复旦大学2022--2023学年第一学期（22级）高等代数I期末考试第七大题解答

七、(10分)  设分块矩阵 $A=\begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \\ \end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix} B_{11} & B_{12} \\ B_{21} & B_{22} \\ \end{pmatrix}$, 其中 $A_{11},B_{11}$ 都是 $k$ 阶方阵, $A_{22},B_{22}$ 都是 $n-k$ 阶方阵, 且满足 $r(A)=r(A_{11})$, $r(B)=r(B_{22})$. 求证:

$$\begin{vmatrix} A_{11} & B_{12} \\ A_{21} & B_{22} \\ \end{vmatrix}\cdot\begin{vmatrix} A_{11} & A_{12} \\ B_{21} & B_{22} \\ \end{vmatrix}=|A+B|\cdot|A_{11}|\cdot|B_{22}|.$$

证法 1  由 $r(A)=r(A_{11})$ 可得 $r(A_{11}\mid A_{12})=r(A_{11})$ 以及 $r\begin{pmatrix} A_{11} \\ A_{21} \\ \end{pmatrix}=r(A_{11})$. 再由高代白皮书例 3.105 及其转置版本可知, 存在矩阵 $M,N$, 使得 $A_{11}N=A_{12}$, $MA_{11}=A_{21}$. 考虑如下分块初等变换: 第一分块行左乘 $-M$ 加到第二分块行上, 再将第一分块列右乘 $-N$ 加到第二分块列上, 可得

$$\begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \\ \end{pmatrix}\to \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} \\ O & A_{22}-MA_{12} \\ \end{pmatrix}\to \begin{pmatrix} A_{11} & O \\ O & A_{22}-MA_{12} \\ \end{pmatrix}.$$

由于矩阵的秩在分块初等变换下不改变, 故 $r\begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \\ \end{pmatrix}=r(A_{11})+r(A_{22}-MA_{12})$, 比较条件可得 $r(A_{22}-MA_{12})=0$, 于是 $A_{22}=MA_{12}=MA_{11}N$. 同理, 由 $r(B)=r(B_{22})$ 可知, 存在矩阵 $P,Q$, 使得 $B_{12}=PB_{22}$, $B_{21}=B_{22}Q$, $B_{11}=PB_{22}Q$.

证法 1.1 (矩阵乘法)  注意到

$$\begin{pmatrix} A_{11} & B_{12} \\ A_{21} & B_{22} \\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} A_{11} & PB_{22} \\ MA_{11} & B_{22} \\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} I_k & P \\ M & I_{n-k} \\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} A_{11} & O \\ O & B_{22} \\ \end{pmatrix},$$

故由矩阵乘积的行列式定理可得

$$\begin{vmatrix} A_{11} & B_{12} \\ A_{21} & B_{22} \\ \end{vmatrix}\cdot\begin{vmatrix} A_{11} & A_{12} \\ B_{21} & B_{22} \\ \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} I_k & P \\ M & I_{n-k} \\ \end{vmatrix}\cdot\begin{vmatrix} A_{11} & O \\ O & B_{22} \\ \end{vmatrix}\cdot\begin{vmatrix} A_{11} & A_{11}N \\ B_{22}Q & B_{22} \\ \end{vmatrix}$$

$$=\begin{vmatrix} I_k & P \\ M & I_{n-k} \\ \end{vmatrix}\cdot\begin{vmatrix} A_{11} & A_{11}N \\ B_{22}Q & B_{22} \\ \end{vmatrix}\cdot|A_{11}|\cdot|B_{22}|$$

$$=\begin{vmatrix} A_{11}+PB_{22}Q & A_{11}N+PB_{22} \\ MA_{11}+B_{22}Q & MA_{11}N+B_{22} \\ \end{vmatrix}\cdot|A_{11}|\cdot|B_{22}|=|A+B|\cdot|A_{11}|\cdot|B_{22}|.$$

证法 1.2 (初等变换)  将矩阵 $\begin{pmatrix} A_{11} & B_{12} \\ A_{21} & B_{22} \\ \end{pmatrix}$ 的第一分块行左乘 $-M$ 加到第二分块行上, 将矩阵 $\begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} \\ B_{21} & B_{22} \\ \end{pmatrix}$ 的第二分块列右乘 $-Q$ 加到第一分块列上, 可得

$$\begin{vmatrix} A_{11} & B_{12} \\ A_{21} & B_{22} \\ \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} A_{11} & B_{12} \\ O & B_{22}-MB_{12} \\ \end{vmatrix}=|A_{11}|\cdot|B_{22}-MB_{12}|,\quad\cdots(*)$$

$$\begin{vmatrix} A_{11} & A_{12} \\ B_{21} & B_{22} \\ \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} A_{11}-A_{12}Q & A_{12} \\ O & B_{22} \\ \end{vmatrix}=|A_{11}-A_{12}Q|\cdot|B_{22}|.\quad\cdots(\dagger)$$

将 $A+B$ 的第一分块行左乘 $-M$ 加到第二分块行上, 再将第二分块列右乘 $-Q$ 加到第一分块列上, 可得

$$|A+B|=\begin{vmatrix} A_{11}+B_{11} & A_{12}+B_{12} \\ A_{21}+B_{21} & A_{22}+B_{22} \\ \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} A_{11}+B_{11} & A_{12}+B_{12} \\ B_{21}-MB_{11} & B_{22}-MB_{12} \\ \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} A_{11}-A_{12}Q & A_{12}+B_{12} \\ O & B_{22}-MB_{12} \\ \end{vmatrix}=|A_{11}-A_{12}Q|\cdot|B_{22}-MB_{12}|.\quad\cdots(\sharp)$$

最后由 $(*)$ 式, $(\dagger)$ 式和 $(\sharp)$ 式即得本题结论.

证法 2 (降阶公式)  由 $r(A)=r(A_{11})$ 可得 $r(A_{11}\mid A_{12})=r(A_{11})$. 若 $A_{11}$ 为奇异阵, 即 $r(A_{11})<k$, 则 $r(A_{11}\mid A_{12})<k$, 即 $(A_{11}\mid A_{12})$ 的行向量线性相关, 从而 $\begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} \\ B_{21} & B_{22} \\ \end{pmatrix}$ 的行向量也线性相关, 故 $\begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} \\ B_{21} & B_{22} \\ \end{pmatrix}$ 也为奇异阵, 此时要证的等式显然成立. 同理, 若 $B_{22}$ 为奇异阵, 则 $\begin{pmatrix} A_{11} & B_{12} \\ A_{21} & B_{22} \\ \end{pmatrix}$ 也为奇异阵, 此时要证的等式显然成立.

以下假设 $A_{11},B_{22}$ 都是非异阵. 由秩的降阶公式可得 $r(A)=r(A_{11})+r(A_{22}-A_{21}A_{11}^{-1}A_{12})$, 再由 $r(A)=r(A_{11})$ 可得 $A_{22}=A_{21}A_{11}^{-1}A_{12}$. 同理, 由 $r(B)=r(B_{22})$ 可得 $B_{11}=B_{12}B_{22}^{-1}B_{21}$.

由行列式的降阶公式可得

$$\begin{vmatrix} A_{11} & B_{12} \\ A_{21} & B_{22} \\ \end{vmatrix}=|A_{11}|\cdot|B_{22}-A_{21}A_{11}^{-1}B_{12}|,\quad\cdots(*)$$

$$\begin{vmatrix} A_{11} & A_{12} \\ B_{21} & B_{22} \\ \end{vmatrix}=|B_{22}|\cdot|A_{11}-A_{12}B_{22}^{-1}B_{21}|.\quad\cdots(\dagger)$$

将 $A+B$ 的第一分块行左乘 $-A_{21}A_{11}^{-1}$ 加到第二分块行上, 再将第二分块列右乘 $-B_{22}^{-1}B_{21}$ 加到第一分块列上, 可得

$$|A+B|=\begin{vmatrix} A_{11}+B_{11} & A_{12}+B_{12} \\ A_{21}+B_{21} & A_{22}+B_{22} \\ \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} A_{11}+B_{11} & A_{12}+B_{12} \\ B_{21}-A_{21}A_{11}^{-1}B_{11} & B_{22}-A_{21}A_{11}^{-1}B_{12} \\ \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} A_{11}-A_{12}B_{22}^{-1}B_{21} & A_{12}+B_{12} \\ O & B_{22}-A_{21}A_{11}^{-1}B_{12} \\ \end{vmatrix}=|A_{11}-A_{12}B_{22}^{-1}B_{21}|\cdot|B_{22}-A_{21}A_{11}^{-1}B_{12}|.\quad\cdots(\sharp)$$

最后由 $(*)$ 式, $(\dagger)$ 式和 $(\sharp)$ 式即得本题结论.

证法 3 (相抵标准型化简)  设 $P_1,Q_1$ 为 $k$ 阶非异阵, $P_2,Q_2$ 为 $n-k$ 阶非异阵, 使得

$$P_1A_{11}Q_1=\begin{pmatrix} I_r & O \\ O & O \\ \end{pmatrix},\,\,\,\,P_2B_{22}Q_2=\begin{pmatrix} I_s & O \\ O & O \\ \end{pmatrix}$$

是相抵标准型, 其中 $r=r(A_{11})$, $s=r(B_{22})$. 令 $P=\mathrm{diag}\{P_1,P_2\}$, $Q=\mathrm{diag}\{Q_1,Q_2\}$, 则 $P,Q$ 为 $n$ 阶非异阵, 使得

$$PAQ=\begin{pmatrix} P_1A_{11}Q_1 & P_1A_{12}Q_2 \\ P_2A_{21}Q_1 & P_2A_{22}Q_2 \\ \end{pmatrix},\,\,\,\,PBQ=\begin{pmatrix} P_1B_{11}Q_1 & P_1B_{12}Q_2 \\ P_2B_{21}Q_1 & P_2B_{22}Q_2 \\ \end{pmatrix}.$$

注意到对 $A,B$ 进行相抵变换: $A\mapsto PAQ$, $B\mapsto PBQ$ 不改变题目的条件和结论, 所以不妨从一开始就假设 $A_{11}=\begin{pmatrix} I_r & O \\ O & O \\ \end{pmatrix}$, $B_{22}=\begin{pmatrix} I_s & O \\ O & O \\ \end{pmatrix}$ 都是相抵标准型.

若 $A_{11}$ 是奇异阵, 即 $r<k$, 则由 $r(A)=r(A_{11})$ 可知 $r\begin{pmatrix} A_{11} \\ A_{21} \\ \end{pmatrix}=r$. 设 $A_{21}=(C_1\mid C_2)$ 为列分块, 其中 $C_1$ 是 $A_{21}$ 的前 $r$ 列, 则由分块初等变换可得

$$r=r\begin{pmatrix} A_{11} \\ A_{21} \\ \end{pmatrix}=r\begin{pmatrix} I_r & O \\ O & O \\ C_1 & C_2 \\ \end{pmatrix}=r\begin{pmatrix} I_r & O \\ O & O \\ O & C_2 \\ \end{pmatrix},$$

于是 $C_2=O$, 即 $A_{21}$ 的后 $k-r$ 列全为零. 特别地, $\begin{pmatrix} A_{11} & B_{12} \\ A_{21} & B_{22} \\ \end{pmatrix}$ 至少有一列全为零, 从而为奇异阵, 此时结论显然成立. 同理可证 $B_{22}$ 是奇异阵的情形.

以下假设 $A_{11},B_{22}$ 都是非异阵, 即 $A_{11}=I_k$, $B_{22}=I_{n-k}$. 此时由 $r(A)=k$, $r(B)=n-k$ 以及分块初等变换容易验证 $A_{22}=A_{21}A_{12}$, $B_{11}=B_{12}B_{21}$. 将矩阵 $\begin{pmatrix} I_k & B_{12} \\ A_{21} & I_{n-k} \\ \end{pmatrix}$ 的第一分块行左乘 $-A_{21}$ 加到第二分块行上, 将矩阵 $\begin{pmatrix} I_k & A_{12} \\ B_{21} & I_{n-k} \\ \end{pmatrix}$ 的第二分块列右乘 $-B_{21}$ 加到第一分块列上, 可得

$$\begin{vmatrix} I_k & B_{12} \\ A_{21} & I_{n-k} \\ \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} I_k & B_{12} \\ O & I_{n-k}-A_{21}B_{12} \\ \end{vmatrix}=|I_{n-k}-A_{21}B_{12}|,\quad\cdots(*)$$

$$\begin{vmatrix} I_k & A_{12} \\ B_{21} & I_{n-k} \\ \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} I_k-A_{12}B_{21} & A_{12} \\ O & I_{n-k} \\ \end{vmatrix}=|I_k-A_{12}B_{21}|.\quad\cdots(\dagger)$$

将 $A+B$ 的第一分块行左乘 $-A_{21}$ 加到第二分块行上, 再将第二分块列右乘 $-B_{21}$ 加到第一分块列上, 可得

$$|A+B|=\begin{vmatrix} I_k+B_{11} & A_{12}+B_{12} \\ A_{21}+B_{21} & A_{22}+I_{n-k} \\ \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} I_k+B_{11} & A_{12}+B_{12} \\ B_{21}-A_{21}B_{11} & I_{n-k}-A_{21}B_{12} \\ \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} I_k-A_{12}B_{21} & A_{12}+B_{12} \\ O & I_{n-k}-A_{21}B_{12} \\ \end{vmatrix}=|I_k-A_{12}B_{21}|\cdot|I_{n-k}-A_{21}B_{12}|.\quad\cdots(\sharp)$$

最后由 $(*)$ 式, $(\dagger)$ 式和 $(\sharp)$ 式即得本题结论.  $\Box$

注  本题获得 7 分以上的同学是:

证法 1.1: 秦保睿、洪昕;

证法 1.2: 张东宁、刘胡德、黄昱凯、龚汉霖、李嘉俊、林鑫、姚明超;

证法 2: 张家溢、王树鹏、李燊旭、刘轩麟、宋哲烨、吴雨坤;

证法 3: 祁振宁.

 

参考文献

[1]  高代教材. 谢启鸿, 姚慕生, 吴泉水. 高等代数学 (第四版). 复旦大学出版社, 2022.

[2]  高代白皮书. 谢启鸿, 姚慕生. 高等代数 (第四版), 大学数学学习方法指导丛书. 复旦大学出版社, 2022.