上述推广可得 $r(M)\geq\max\{p(A),q(A)\}=n-1$.  $\Box$

 

参考文献

[1]  高代白皮书. 谢启鸿, 姚慕生. 高等代数 (第四版), 大学数学学习方法指导丛书. 复旦大学出版社, 2022.