复旦大学2021--2022学年第一学期（21级）高等代数I期末考试第七大题解答

七、(10分)  设 $A$ 为数域 $\mathbb{K}$ 上的 $n\,(n>1)$ 阶方阵, $r(A)=n-1$, $A^*$ 是 $A$ 的伴随矩阵. 记齐次线性方程组 $Ax=0$ 的解空间为 $V_A$, $A^*x=0$ 的解空间为 $V_{A^*}$. 证明: $\mathbb{K}^n=V_A\oplus V_{A^*}$ 成立的充要条件是 $\mathrm{tr}(A^*)\neq 0$.

证明  由 $r(A)=n-1$ 可知 $\dim V_A=n-(n-1)=1$, 即线性方程组 $Ax=0$ 的基础解系只含一个向量. 由 $|A|=0$ 可知 $AA^*=|A|I_n=O$, 即 $A^*$ 的任一列向量都属于 $V_A$. 又不妨设 $A$ 的某个代数余子式 $A_{ij}\neq 0$, 则 $A^*$ 的第 $i$ 列 $\alpha=(A_{i1},\cdots,A_{ij},\cdots,A_{in})'\neq 0$, 于是 $V_A=L(\alpha)$ 并且 $A^*$ 的列向量成比例, 从而 $r(A^*)=1$ 且存在非零列向量 $\beta$, 使得 $A^*=\alpha\beta'$. 因此 $\dim V_{A^*}=n-1$.

下面用两种方法来证明结论.

证法 1  首先, 由矩阵迹的交换性可得

$$\mathrm{tr}(A^*)=\mathrm{tr}(\alpha\beta')=\mathrm{tr}(\beta'\alpha)=\beta'\alpha.$$

其次, 我们断言 $\mathbb{K}^n=V_A\oplus V_{A^*}$ $\Leftrightarrow$ $V_A\cap V_{A^*}=0$. 必要性是显然的, 下证充分性. 若 $V_A\cap V_{A^*}=0$, 则 $\dim(V_A\oplus V_{A^*})=\dim V_A+\dim V_{A^*}=1+(n-1)=n=\dim\mathbb{K}^n$, 于是 $\mathbb{K}^n=V_A\oplus V_{A^*}$. 最后, 注意到 $\alpha\neq 0$, $V_A=L(\alpha)$ 并且

$$A^*\alpha=(\alpha\beta')\alpha=\alpha(\beta'\alpha)=(\beta'\alpha)\alpha=\mathrm{tr}(A^*)\alpha,$$

故 $\mathbb{K}^n=V_A\oplus V_{A^*}$ $\Leftrightarrow$ $V_A\cap V_{A^*}=0$ $\Leftrightarrow$ $\alpha\not\in V_{A^*}$ $\Leftrightarrow$ $0\neq A^*\alpha=\mathrm{tr}(A^*)\alpha$ $\Leftrightarrow$ $\mathrm{tr}(A^*)\neq 0$.

证法 2  注意到 $\alpha=(A_{i1},\cdots,A_{ij},\cdots,A_{in})'$, 若设 $\beta=(b_1,b_2,\cdots,b_n)'$, 其中 $b_i=1$, 则由 $A^*=\alpha\beta'$ 可得 $A_{kl}=b_kA_{il}\,(1\leq k,l\leq n)$, 于是

$$\mathrm{tr}(A^*)=A_{11}+A_{22}+\cdots+A_{nn}=b_1A_{i1}+b_2A_{i2}+\cdots+b_nA_{in}.$$

设 $A=(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n)$ 为列分块, 由 $r(A)=n-1$, $A_{ij}\neq 0$ 和截短向量的性质 (高代白皮书的例 3.12) 可知 $\alpha_1,\cdots,\alpha_{j-1},\alpha_{j+1},\cdots,\alpha_n$ 是 $A$ 的列向量的极大无关组. 由 $A^*A=|A|I_n=O$ 可知 $A$ 的列向量都属于 $V_{A^*}$, 又 $\dim V_{A^*}=n-1$, 故 $\alpha_1,\cdots,\alpha_{j-1},\alpha_{j+1},\cdots,\alpha_n$ 是 $V_{A^*}$ 的一组基. 显然 $\alpha$ 是 $V_A$ 的一组基, 计算如下行列式 (按第 $j$ 列展开):

$$|\alpha_1,\cdots,\alpha_{j-1},\alpha,\alpha_{j+1},\cdots,\alpha_n|=A_{i1}A_{1j}+A_{i2}A_{2j}+\cdots+A_{in}A_{nj}=A_{ij}(b_1A_{i1}+b_2A_{i2}+\cdots+b_nA_{in})=A_{ij}\mathrm{tr}(A^*),$$

于是 $\mathbb{K}^n=V_A\oplus V_{A^*}$ $\Leftrightarrow$  $V_{A^*}$ 的一组基 $\alpha_1,\cdots,\alpha_{j-1},\alpha_{j+1},\cdots,\alpha_n$ 和 $V_A$ 的一组基 $\alpha$ 可以拼成 $\mathbb{K}^n$ 的一组基 $\Leftrightarrow$ $|\alpha_1,\cdots,\alpha_{j-1},\alpha,\alpha_{j+1},\cdots,\alpha_n|=A_{ij}\mathrm{tr}(A^*)\neq 0$ $\Leftrightarrow$ $\mathrm{tr}(A^*)\neq 0$.  $\Box$

注 1  本题开始部分的讨论源于高代白皮书的例 3.76. 证法 1 的主要思路是利用秩等于 1 的矩阵的运算性质 (参考高代白皮书的例 2.10 和例 2.11). 证法 2  的主要思路是计算两个解空间的一组基拼成矩阵的行列式. 其实, 我们还有证法 3, 就是联立两个线性方程组 $Ax=0$, $A^*x=0$ 来求公共解, 可以将 $A,A^*$ 的行向量的极大无关组拼成矩阵, 然后计算其行列式. 证法 3 的证明过程与证法 2 类似, 这里不再赘述, 请感兴趣的同学自行完成. 下面是本题的一个推广 (取 $\varphi=A^*$):

推广  设 $\varphi$ 是 $n\,(n>1)$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换, 且 $r(\varphi)=1$, 证明: $\varphi$ 的极小多项式 $m(\lambda)=\lambda(\lambda-\mathrm{tr}(\varphi))$, 并且下面三个结论等价:

(i) $\mathrm{tr}(\varphi)\neq 0$;

(ii) $\varphi$ 可对角化;

(iii) $V=\mathrm{Ker}\varphi\oplus\mathrm{Im}\varphi$.

注 2  本题得分在 8 分以上的同学共有 26 人 (排名不分先后): 范一鸣, 陈梁丰艺, 吴孟霖, 贺则喜, 高睿君, 黄昱文, 肖逸航, 王芃淏, 朱熠宸, 张乐祺, 谭纪元, 李子豪, 宋维正, 罗金子, 刘俞辰, 汪含章, 陈骁, 刘骋栋, 张元吉, 侯弋凡, 毛凌旭, 叶泽琳, 何益涵, 袁榕含, 鲁万丰, 杨悦怡.