复旦大学数学学院 21 级本科生对每周一题的评价
21级 张子堃
很荣幸能够在大一的两个学期都选上了谢帅的课，并在高代正课、白皮书、习题课教学视频和“每周一题”的教学体系下完成了高代的学习。
对于我个人而言，由于大一上接触高等代数这门学科的时间不长，当时高代I“每周一题”尤其是一些线性空间、线性映射的题目，对我来说是一个挑战，有的题目就算看其他同学做的答案也要慢慢理解才能明白，闲暇时间我也会多想想其中的逻辑与要点。经过一学期的高代体系的创建和对知识框架的不断理解，通过对白皮书和习题课教学视频的反复琢磨，我做高代II的“每周一题”时再没有原来那么吃力了，有时能够较快看出题目所要运用的技巧，也会有自己的一些新奇的解题想法。总之要会做“每周一题”的一些难题需要时间的积淀、思维的提升和反复的学习。
“每周一题”是高等代数思想方法的结晶，虽然大多数题目都较为困难，但在证明的过程中能够让我们不断反刍知识，进一步熟悉白皮书上的一些技巧和方法，加深理解，同时体会到高代这门学科的优美与魅力。首先，“每周一题”中出现了众多有趣而值得深思的结论。仔细做过题目会发现，高代I和高代ll的“每周一题”之间，不同年级的”每周一题”之间，“每周一题“与习题课教学视频中的题目之间是有联系的。例如2021A08是关于两组线性无关的向量的结论，而它在高代ll中证明一些问题时也会用到；2022S02，2022S05也用了高代I教学视频中行列式题目的方法，这两道题也让我们知道了为什么当初要计算形如教学视频中那样的行列式。因此，认真做“每周一题”也是对所学知识的再巩固与理解，并能够让前后所学到的知识在思考时产生联系、擦出火花，达到温故而知新的效果。其次，“每周一题”往往是白皮书和课堂知识的拓展和推广，有助于我们拓宽知识面，更为深刻地了解与探索高代知识。例如2022S04从摄动法的角度说明了复可对角化矩阵比不可对角化的矩阵多很多，这自然是课本知识的拓展，同时以较为简单易懂的方法证明这一结论。我还记得有同学受某道“每周一题”的启发来探索矩阵Kronecker积的Jordan标准型，这也说明了“每周一题”的启发性和拓展性。另外，“每周一题”中要求证明的一些结论十分优美，在解题过程中体会数学之美，有时也会于此产生不少灵感。例如2022S15是一个很经典而优美的结论，那里用了内积的性质，很好地证明了这一结论。
线上线下混合式教学是很成功的教学实践，我在其中受益匪浅。谢老师在线下正课授课讲解基本知识，思路清晰、板书干净，备受同学们喜爱。而白皮书中大部分题目都是拔高性的，若仅靠自己来看可能略显吃力，但通过线上习题课教学视频的学习，一些白皮书中较难、或者因省略而会产生疑惑的地方都会因谢老师一句话的点拨而豁然开朗。另外，视频中也会有一些习题和白皮书的拓展供我们学习与思考，让我们能够在巩固正课知识的同时有所拔高。因此我认为混合式教学对于高代的学习十分重要，帮助很大。
最后感谢谢老师为高代教学的创新实践与辛勤付出，希望谢老师身体健康，同学们也必将会在这样的教学体系中学好高代，打好基础！
21级 单佳骊
很幸运在大一的两个学期都选到了谢老师的课，让我的高等代数学习有一个非常完整、渐进式的过程与非常美好感动的回忆。我认为自己大一第一学期和第二学期对于每周一题的学习方式和心态是不完全一样的，而正是这样的不同让我在一学年后能稍稍领悟到大学的数学学习该进入怎样的节奏才更合适。
先谈一谈共通的特点：提前熟悉过一到两遍相应白皮书的内容再去思考每周一题。接触新知识点-完成作业（有时是带着白皮书的提示完成作业）只能让我初步掌握新知识，起初接触高代的我甚至会依赖白皮书完成作业里的个别难题：缺乏“抠细节”的思考，以一种习得解题技巧并学会应用的心态完成眼前的题目。每周一题有不小的比例都是对于白皮书性质/结论的推广或者某种计算/证明技巧的灵活运用，如果能提前一周的预习量熟悉白皮书，那么周五下午当谢帅公布每周一题的时候，我就可以放心地利用当天最后一节下课后的所有时间将我习得的技巧和思路进行应用。所幸，我从来没有丧失对于解决高代问题的兴趣，在自己获得对于题目的有效思路前不会选择放弃。这样“不聪明”的尝试是很有意义的，每周一题的钻研过程让我获得对于白皮书内容的自我解读，这是消化知识的高效途径。每周一题是谢老师紧密贴合教学内容与进度和白皮书重难点出的思考题，但它并没有太高的门槛，如果认真地对待每周这一次的思考机会，一题胜过十题。
不同之处在于：更关注解决问题的分析方式。充分地理解线性无关的向量对于研究空间的作用，充分理解Jordan标准型中测试矩阵对于研究矩阵函数性质的作用，充分地理解为什么有同时上三角化/合同、正交相似标准型的优美结论，才能主动地在解题中寻找某组基，本能地用矩阵的Jordan标准型去初步判断矩阵函数的解存在性，非常肯定地知道某些场合下我们可以通过一些操作使问题简化并且这些简化是合理的。每周一题中对于白皮书结论的推广或一些有意思的命题就是很好的梳理并独立地完成“一种思路”的锻炼机会，而推广之处就是检验自己是否真的充分掌握这个思路和一些常用分析方法的测试。每周一题的精妙之处还在于证明的方法是不唯一的，有时也可以利用之前的知识去解决现有的题目，比如高代II一道二次型的每周一题我并没有想出契合当周知识点的方法，但也通过特征方程和一点分析定性地加以解决，反而给出了一个相对简练的证明。如果只有技巧而抛却思考分析，题目只会越学越难，知识也很难变得连贯。此外，应该努力规范严谨地书写每周一题的过程，直接使用白皮书的结论前应当确保自己明白知道结论证明的关键点是什么，知其所以然是很必要的。
谢老师会认真批改每一个上交的答案，有时会在微信群中给予提示或者指出特定同学的证明问题或其巧妙之处，及时的反馈也使得每周一题的学习效果大大提升。平时坚持认真对待每周一题，等到期末再拿出来复习，又会有新的收获，又能更整体地看问题，就有豁然开朗的感受了。
事实上，谢老师独特的线上线下混合教学不仅仅便利了我们的学习时间和复习途径，拓宽了教材、加深了高代的内容，更加提升了我们自主学习的能力，充分利用谢老师提供的资源（习题课视频、博客的历年真题和谢老师的教学论文等等），我总能在需要的时候即刻找到合适的材料。
谢老师在高等代数的教学上完全为大一的新生作了恰当的过渡，引领我们开启数学的专业学习，并通过一学年的磨练找到适合自己的途径，因此我认为我在高代的学习里收获的远远不止于高等代数，是未来专业课的坚实基础和数学学习的思维与节奏。在此感谢谢老师认真负责的教学和真诚亲近的关怀，祝愿谢老师工作顺利，保重身体，幸福常随！！！
21级 何炫聪
我是在大一下学期选上谢老师的课的时候，才真正开始跟着进度做每周一题的。尽管我在上学期已对每周一题有所耳闻，但由于上学期一直没能很好地适应大学数学的思维和学习方式，我每周一题做得很少，几乎可以算是没有做。在那时，我一直没有什么信心去挑战这些难题，只是一心打好基础，吃懂吃透绿皮书和白皮书上的结论和例题。
大一下学期伊始，我把这种对于难题的畏惧延续了下来，特别是每周一题开头有几道技巧性比较强的有关行列式计算的题目，挺让我捉不住头脑，想了很长一段时间也没有结果，最终还是决定看看同学们是怎么解答的。在参考完同学们的解答后，虽然有收获，但是还是觉得这些解法是我自己很难想到的，不免心感沮丧。然而我转念一想，这么难想到的解法也被解题人想到了，想必也是坚忍不拔、敢于攻坚克难之人所能完成之事，而自己只是感到了一些久思无果的苦痛，便匆匆宣告放弃，又不免心生惭愧。因此，我暗下决心，无论之后出的题有多么的难，多么的让人束手无策，我也要穷尽我最后的一点智慧，去把它做出来。
譬如说每周一题的第七题，确实花了我一个晚上的时间去把它想出来，期间做了许许多多失败的尝试；每一次尝试都是我在有了一个很粗略的想法之后，便立刻将之付诸实践，进行各种我认为有用的推理，边推理边评估这一次尝试的价值。总体的过程便是，尝试——因失败陷入思路的空白——尝试——因失败陷入思路的空白……最终，有那么一次尝试成功了，这道题便做了出来。这样的过程，让我的信心倍增，我开始感到，我也是能做出难题的人，只是之前的我害怕尝试，害怕迈出下一步，在习得性无助的漩涡之中挣扎而无法自拔。如果说大学以前的数学让我学会了如何像机械一样快速判断一道题的题型和解法，那么大学里像每周一题一样的数学难题让我学会了尝试、学会了接受失败并在跌倒后再站起来，后者就像人生，不去尝试，就永远不知道会有怎么样的可能。
当然，每周一题让我学到的不仅仅是尝试，学习借鉴也是十分重要的。我们不可能让一个人不看书而仅靠跌跌撞撞的尝试去把整个现代数学体系建立在头脑中；做每周一题也是一样，需要先把书本上的定理、结论和例题弄懂弄透，才能在解题的时候有方便的工具可用，譬如说每周一题的第十一题，就需要在学习并弄懂白皮书上的一道例题之后做出推广。然而纸上得来终觉浅，弄懂弄透书上的内容本身又需要经过大量做题的过程才能实现。倘若把书上的内容比作工具，那么我们既需要这些工具来帮我们干活，又需要反复地去使用这些工具以达到更高的使用效率。每周一题的功用便是如此，它推动你去思考你的工具库里的工具分别有什么用，同时又创造了一个使用工具的机会。
至于谢老师的线上线下混合式教学体系，我个人是非常喜欢的。根据谢老师自己的说法，他讲课要保证100%能被听懂，因此谢老师的正课一般是讲得非常基础非常细的。但这也导致了谢老师很多教学成果（譬如白皮书上的很多内容）无法容纳在有限的课堂时间之中。谢老师通过上传习题课视频到网上，让我们能在课外时间学习到他最新的一些拓展内容，既保证了正课的基础性，也保证了学习体系的丰富性和完整性，能让我们根据自己的需求规划出最适合自己的学习模式。
21级 殷一荣
由于我是下学期才转到谢老师班上的，因此很遗憾没能参加整个学年的每周一题，然而通过这一个学期的学习，我已经深深地感受到了谢老师对于高代教学的热情和同学们勤奋好学的品质。2022年春季学期因为疫情的影响几乎一直在线上教学，多亏了谢老师几年来精心搭建的线上线下混合式教学体系，我们的学习才没有受到大的影响。每次完成每周一题后，谢老师都会耐心地批阅每个同学的解答，并且给出反馈意见，从这个过程中我学到了许多。下面我就从几个方面谈谈我对每周一题的看法。
每周一题是课本习题外的重要补充，能够帮助我们巩固并灵活运用所学知识。比如在问题2022S01中，题目要求用行列式的求根法证明有关结式的一个定理，而这是与课本上不同的方法。通过做这道题，我们不仅复习了高代I中学过的求根法计算行列式，还加深了对于这个定理的印象。在问题2022S11中，题目将白皮书中的结论做了推广。通过动笔算这道题，我们不仅学会了“矩阵与二次型相互转化”这一习题课上的重要方法，而且看到了这一方法更广泛的应用。
每周一题下常常能看到同学们不同的解题方法，即“一题多解”，充分体现出复旦学生的创新能力，并且引导我们发散思维、发现不同知识间的联系。在问题2022S13中，同学们依次给出了“亚半正定阵”、“合同对角化”、“特征值”等等方法，从这道简短的题目里，我们看到了二次型、矩阵、相似理论处理问题的不同思路；在问题2022S15中，同学们从代数和几何两个角度，用了“Gram-Schmidt正交化”、“内积的正定性”、“数学归纳法”、“正交补空间”等等方法来证明“n维欧氏空间中至多有n+1个两两夹角大于直角的向量”这一看似简单的命题，再一次让我们体会到几何和代数之间的深刻联系。
每周一题有时也会引入新的方法和技巧、给我们带来新的启发和感悟，让我们体会到了数学之美。比如令我十分印象深刻的问题2022S04介绍了“可对角化摄动”，巧妙地解决了题目中有关矩阵线性空间上线性变换的问题，更重要的是它体现了可对角化矩阵和不可对角化矩阵之间的关系：可以用可对角化矩阵逼近不可对角化的矩阵。问题2022S16中介绍了n阶酉矩阵和斜Hermite矩阵之间的一一对应，并且通过复正规矩阵的酉相似标准型我们看到：这个一一对应与实数集到复平面的单位圆（除去-1点）的一一对应十分类似。
在我看来，每周一题也有一些缺点，比如个别题目完全是矩阵和行列式的计算，部分题目技巧性太强等。然而瑕不掩瑜，总体来说每周一题是十分值得一做的。做每周一题除了完成了一道题目外，也是巩固自己所学知识的过程，还是吸取他人经验同时又提出自己的看法的过程，更是探索美丽的数学世界的过程。
最后，希望谢老师的身体健康、工作顺利，高代教学越办越好。
21级 马行健
非常遗憾一年的时间我都没有选上谢帅的课，但是早在高三升入大一的暑假我想要先预习一下大学数学的相关知识时，在网络上看到谢帅的正课视频，只是短短一节课的时间我就被谢帅清晰的授课逻辑、严格的推导、整齐的板书和人格魅力深深吸引。后来我又找到谢帅的白皮书、习题课视频、每周一题、博客文章等资料，这是对当时正在自学高代的我的极大帮助。
“高等代数每周一题”教学活动是谢帅高代教学的一大特色，已经连续举办多年，累计了数百道难度较大、知识点涵盖面广的高代题——有些题非常巧妙、很难想到，有些题思考深度非常深，需要对理论的熟练运用，也有些题是对书上结论的推广，对书上定理的理解非常有帮助。谢帅也会定时批改我们上传的证明或者是解答，帮我们指出证明中难以发现的不严谨之处，或是给出一些对证明修改的建议，对我们的高代学习非常有帮助。
在我高三暑假自学时，我遇到了谢帅的每周一题，但是当时显然没有解决每周一题的能力，每周一题常常能真的让我做一周。往往是在长久思考以及拿笔计算后突然迸发的灵感能让我做出一道每周一题，而这样巧妙的每周一题让初学的我爱上了高代这门学科，在那时候借助每周一题建立的学习兴趣也帮到了我后面的高代学习。
进入复旦学习后，我的做题水平随着对高代学习的深入有所提高，此时也开始认真看白皮书，从求行列式的技巧（求和法、拆分法、求根法等等），到摄动法，再到矩阵秩的经典不等式、有理系数多项式不可约的判定、可对角化的条件、Jordan标准型的几何、正定矩阵与半正定矩阵、正交矩阵的标准型等等，看到白皮书上那一个个有趣的结论，我总有一种立马运用的冲动。于是每周五我总是会在微信群里等谢帅上传每周一题，看看能不能解决，有时很快就能找到方向，有时要与它战斗到深夜，但无论如何，做出每周一题的成就感是无以复加的，也激励着我更认真地学习高代。
渐渐地，白皮书完整地看了三四遍，历年的每周一题、期末考试大题也有所涉猎，此时每周一题也开始难不住我了。这时看到谢帅博客中写到，每周一题的活动设立的初衷是追求精彩的解答，也追求一题多解，从多个角度去看问题，于是我开始尝试能否用多种方法解决每周一题或是证明一些经典结论，比如经典的矩阵秩的Sylvester不等式，在白皮书的基础上，我用向量组的秩的定义、分块矩阵、线性映射的限制和借助Frobenius不等式共四种方法证明，加深了对代数、几何联系的理解；比如矩阵方程AC=CB解的情况在一般数域K中的情况，借助谢帅的提示，我也收集了自己略不严谨的直接构造、基域扩张下的不变性、谢帅提供的抽代思路共三种方法，对此类问题有了新的认识；我也从同学们提供的解答中看到了我自己没想到的思路，比如JXJ型的线性映射的Jordan型，我想到了Kronecker积的方法，而同学提供的循环轨道的想法是更加本质而巧妙的……正是这样的一题多解帮助我开拓思路，使我对解答高代问题有更多的选择，也有幸提供了巧妙的方法而被谢帅推荐给同学阅读我的解答。
每周一题对我的帮助非常大，接下来我想再谈谈体验谢帅的线上线下混合式教学的感受。
正如谢帅希望的那样，线上教学资源是呈现梯度式的，对于初学者或者希望先自学一遍的同学，易班的正课视频是非常值得从头到尾看一遍的，其中以知识点为主，加以关键章节末尾可能出现的半节课复习、提高，这样的正课课程设置是非常合理并且激发学习兴趣的；对于课内知识已经有一定掌握的同学，看一遍习题课视频是非常适合的，习题课视频中会对课内的知识进行一些强化、拓展，对一些性质进行更深入的探究，虽然习题课的课后练习题也比较有难度，但如果能充分吸收习题课精神，也能比较好的解决，从而加深对知识点的理解；对于理解程度非常好的同学，每周一题是挑战自我的地方，对解决难题的能力有非常大的提升。
因此谢帅的线上教学资源是非常完整的，对各种程度的同学都有极大的帮助。在我的学习过程中，我经历了从不理解课上内容，到能做出大部分难题的过程，更能深深体会到谢帅线上课程设置的合理性。
虽然谢帅的线上教学资源非常丰富，但线下课肯定是更加重要的。首先线下课程非常有一种学习的氛围，感觉置身于知识的海洋中，更能专注精力，使得学习效果更加扎实；其次线下教学中师生互动的一环是线上课程难以具备的，在下课时，常常会有同学与谢帅交流一些有关上课的内容，这样的互动对知识的理解是非常必要的，甚至可以说翻来覆去看视频也比不上下课与谢帅交流几分钟的效果；并且谢帅并不仅仅教授高代，在下课时也会与我们交流升入大学时可能碰到的学习生活上的疑问，为我们新生提供成长的建议；最后，线下的习题课安排也是非常充实的，感谢十分负责任的谢帅和习题课老师，每周准备讲义供我们课上练习，并且当场讲解加深印象。
令我印象最深刻的，是疫情学期的线上授课，谢帅会在高代课的时间在课程微信群中提问指定同学，希望他能够给出课程视频中某个证明的思路或者是思想、某个例题的做法正确的缘由等等。我们都知道“懂、会、熟、巧”是几个不同的阶段，会做不一定会讲，如果被谢帅“***钻”（其实更是“切中要点”）的提问仍能较好的回答，那么知识掌握一定是非常扎实、理解一定是非常深刻的，我想谢帅在微信群里提问也一定有这样的考虑吧！
一年的时间很快就过去了，再次感谢谢启鸿教授、朱胜林教授以及各位习题课老师和助教在高代教学上的辛勤付出，在此祝愿各位老师身体健康、工作顺利、家庭幸福！
20级转专业 李子豪
作为转专业进入数院的同学，我对高等代数每周一题的活动早有耳闻。不过当时高代水平不佳，看着每周一题就觉得我应该做不出来这些题目。等到真正修读高等代数的时候，又想起每周一题，便决定将其当做一周一次的小试炼，看看自己究竟要花多久时间来做这一道题目。渐渐地，在参与每周一题活动的过程中，我的高代水平也得到了显著的提升。
每周一题的题目是颇有难度的，但又不会显得“怪”：大部分的技术都是在日常学习中掌握过的。但究竟用哪些方法，怎么用这些方法就需要进一步揣摩，在这个过程中往往会让我回到课本或是白皮书中，纵览一遍相关的内容，或许在自己没有注意到的地方就隐藏着解题的关键。这种反馈式的学习卓有成效，让我不断加深对知识的理解。一些看似平凡的命题要被用到时才发现里面蕴含着许多信息，而做每周一题就是挖掘这些信息的过程。
做每周一题也是交流的好机会，有时觉得自己的解法太笨重，就可以看看其他同学的解法。所谓千人千面，每位同学的解答总会给我带来新的启示。比如考虑正定阵相乘的相关计算，直接化为标准型计算自然是正解，不过过于繁琐，如果先对其中一个矩阵做cholesky分解就会简便得多。再比如一些同学的解法蕴含着更高的观点，这在高代I的每周一题中尤为明显：一些看似复杂的命题使用更高的观点来看其实十分平凡。如[2021A05]一题中鲁万丰同学给出的互素多项式的应用简洁有力，还可以根据这种解法进一步做出推广。在欣赏不同同学的解法时，思路自然就开阔了。
当然，这也是一个自省的过程。在做每周一题时，常会有“想当然”的时候，稀里糊涂地提交一份错误的解答，谢老师总会在班级群里提醒同学重新检查，或是为同学提供其他的思路。再反过来看自己的解答时，才能看出自己的解答犯了哪些错误，或是哪里还没做到尽善尽美。
今年的每周一题在最后还提供了几道思考题，大多都是已有命题的推广或是一些有趣的性质，我觉得这一部分是颇有意思的。除了难题外，思考题也给了我探索的空间，把自己学过的知识再升华一遍。在思考题这一方面我认为还有很多方向可以尝试，比如从头构建一个新概念并证明相关性质，也是对同学们高代水平的极好促进。
上半年因为疫情教学遇到诸多困难，但谢老师还是利用混合式教学为同学们带来了优秀的教学。混合式教学也给了每个同学自主选择的机会，能够有效地自主规划学习的目标和时间，也让这半年的高代学习充满丰富变化。最后，衷心感谢谢老师一年来对同学们的辛勤付出，希望会有更多同学踊跃参加每周一题活动！
