复旦大学2021--2022学年第一学期（21级）高等代数I期末考试第八大题解答

八、(10分)  设 $A,C$ 为 $n$ 阶实对称阵, $B$ 为 $n$ 阶实方阵, $D=\mathrm{diag}\{d_1,d_2,\cdots,d_n\}$, $d_i>0\,(1\leq i\leq n)$, 满足: $$\begin{vmatrix} \mathrm{i}A+D & \mathrm{i}B \\ B' & C \\ \end{vmatrix}=0,$$ 其中 $\mathrm{i}=\sqrt{-1}$ 为虚数单位. 证明: $|B^2+C^2|=0$.

证明  将第一分块行乘以 $-\mathrm{i}$, 可知 $\begin{pmatrix} A-\mathrm{i}D & B \\ B' & C \\ \end{pmatrix}$ 为奇异阵, 下面用两种方法来证明结论.

证法 1  由上述矩阵的奇异性可知, 存在 $0\neq\begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \\ \end{pmatrix}\in\mathbb{C}^{2n}$, 使得

$$\begin{pmatrix} A-\mathrm{i}D & B \\ B' & C \\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \\ \end{pmatrix}=0. \qquad(1)$$

(1) 式左乘 $(\overline{\alpha}',\overline{\beta}')$, 再经整理后可得:

$$(\overline{\alpha}',\overline{\beta}')\begin{pmatrix} A & B \\ B' & C \\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \\ \end{pmatrix}-\mathrm{i}(\overline{\alpha}',\overline{\beta}')\begin{pmatrix} D & O \\ O & O \\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \\ \end{pmatrix}=0. \qquad(2)$$

由假设容易验证 $(\overline{\alpha}',\overline{\beta}')\begin{pmatrix} A & B \\ B' & C \\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \\ \end{pmatrix}$ 和 $(\overline{\alpha}',\overline{\beta}')\begin{pmatrix} D & O \\ O & O \\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \\ \end{pmatrix}$ 这两个数在共轭转置下不变, 从而它们都是实数. 比较 (2) 式两边的实部与虚部, 可得 $(\overline{\alpha}',\overline{\beta}')\begin{pmatrix} D & O \\ O & O \\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \\ \end{pmatrix}=\overline{\alpha}'D\alpha=0$.

设 $\alpha=(a_1,a_2,\cdots,a_n)'$, 则

$$0=\overline{\alpha}'D\alpha=d_1|a_1|^2+d_2|a_2|^2+\cdots+d_n|a_n|^2,$$

又 $d_i>0\,(1\leq i\leq n)$, 故 $a_1=a_2=\cdots=a_n=0$, 即 $\alpha=0$. 代入 (1) 式可知, $\beta\neq 0$ 且 $\begin{pmatrix} B \\ C \\ \end{pmatrix}\beta=0$, 即 $B\beta=C\beta=0$, 从而 $(B^2+C^2)\beta=0$, 于是 $B^2+C^2$ 必为奇异阵, 即有 $|B^2+C^2|=0$.

证法 2  先证明 $A-\mathrm{i}D$ 为非异阵 (也可由高代白皮书的例 3.80 得到). 任取线性方程组 $(A-\mathrm{i}D)x=0$ 的解 $\alpha\in\mathbb{C}^n$, 即 $(A-\mathrm{i}D)\alpha=0$. 此式左乘 $\overline{\alpha}'$ 可得 $\overline{\alpha}'A\alpha-\mathrm{i}\overline{\alpha}'D\alpha=0$. 由假设容易验证 $\overline{\alpha}'A\alpha$ 和 $\overline{\alpha}'D\alpha$ 这两个数在共轭转置下不变, 从而它们都是实数. 比较上式两边的实部与虚部, 可得 $\overline{\alpha}'D\alpha=0$. 同证法 1 可得 $\alpha=0$, 故 $(A-\mathrm{i}D)x=0$ 只有零解, 于是 $A-\mathrm{i}D$ 为非异阵. 由降阶公式可得

$$0=\begin{vmatrix} A-\mathrm{i}D & B \\ B' & C \\ \end{vmatrix}=|A-\mathrm{i}D|\cdot|C-B'(A-\mathrm{i}D)^{-1}B|,$$

于是 $|C-B'(A-\mathrm{i}D)^{-1}B|=0$, 从而存在 $0\neq\beta\in\mathbb{C}^n$, 使得

$$(C-B'(A-\mathrm{i}D)^{-1}B)\beta=0. \qquad(3)$$

(3) 式左乘 $\overline{\beta}'$ 可得

$$\overline{\beta}'C\beta-\overline{\beta}'B'(A-\mathrm{i}D)^{-1}B\beta=0.$$

令 $\gamma=(A-\mathrm{i}D)^{-1}B\beta$, 则 $\overline{\beta}'B'=\overline{B\beta}'=\overline{(A-\mathrm{i}D)\gamma}'=\overline{\gamma}'(A+\mathrm{i}D)$. 于是上式可化为

$$0=\overline{\beta}'C\beta-\overline{\gamma}'(A+\mathrm{i}D)\gamma=(\overline{\beta}'C\beta-\overline{\gamma}'A\gamma)-\mathrm{i}\overline{\gamma}'D\gamma. \qquad(4)$$

比较 (4) 式两边的实部与虚部, 可得 $\overline{\gamma}'D\gamma=0$. 同证法 1 可得 $\gamma=0$, 于是 $B\beta=(A-\mathrm{i}D)\gamma=0$. 代入 (3) 式可得 $C\beta=0$, 从而 $(B^2+C^2)\beta=0$, 于是 $B^2+C^2$ 为奇异阵, 即有 $|B^2+C^2|=0$.  $\Box$

注 1  本题的证明思路与复旦大学数学学院19级高等代数I期中考试第七大题的证明思路非常类似, 请大家自行比较. 在高等代数第八章引入半正定实对称阵 (Hermite 阵) 的定义后, 本题还可以推广到如下形式, 其证明只要利用半正定实对称阵 (Hermite 阵) 的性质 2 (高代白皮书的例 8.44) 即可:

推广  设 $A$ 为 $n$ 阶实对称阵, $B$ 为 $n$ 阶半正定实对称阵, 满足 $|A+\mathrm{i}B|=0$. 证明: 存在非零实列向量 $\alpha$, 使得 $A\alpha=B\alpha=0$.

注 2  本题得分在5分以上的同学共有 8 人: 吴孟霖 (10', 证法1), 李一帆 (8', 证法1), 何益涵 (7', 证法1), 鲁万丰 (7', 证法2), 张子堃 (6', 证法2), 李子豪 (5', 证法2), 王芃淏 (5', 证法2), 肖逸航 (5', 证法2).