复旦高等代数II（21级）每周一题

本学期的高等代数每周一题活动计划从第1教学周开始，到第15教学周结束，每周的周末公布1道思考题（共18道，思考题一般与下周授课内容密切相关），供大家思考和解答。每周一题将通过“高等代数官方博客”（以博文的形式）和“高等代数在线课程21级课群”（以课群话题的形式）这两个渠道同时发布。有兴趣的同学可以将每周一题的解答写在纸上，用手机APP扫描或用手机拍照（注意清晰度，且图片像素不宜过高），并将解答图片上传到每周一题对应的课群话题中。本人会定期对每周一题的解答进行批改和评价，并将优秀解答标记出来推荐给全班同学。

[问题2022S01]  设 $x_1,\cdots,x_n$, $y_1,\cdots,y_m$ 都是未定元, $$f(x)=(x-x_1)\cdots(x-x_n)=x^n-\sigma_1x^{n-1}+\cdots+(-1)^n\sigma_n,$$ $$g(x)=(x-y_1)\cdots(x-y_m)=x^m-\tau_1x^{m-1}+\cdots+(-1)^m\tau_m,$$ 其中 $\sigma_1,\cdots,\sigma_n$ 是 $x_1,\cdots,x_n$ 的初等对称多项式, $\tau_1,\cdots,\tau_m$ 是 $y_1,\cdots,y_m$ 的初等对称多项式. 设 $R(f,g)$ 是多项式 $f(x)$ 与 $g(x)$ 的结式 (参考复旦高代教材定义 5.10.1), 则 $R(f,g)$ 是关于  $x_1,\cdots,x_n$, $y_1,\cdots,y_m$ 的多元多项式. 请用行列式求值的“求根法” (参考习题课教学视频高代1第7讲) 证明:

$$R(f,g)=\prod_{i=1}^n\prod_{j=1}^m(x_i-y_j).$$

注  由本题可得到复旦高代教材定理 5.10.2 的另一证明.

[问题2022S02]  求下列 $n+1$ 阶方阵 $A$ 的特征值和特征向量:

$$A=\begin{pmatrix} n & -n & & & \\ 1 & n-2 & 1-n & & \\ & 2 & \ddots & \ddots & \\ & & \ddots & \ddots & -1 \\ & & & n & -n \\ \end{pmatrix}.$$

[问题2022S03]  设 $n$ 阶复方阵 $A,B$ 满足 $A+B=AB$, 求证: $A$ 的特征值 $\lambda_1,\cdots,\lambda_n$ 和 $B$ 的特征值 $\mu_1,\cdots,\mu_n$ 经过适当的排序后, 可满足 $\lambda_i+\mu_i=\lambda_i\mu_i\,(1\leq i\leq n)$. 特别地, $A$ 是幂零阵当且仅当 $B$ 是幂零阵.

[问题2022S04]  设 $A$ 为 $n$ 阶复方阵, 则存在非异阵 $P$, 使得 $$P^{-1}AP=\begin{pmatrix} \lambda_1 & * & \cdots & * \\ & \lambda_2 & \cdots & * \\ & & \ddots & \vdots \\ & & & \lambda_n \\ \end{pmatrix}.$$ 可取到复数 $c_1,c_2,\cdots,c_n$, 使得当 $0<t\ll 1$ 时, $\lambda_1+c_1t$, $\lambda_2+c_2t$, $\cdots$, $\lambda_n+c_nt$ 互不相同. 令 $$A_t=P\begin{pmatrix} \lambda_1+c_1t & * & \cdots & * \\ & \lambda_2+c_2t & \cdots & * \\ & & \ddots & \vdots \\ & & & \lambda_n+c_nt \\ \end{pmatrix}P^{-1},$$ 则当 $0<t\ll 1$ 时,  $A_t$ 有 $n$ 个不同的特征值 (于是可对角化), 并且 $\lim\limits_{t\to 0+}A_t=A$, 这就是矩阵 $A$ 的可对角化摄动. 请用上述摄动法 (不用 Kronecker 积) 求 $V=M_{m\times n}(\mathbb{C})$ 上的线性变换 $\varphi$ 的特征值, 其中 $A\in M_m(\mathbb{C})$ 的特征值为 $\lambda_1,\cdots,\lambda_m$, $B\in M_n(\mathbb{C})$ 的特征值为 $\mu_1,\cdots,\mu_n$:

(1) $\varphi(X)=AXB$;

(2) $\varphi(X)=AX-XB$.

[问题2022S05]  求证下列三对角矩阵可对角化:

$$A=\begin{pmatrix} 0 & 1 & & & & \\ n-1 & 0 & 2 & & & \\  & n-2 & 0 & 3 & & \\ & & \ddots & \ddots & \ddots & \\ & & & \ddots & \ddots & n-1 \\ & & & & 1 & 0 \\ \end{pmatrix}.$$

[问题2022S06]  设 $A,B$ 分别是数域 $\mathbb{K}$ 上的 $m,n$ 阶矩阵, 它们在复数域 $\mathbb{C}$ 中有公共的特征值. 证明: 存在非零矩阵 $C\in M_{m\times n}(\mathbb{K})$, 使得 $AC=CB$.

[问题2022S07]  设 $A$ 是数域 $\mathbb{K}$ 上的 $n$ 阶矩阵, 其特征多项式等于极小多项式, 证明: 矩阵方程 $XA=A'X$ 的解是 $\mathbb{K}$ 上的对称阵.

[问题2022S08]  设 $V$ 为 $n$ 阶复方阵全体构成的线性空间, $V$ 上的线性变换 $\varphi$ 定义为 $\varphi(X)=AX-XA$, 其中 $A\in V$. 证明: $\varphi$ 可对角化的充要条件是 $A$ 可对角化.

注  本题是第二届全国大学生数学竞赛决赛某道代数试题的推广.

[问题2022S09]  设 $V$ 为 $n$ 阶复方阵全体构成的线性空间, $V$ 上的线性变换 $\varphi$ 定义为 $\varphi(X)=JXJ$, 其中 $J=J_n(0)$ 是特征值为 $0$ 的 $n$ 阶 Jordan 块. 试求 $\varphi$ 的 Jordan 标准型.

[问题2022S10]  设 $a$ 为实数, 求下列 $n$ 阶实对称阵的正负惯性指数:

$$A=\begin{pmatrix} 1 & a & a^2 & \cdots & a^{n-1} \\ a & 1 & a & \cdots & a^{n-2} \\ a^2 & a & 1 & \cdots & a^{n-3} \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ a^{n-1} & a^{n-2} & a^{n-3} & \cdots & 1 \\ \end{pmatrix}.$$

[问题2022S11]  设 $A=(a_{ij})$ 为 $n$ 阶正定实对称阵, $B=(b_{ij})$ 为 $n$ 阶半正定实对称阵且主对角元全大于零, 证明: Hadamard 乘积 $A\circ B=(a_{ij}b_{ij})$ 是正定实对称阵.

注  本题是高代白皮书例 8.23 的推广.

[问题2022S12]  设 $A$ 为 $n$ 阶实对称阵, $B$ 为 $n$ 阶半正定实对称阵, 满足 $|A+\mathrm{i}B|=0$. 求证: 存在 $n$ 维非零实列向量 $\alpha$, 使得 $A\alpha=B\alpha=0$.

注  本题是复旦大学数学学院21级高等代数 I 期末考试第八大题的推广.

[问题2022S13]  设实二次型 $f(x)=x'Ax$, 其中 $n$ 阶实矩阵 $A$ 未必对称且 $|A|<0$. 求证: 存在实数 $a_1,a_2,\cdots,a_n$, 使得 $f(a_1,a_2,\cdots,a_n)<0$.

注  本题是高代白皮书例8.19的推广, 可用高代白皮书例8.31的半正定版本.

[问题2022S14]  设 $A,B$ 都是 $n$ 阶半正定实对称阵, 求证: $\dfrac{1}{n}\mathrm{tr}(AB)\geq |A|^{\frac{1}{n}}|B|^{\frac{1}{n}}$, 并求等号成立的充要条件.

注  可用高代白皮书例8.34的半正定版本, 或可用实对称阵的正交相似标准型.

[问题2022S15]  证明: $n$ 维欧氏空间 $V$ 中, 两两夹角大于直角的向量个数至多是 $n+1$ 个, 并举例说明能取到 $n+1$ 个这样的向量.

[问题2022S16]  请将 [问题2021A06] 中的一一对应推广到 $n$ 阶酉阵和 $n$ 阶斜 Hermite 阵的情形 (只写结论, 不用证明), 并用酉阵和斜 Hermite 阵的酉相似标准型理论说明这个一一对应的本质.

[问题2022S17]  设 $A,B$ 为 $n$ 阶实方阵, 其中 $A$ 的 $n$ 个特征值都是正实数, 并且满足 $AB+BA'=2AA'$. 证明:

(1) $B$ 必为对称阵;

(2) $A$ 为对称阵当且仅当 $A=B$, 也当且仅当 $\mathrm{tr}(B^2)=\mathrm{tr}(AA')$;

(3) $|B|\geq |A|$, 等号成立当且仅当 $A=B$.

注  本题是复旦大学数学学院20级高代I期中考试第七大题的推广.

[问题2022S18]  设 $A$ 为 $n$ 阶实方阵, 证明:  $\mathrm{tr}(A)^2\leq\mathrm{r}(A)\cdot\mathrm{tr}(A'A)$, 并求等号成立的充要条件.

注  利用 $A$ 的奇异值分解.