复旦高等代数I（22级）每周一题
本学期的高等代数每周一题活动计划从第2教学周开始，到第15教学周结束，每周的周末公布1道思考题（共15道，思考题一般与下周授课内容密切相关），供大家思考和解答。每周一题将通过“高等代数官方博客”（以博文的形式）和“22级高等代数在线课群”（以课群话题的形式）这两个渠道同时发布。有兴趣的同学可以将每周一题的解答写在纸上，用手机APP扫描（推荐扫描全能王）或用手机拍照（注意图片像素不宜过高），并将解答图片上传到每周一题对应的课群话题中。本人会定期对每周一题的解答进行批改和评价，并将优秀解答标记出来推荐给全班同学。
[问题2022A01] 求下列 $n$ 阶行列式的值:
$$|A|=\begin{vmatrix} \dfrac{1}{1-x_1y_1} & \dfrac{1}{1-x_1y_2} & \cdots & \dfrac{1}{1-x_1y_n} \\ \dfrac{1}{1-x_2y_1} & \dfrac{1}{1-x_2y_2} & \cdots & \dfrac{1}{1-x_2y_n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ \dfrac{1}{1-x_ny_1} & \dfrac{1}{1-x_ny_2} & \cdots & \dfrac{1}{1-x_ny_n} \\ \end{vmatrix}.$$
[问题2022A02] 设 $S_n$ 是 $(1,2,\cdots,n)$ 的所有全排列构成的集合.
(1) 设 $(k_1,k_2,\cdots,k_n)\in S_n$, 且 $(k_i,k_{i+1})$ 是一个相邻的逆序对, 即满足 $k_i>k_{i+1}$, 证明: 相邻的逆序对在相邻对换后, 全排列的逆序数减少 $1$, 即
$$N(k_1,\cdots,k_{i-1},k_{i+1},k_i,k_{i+2},\cdots,k_n)=N(k_1,\cdots,k_{i-1},k_i,k_{i+1},k_{i+2},\cdots,k_n)-1.$$
(2) 请利用 (1) 和对逆序数的归纳法重新证明高代教材的引理 1.6.3, 即 $(k_1,k_2,\cdots,k_n)$ 通过 $N(k_1,k_2,\cdots,k_n)$ 次相邻对换可变为常序排列 $(1,2,\cdots,n)$.
(3) 请利用 (1) 证明: 对任意的正整数 $N\in\left[1,\dfrac{n(n-1)}{2}\right]$, 存在 $(k_1,k_2,\cdots,k_n)\in S_n$, 使得 $N(k_1,k_2,\cdots,k_n)=N$.
(4) 设在 $S_n$ 中逆序数等于 $k$ 的全排列有 $N(n,k)$ 个, 证明:
$$N(n,1)=n-1,\,\,N(n,2)=\dfrac{1}{2}(n^2-n-2)\,(n\geq 2),\,\,N(n,3)=\dfrac{1}{6}(n^3-7n)\,(n\geq 3).$$
[问题2022A03] $n$ 阶行列式 $|A|$ 的组合定义为
$$|A|=\sum_{(k_1,k_2,\cdots,k_n)\in S_n}(-1)^{N(k_1,k_2,\cdots,k_n)}a_{k_11}a_{k_22}\cdots a_{k_nn}.$$
证明: 不存在元素 $a_{ij}$ 都是实数的 $n\,(n\geq 3)$ 阶行列式 $|A|$, 使得对任意的 $(k_1,k_2,\cdots,k_n)\in S_n$, 成立
$$(-1)^{N(k_1,k_2,\cdots,k_n)}a_{k_11}a_{k_22}\cdots a_{k_nn}>0.$$
[问题2022A04] 若 $m\times n$ 实矩阵 $A=(a_{ij})$ 的所有元素 $a_{ij}\geq 0$, 则称 $A$ 为非负矩阵. 特别地, 当 $m=1$ 或 $n=1$ 时, 可得非负向量的定义. 设 $A$ 为 $n$ 阶非负矩阵, 且其每行、每列的元素之和都等于 $1$. 设非负向量 $x=(x_1,x_2,\cdots,x_n)'$, $y=Ax=(y_1,y_2,\cdots,y_n)'$, 证明:
$$\prod_{i=1}^ny_i\geq \prod_{j=1}^nx_j.$$
[问题2022A05] 设 $A$ 为 $2$ 阶实方阵, 证明: 存在 $2$ 阶非异实方阵 $Q$, 使得 $Q'AQ=A'$.
[问题2022A06] 设 $A,B$ 为 $n$ 阶实对称阵, 满足 $A^2B=ABA$, 求证: $AB=BA$.
[问题2022A07] 设 $S$ 是形如下列 $n$ 阶分块上三角阵全体构成的集合, 其中所有分块矩阵的行列分块方式都是 $n_1,n_2,\cdots,n_k$:
$$\begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} & \cdots & A_{1k} \\ & A_{22} & \cdots & A_{2k} \\ & & \ddots & \vdots \\ & & & A_{kk} \\ \end{pmatrix}.$$
证明: $S$ 中矩阵的加法、数乘、乘法、求逆和求伴随得到的矩阵仍然在 $S$ 中.
[问题2022A08] 设 $V=\{z\in\mathbb{C}\mid |z|=1,\,z\neq -1\}$, $V$ 中两个数 $z_1,z_2$ 的加法 $\oplus$ 定义为
$$z_1\oplus z_2=\frac{-1+z_1+z_2+3z_1z_2}{3+z_1+z_2-z_1z_2};$$
实数 $k$ 关于 $V$ 中数 $z$ 的数乘 $\circ$ 定义为
$$k\circ z=\dfrac{(1-k)+(1+k)z}{(1+k)+(1-k)z}.$$
证明: $(V,\,\oplus,\,\circ)$ 是实数域 $\mathbb{R}$ 上的线性空间.
[问题2022A09] 设 $A$ 为 $n$ 阶方阵, 其主对角元素全为 $0$, 其余元素为 $1$ 或 $-1$. 求证: $r(A)\geq n-1$.
[问题2022A10] 设 $n$ 阶方阵 $A,B$ 满足 $AB=BA$, 求证: $r(A)+r(B)\geq r(A\mid B)+r(AB)$.
[问题2022A11] 设 $A,B,C$ 分别是数域 $\mathbb{K}$ 上的 $m\times n$, $p\times q$, $m\times q$ 矩阵, 使得矩阵方程 $AY=C$ 和 $ZB=C$ 都有解, 证明: 矩阵方程 $AXB=C$ 也有解, 其中 $X,Y,Z$ 分别是 $n\times p$, $n\times q$, $m\times p$ 未定元矩阵.
[问题2022A12] 设 $V$ 是有理数域上的 $n$ 维线性空间, 证明: 存在 $V$ 上 $n$ 个线性变换 $\varphi_1,\varphi_2,\cdots,\varphi_n$, 使得对 $V$ 中任意的非零向量 $\alpha$, 向量组 $\{\varphi_1(\alpha),\varphi_2(\alpha),\cdots,\varphi_n(\alpha)\}$ 均线性无关.
[问题2022A13] 求一个次数最小的实系数多项式 $f(x)$, 使得 $f(x)$ 除以 $x^2+1$ 余 $x+1$, 且 $f(x)$ 除以 $x^3+x^2+1$ 余 $x^2-1$.
[问题2022A14] 设 $f(x)$ 是有理数域上的不可约多项式, $a$ 与 $\dfrac{1}{a}$ 都是 $f(x)$ 的复根. 证明: 若 $b$ 是 $f(x)$ 的任一复根, 则 $\dfrac{1}{b}$ 也是 $f(x)$ 的复根.
[问题2022A15] 证明: 实系数多项式 $x^3+px^2+qx+r$ 的 $3$ 个根都是实数的充要条件是
$$4p^3r-p^2q^2-18pqr+4q^3+27r^2\leq 0.$$
