复旦大学2021--2022学年第二学期（21级）高等代数II期末考试第八大题解答
八、(10分) 设 $A$ 为 $n$ 阶正定实对称阵, $B,C$ 为 $n$ 阶实反对称阵, 使得 $BA^{-1}C$ 为对称阵. 证明:
$$|A|\cdot|B+C|\leq |A+B|\cdot|A+C|,$$
并求等号成立的充分必要条件.
证明 由 $A$ 正定可知 $A^{-\frac{1}{2}}AA^{-\frac{1}{2}}=I_n$, 由 $BA^{-1}C$ 对称以及 $B,C$ 反对称可知 $BA^{-1}C=CA^{-1}B$, 从而
$$(A^{-\frac{1}{2}}BA^{-\frac{1}{2}})(A^{-\frac{1}{2}}CA^{-\frac{1}{2}})=(A^{-\frac{1}{2}}CA^{-\frac{1}{2}})(A^{-\frac{1}{2}}BA^{-\frac{1}{2}}),$$
即实反对称阵 $A^{-\frac{1}{2}}BA^{-\frac{1}{2}}$ 与 $A^{-\frac{1}{2}}CA^{-\frac{1}{2}}$ 乘法可交换. 由高代教材习题 9.7.3 或高代白皮书例 9.108 (乘法可交换的实正规阵可同时正交标准化) 可知, 存在正交阵 $Q$, 使得
$$Q'A^{-\frac{1}{2}}BA^{-\frac{1}{2}}Q=\mathrm{diag}\left\{\begin{pmatrix} 0 & b_1 \\ -b_1 & 0 \\ \end{pmatrix},\cdots,\begin{pmatrix} 0 & b_r \\ -b_r & 0 \\ \end{pmatrix},0,\cdots,0\right\}=\Lambda_B,$$
$$Q'A^{-\frac{1}{2}}CA^{-\frac{1}{2}}Q=\mathrm{diag}\left\{\begin{pmatrix} 0 & c_1 \\ -c_1 & 0 \\ \end{pmatrix},\cdots,\begin{pmatrix} 0 & c_r \\ -c_r & 0 \\ \end{pmatrix},0,\cdots,0\right\}=\Lambda_C,$$
其中 $b_i,c_i\,(1\leq i\leq r)$ 都是实数, 此时 $Q'A^{-\frac{1}{2}}AA^{-\frac{1}{2}}Q=I_n$. 在要证不等式两边同时左乘 $|Q'A^{-\frac{1}{2}}|^2$, 右乘 $|A^{-\frac{1}{2}}Q|^2$, 故只要证明
$$|\Lambda_B+\Lambda_C|\leq |I_n+\Lambda_B|\cdot|I_n+\Lambda_C|$$
成立即可. 上述不等式右边等于 $\prod\limits_{i=1}^r(b_i^2+1)(c_i^2+1)$; 上述不等式左边, 当 $n>2r$ 时等于 $0$, 当 $n=2r$ 时等于 $\prod\limits_{i=1}^r(b_i+c_i)^2$. 注意到
$$(b_i^2+1)(c_i^2+1)-(b_i+c_i)^2=b_i^2c_i^2-2b_ic_i+1=(b_ic_i-1)^2\geq 0,$$
故 $(b_i^2+1)(c_i^2+1)\geq (b_i+c_i)^2\geq 0\,(1\leq i\leq r)$, 从而要证的不等式成立. 不等式的等号成立当且仅当 $n=2r$ 且 $b_ic_i=1\,(1\leq i\leq r)$, 即当且仅当
$$-I_n=\Lambda_B\Lambda_C=(Q'A^{-\frac{1}{2}}BA^{-\frac{1}{2}}Q)(Q'A^{-\frac{1}{2}}CA^{-\frac{1}{2}}Q)=Q'A^{-\frac{1}{2}}(BA^{-1}C)A^{-\frac{1}{2}}Q,$$
这也当且仅当 $(BA^{-1}C)A^{-\frac{1}{2}}QQ'A^{-\frac{1}{2}}=-I_n$, 即当且仅当 $BA^{-1}CA^{-1}=-I_n$ 或 $BA^{-1}C=-A$. $\Box$
注 1 由于本题是最后一道压轴大题, 故批改较严. 不等式等号成立的充要条件设置为 3 分, 如果只得到 $n=2r$ 且 $b_ic_i=1\,(1\leq i\leq r)$, 那只能得 1 分, 因为我们需要的是不依赖于证明过程中的记号的充要条件. 试卷中大家都是利用 $D'AD=I_n$ 得到 $A^{-1}=DD'$, 然后再代入 $BA^{-1}C$ 中进行讨论. 上述解答 (高代白皮书第四版的解答) 利用的是 $A^{-1}$ 的算术平方根 $A^{-\frac{1}{2}}$, 这不仅更加简洁, 而且是高年级专业课中常用的工具, 希望大家多运用它. 本题共有 23 位同学得分在 5 分以上, 分别是 (排名不分先后):
同时正交标准化：王嘉琳 6，许知义 7，张子堃 7，吴孟霖 10，殷一荣 8，潘鹤文 8，覃芃博 8，何炫聪 8，黎卓林 8，叶泽琳 8，杨振庭 5，李子豪 8，孙夏炀 7，王芃淏 7，李万里 5；
同时上三角化：杨辉韬 7，陈蕴嘉 5，王博宇 5，王晨旭 7，刘轩 5；
同时酉对角化：韩宇轩 5，毛凌旭 8，何益涵 10.
注 2 本题的证明思路与 20 级高代 II 期末考试第七大题十分类似. 本题是高代白皮书第四版例 9.130.
