复旦大学2022--2023学年第一学期（22级）高等代数I期末考试第八大题解答

八、(10分)  设 $\varphi_1,\cdots,\varphi_k$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换, 满足条件 $\varphi_i^2=\varphi_i\,(1\leq i\leq k)$, $\varphi_i\varphi_j=0\,(1\leq i<j\leq k)$. 求证:

$$V=\mathrm{Im}\varphi_1\oplus\cdots\oplus\mathrm{Im}\varphi_k\oplus\Big(\bigcap_{i=1}^k\mathrm{Ker}\varphi_i\Big).$$

证法 1 (数学归纳法)  对 $k$ 进行归纳. 当 $k=1$ 时, $\varphi_1$ 是幂等变换, 由高代白皮书例 4.54 可知 $V=\mathrm{Im}\varphi_1\oplus\mathrm{Ker}\varphi_1$, 故结论成立. 设 $k=m$ 时结论成立, 即有

$$V=\mathrm{Im}\varphi_1\oplus\cdots\oplus\mathrm{Im}\varphi_m\oplus\Big(\bigcap_{i=1}^m\mathrm{Ker}\varphi_i\Big).\quad\cdots(*)$$

现考虑 $k=m+1$ 的情形, 此时 $\varphi_{m+1}$ 为幂等变换, 故

$$V=\mathrm{Im}\varphi_{m+1}\oplus\mathrm{Ker}\varphi_{m+1}.\quad\cdots(\dagger)$$

又 $\varphi_i\varphi_{m+1}=0\,(1\leq i\leq m)$, 故 $\mathrm{Im}\varphi_{m+1}\subseteq\mathrm{Ker}\varphi_i$, 从而 $\mathrm{Im}\varphi_{m+1}\subseteq\bigcap\limits_{i=1}^m\mathrm{Ker}\varphi_i$. 在 $(\dagger)$ 式的两边同时交上 $\bigcap\limits_{i=1}^m\mathrm{Ker}\varphi_i$, 由于 $\mathrm{Im}\varphi_{m+1}\subseteq\bigcap\limits_{i=1}^m\mathrm{Ker}\varphi_i$, 故由高代教材 § 3.9 习题 6 (2) 可得

$$\bigcap\limits_{i=1}^m\mathrm{Ker}\varphi_i=\mathrm{Im}\varphi_{m+1}\oplus\Big(\bigcap\limits_{i=1}^{m+1}\mathrm{Ker}\varphi_i\Big).\quad\cdots(\sharp)$$

将 $(\sharp)$ 式代入 $(*)$ 式即得

$$V=\mathrm{Im}\varphi_1\oplus\cdots\oplus\mathrm{Im}\varphi_m\oplus\mathrm{Im}\varphi_{m+1}\oplus\Big(\bigcap_{i=1}^{m+1}\mathrm{Ker}\varphi_i\Big),$$

结论得证. 也可以换一种方法来得到 $(\sharp)$ 式. 由 $\mathrm{Im}\varphi_{m+1}\subseteq\bigcap\limits_{i=1}^m\mathrm{Ker}\varphi_i=U$ 容易验证 $U$ 是 $\varphi_{m+1}$ 的不变子空间, 故可考虑限制变换 $\varphi_{m+1}|_U$. 这仍然是一个幂等变换, 于是

$$U=\mathrm{Im}(\varphi_{m+1}|_U)\oplus\mathrm{Ker}(\varphi_{m+1}|_U).$$

由限制的定义可知 $\mathrm{Ker}(\varphi_{m+1}|_U)=U\cap\mathrm{Ker}\varphi_{m+1}=\bigcap\limits_{i=1}^{m+1}\mathrm{Ker}\varphi_i$. 对任意的 $\varphi_{m+1}(v)\in \mathrm{Im}\varphi_{m+1}$, 有 $\varphi_{m+1}(v)=\varphi_{m+1}^2(v)=\varphi_{m+1}(\varphi_{m+1}(v))$, 其中 $\varphi_{m+1}(v)\in \mathrm{Im}\varphi_{m+1}\subseteq U$, 于是 $\varphi_{m+1}(v)\in\mathrm{Im}(\varphi_{m+1}|_U)$. 因此, $\mathrm{Im}(\varphi_{m+1}|_U)=\mathrm{Im}\varphi_{m+1}$, 从而 $(\sharp)$ 式成立.

证法 2 (直和的判定)  我们分两步来进行证明.

Step 1.  $\mathrm{Im}\varphi_1+\cdots+\mathrm{Im}\varphi_k+\Big(\bigcap\limits_{i=1}^k\mathrm{Ker}\varphi_i\Big)=\mathrm{Im}\varphi_1\oplus\cdots\oplus\mathrm{Im}\varphi_k\oplus\Big(\bigcap\limits_{i=1}^k\mathrm{Ker}\varphi_i\Big)$.

根据直和的充要条件 (高代教材定理 3.9.3 (5')), 只要证明零向量分块表示唯一即可. 设

$$0=\varphi_1(\alpha_1)+\varphi_2(\alpha_2)+\cdots+\varphi_k(\alpha_k)+\beta,\quad\cdots(*)$$

其中 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_k\in V$, $\beta\in\bigcap\limits_{i=1}^k\mathrm{Ker}\varphi_i$. $(*)$ 式两边同时作用 $\varphi_1$, 注意到 $\varphi_1\varphi_i=0\,(i>1)$ 以及 $\varphi_1(\beta)=0$, 故 $0=\varphi_1^2(\alpha_1)=\varphi_1(\alpha_1)$, 于是 $(*)$ 式右边可以去掉 $\varphi_1(\alpha_1)$. $(*)$ 式两边再同时作用 $\varphi_2$, 同理可得 $\varphi_2(\alpha_2)=0$. 依次这样做下去, 最后可得

$$\varphi_1(\alpha_1)=\varphi_2(\alpha_2)=\cdots=\varphi_k(\alpha_k)=\beta=0.$$

Step 2.  $V=\mathrm{Im}\varphi_1+\cdots+\mathrm{Im}\varphi_k+\Big(\bigcap\limits_{i=1}^k\mathrm{Ker}\varphi_i\Big)\quad\cdots(\dagger)$.

对任意的 $\alpha\in V$, 容易验证

$$\alpha=\varphi_1(\alpha)+\varphi_2(I_V-\varphi_1)(\alpha)+\varphi_3(I_V-\varphi_2)(I_V-\varphi_1)(\alpha)+\cdots+\varphi_k(I_V-\varphi_{k-1})\cdots(I_V-\varphi_1)(\alpha)+(I_V-\varphi_k)(I_V-\varphi_{k-1})\cdots(I_V-\varphi_1)(\alpha),$$

其中 $\varphi_1(\alpha)\in\mathrm{Im}\varphi_1$, $\varphi_2(I_V-\varphi_1)(\alpha)\in\mathrm{Im}\varphi_2$, $\varphi_3(I_V-\varphi_2)(I_V-\varphi_1)(\alpha)\in\mathrm{Im}\varphi_3$, $\cdots$, $\varphi_k(I_V-\varphi_{k-1})\cdots(I_V-\varphi_1)(\alpha)\in\mathrm{Im}\varphi_k$, $(I_V-\varphi_k)(I_V-\varphi_{k-1})\cdots(I_V-\varphi_1)(\alpha)\in\bigcap\limits_{i=1}^k\mathrm{Ker}\varphi_i$. 由此可知 $(\dagger)$ 式成立.

由 Step 1 和 Step 2 即得本题结论.  $\Box$

注  (1)  证法 1 具有一般性, 可以将本题推广为如下形式 (无需假定 $\varphi_i$ 为幂等变换):

本题的推广  设 $\varphi_1,\cdots,\varphi_k$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换, 满足条件 $V=\mathrm{Im}\varphi_i\oplus\mathrm{Ker}\varphi_i\,(1\leq i\leq k)$, $\varphi_i\varphi_j=0\,(1\leq i<j\leq k)$. 求证:

$$V=\mathrm{Im}\varphi_1\oplus\cdots\oplus\mathrm{Im}\varphi_k\oplus\Big(\bigcap_{i=1}^k\mathrm{Ker}\varphi_i\Big).$$

(2) 首先, 本题是高代白皮书例 4.59 和第 4 章解答题 10 的略微推广 (将 $i\neq j$ 变为 $i<j$). 通过证法 2 的证明过程可以看出, 只要不直接作用 $\varphi_i$, 而是依次作用 $\varphi_1$, $\varphi_2$, $\cdots$, $\varphi_k$ 在给定的等式上, 就能完成类似的证明. 其次, 证法 2 的 Step 1 还可以改用直和的原始定义或者其他的充要条件来证明. 比如, 利用高代教材定理 3.9.3 (2) 来证明时, 可以适当地修改子空间的顺序,

$$\text{证明:}\,\,\mathrm{Im}\varphi_k+\mathrm{Im}\varphi_{k-1}+\cdots+\mathrm{Im}\varphi_1+\Big(\bigcap\limits_{i=1}^k\mathrm{Ker}\varphi_i\Big)\,\,\text{是直和}.$$

再次, 证法 2 中 Step 2 的分解思想是, 依次使用幂等变换 $\varphi_i$ 的投影分解: $\alpha=\varphi_1(\alpha)+(I_V-\varphi_1)(\alpha)$, $(I_V-\varphi_1)(\alpha)=\varphi_2(I_V-\varphi_1)(\alpha)+(I_V-\varphi_2)(I_V-\varphi_1)(\alpha)$, $\cdots$, 从而可得要求的分解式. 最后, 条件 $\varphi_i\varphi_j=0\,(i<j)$ 一般不能推出条件 $\varphi_i\varphi_j=0\,(i\neq j)$ 成立. 例如, $A_1=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix}$,  $A_2=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{pmatrix}$ 均为幂等阵, 容易验证: $A_1A_2=O$, 但 $A_2A_1=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \\ \end{pmatrix}\neq O$.

(3) 本题获得 7 分以上的同学是:

证法 1: 祁振宁、潘飞越、李明昊;

证法 2: 肖竣严、马琪旻、范倚天、盖括、蒋柏文.

 

参考文献

[1]  高代教材. 谢启鸿, 姚慕生, 吴泉水. 高等代数学 (第四版). 复旦大学出版社, 2022.

[2]  高代白皮书. 谢启鸿, 姚慕生. 高等代数 (第四版), 大学数学学习方法指导丛书. 复旦大学出版社, 2022.