复旦大学2021--2022学年第二学期（21级）高等代数II期末考试第七大题解答
$$\sin A=\begin{pmatrix} \dfrac{1}{2} & \dfrac{1}{4} & \cdots & \cdots & \dfrac{1}{2^n} \\[2mm] & \dfrac{1}{2} & \dfrac{1}{4} & \cdots & \dfrac{1}{2^{n-1}} \\ & & \ddots & \ddots & \vdots \\ & & & \ddots & \dfrac{1}{4} \\[2mm] & & & & \dfrac{1}{2} \\ \end{pmatrix}.$$
证明 记
$$B=\begin{pmatrix} \dfrac{1}{2} & \dfrac{1}{4} & \cdots & \cdots & \dfrac{1}{2^n} \\[2mm] & \dfrac{1}{2} & \dfrac{1}{4} & \cdots & \dfrac{1}{2^{n-1}} \\ & & \ddots & \ddots & \vdots \\ & & & \ddots & \dfrac{1}{4} \\[2mm] & & & & \dfrac{1}{2} \\ \end{pmatrix},$$
则 $B$ 的特征值全为 $\dfrac{1}{2}$, 特征值 $\dfrac{1}{2}$ 的几何重数等于 $n-r(B-\dfrac{1}{2}I_n)=n-(n-1)=1$, 于是 $B$ 的 Jordan 标准型中只有一个 Jordan 块 $J_n(\dfrac{1}{2})$, 即 $B$ 相似于 $J_n(\dfrac{1}{2})$. 另一方面, 将 Jordan 块 $J_n(\dfrac{\pi}{6})$ 代入 $\sin z$ 中作为测试矩阵 (注意 $\sin\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{1}{2}$, $\cos\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\neq 0$) 有:
$$\sin J_n(\dfrac{\pi}{6})=\begin{pmatrix} \dfrac{1}{2} & \dfrac{\sqrt{3}}{2} & \cdots & \cdots & * \\[2mm] & \dfrac{1}{2} & \dfrac{\sqrt{3}}{2} & \cdots & * \\ & & \ddots & \ddots & \vdots \\ & & & \ddots & \dfrac{\sqrt{3}}{2} \\[2mm] & & & & \dfrac{1}{2} \\ \end{pmatrix},$$
同理可证明 $\sin J_n(\dfrac{\pi}{6})$ 相似于 $J_n(\dfrac{1}{2})$. 因此, $\sin J_n(\dfrac{\pi}{6})$ 相似于 $B$. 由于这两个矩阵都是实矩阵, 故它们在实数域上也相似, 即存在非异实矩阵 $P$, 使得
$$B=P^{-1}\sin J_n(\dfrac{\pi}{6})P=\sin\left(P^{-1}J_n(\dfrac{\pi}{6})P\right).$$
令 $A=P^{-1}J_n(\dfrac{\pi}{6})P$, 则 $A$ 即为满足条件的实矩阵. $\Box$
注 本题共有 31 人得到了满分 10 分, 分别是 (排名不分先后): 卢羿舟、陈骁、王嘉琳、单佳骊、张城玮、韩宇轩、许知义、郭漪婕、唐欣怡、张子堃、吴孟霖、殷一荣、王晨旭、潘鹤文、吕昂格、覃芃博、罗金子、杨悦怡、何炫聪、李卓如、黎卓林、叶泽琳、袁榕含、毛凌旭、何益涵、李子豪、孙夏炀、王芃淏、侯弋凡、李万里、范一鸣.
