复旦高等代数I（21级）每周一题

本学期的高等代数每周一题活动计划从第2教学周开始，到第16教学周结束，每周的周末公布1道思考题（共15道，思考题一般与下周授课内容密切相关），供大家思考和解答。每周一题将通过“高等代数官方博客”（以博文的形式）和“高等代数在线课程21级课群”（以课群话题的形式）这两个渠道同时发布。有兴趣的同学可以将每周一题的解答写在纸上，用手机APP扫描或用手机拍照（注意清晰度，且图片像素不宜过高），并将解答图片上传到每周一题对应的课群话题中。本人会定期对每周一题的解答进行批改和评价，并将优秀解答标记出来推荐给全班同学。

[问题2021A01]  求下列 $n$ 阶行列式的值:

$$|A|=\begin{vmatrix} 1 & a & a^2 & \cdots & a^{n-1} \\ a & 1 & a & \cdots & a^{n-2} \\ a^2 & a & 1 & \cdots & a^{n-3} \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ a^{n-1} & a^{n-2} & a^{n-3} & \cdots & 1 \\ \end{vmatrix}.$$

[问题2021A02]  求下列 $n$ 阶行列式的值:

$$|A|=\begin{vmatrix} 1 & x_1 & \cdots & x_1^{n-2} & (x_2+x_3+\cdots+x_n)^n \\ 1 & x_2 & \cdots & x_2^{n-2} & (x_1+x_3+\cdots+x_n)^n \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 1 & x_n & \cdots & x_n^{n-2} & (x_1+x_2+\cdots+x_{n-1})^n \\ \end{vmatrix}.$$

[问题2021A03]  设多项式 $f(x)=x^n+a_1x^{n-1}+\cdots+a_{n-1}x+a_n$, $A$ 是 $f(x)$ 的友阵 (空白处全为零): $$A=\begin{pmatrix} & &  & & -a_n \\ 1 & &  & & -a_{n-1} \\ & \ddots & & & \vdots \\ & & \ddots & & \vdots \\ & & & 1 & -a_1 \end{pmatrix}.$$ 设 $n$ 阶矩阵 $X$ 满足 $XA=A'X$, 求证: $X$ 是对称阵.

[问题2021A04]  求下列行列式的值: $$|A|=\begin{vmatrix} a_1^2+n-1 & a_1+a_2 & a_1+a_3 & \cdots & a_1+a_n \\ a_1+a_2 & a_2^2+1 & 1 & \cdots & 1 \\ a_1+a_3 & 1 & a_3^2+1 & \cdots & 1 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_1+a_n & 1 & 1 & \cdots & a_n^2+1 \\ \end{vmatrix}.$$

[问题2021A05]  设 $A,B$ 为 $n$ 阶方阵, 满足: $$AB=A+a_mB^m+a_{m-1}B^{m-1}+\cdots+a_1B,$$ 其中 $a_m+a_{m-1}+\cdots+a_1\neq 0$. 求证: $AB=BA$.

[问题2021A06]  若 $n$ 阶实方阵 $P$ 满足 $PP'=I_n$, 则称 $P$ 为正交阵. 设 $S$ 为 $n$ 阶实反对称阵全体构成的集合, $T=\{P$ 为 $n$ 阶正交阵且满足 $I_n+P$ 可逆$\}$.

(1) 对任意的 $A\in S$, 由高代白皮书的例 2.33 可知 $I_n+A$ 可逆, 定义 $\varphi(A)=(I_n-A)(I_n+A)^{-1}$, 证明: $\varphi$ 是从 $S$ 到 $T$ 的映射.

(2) 对任意的 $P\in T$, 定义 $\psi(P)=(I_n-P)(I_n+P)^{-1}$, 证明: $\psi$ 是从 $T$ 到 $S$ 的映射.

(3) 证明: $\psi\varphi=\mathrm{Id}_S$, $\varphi\psi=\mathrm{Id}_T$, 其中 $\mathrm{Id}_S,\mathrm{Id}_T$ 表示 $S,T$ 上的恒等映射, 即 $\varphi,\psi$ 实现了集合 $S$ 与 $T$ 之间的一一对应.

(4) 设 $n$ 阶实反对称阵 $$A=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\ -1 & 0 & 1 & \cdots & 1 \\ -1 & -1 & 0 & \cdots & 1 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ -1 & -1 & -1 & \cdots & 0 \\ \end{pmatrix},$$ 试求 $\varphi(A)=(I_n-A)(I_n+A)^{-1}$.

[问题2021A07]  设 $A,B$ 为 $n\,(n\geq 2)$ 阶方阵, 满足 $AB=BA$, 证明: $AB^*=B^*A$, 其中 $B^*$ 是 $B$ 的伴随阵. 

[问题2021A08]  设 $\{\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_p\}$ 是 $\mathbb{K}^m$ 中 $p$ 个线性无关的 $m$ 维列向量, $\{\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_q\}$ 是 $\mathbb{K}^n$ 中 $q$ 个线性无关的 $n$ 维列向量. 证明: $\{\alpha_i\cdot\beta_j'\,(1\leq i\leq p,\,1\leq j\leq q)\}$ 是 $pq$ 个线性无关的 $m\times n$ 矩阵.

[问题2021A09]  设 $A$ 为列满秩的 $m\times n$ 实矩阵.

(1) 求证: $A'A$ 为非异阵.

(2) 设 $A$ 的第一列元素全为 $1$, 令 $P=A(A'A)^{-1}A'$, 求证: $P$ 所有的主对角元素都大于等于 $\dfrac{1}{m}$.

[问题2021A10]  设 $(V,\,+\,,\,\cdot\,)$ 是数域 $\mathbb{K}$ 上的线性空间, 映射 $\varphi:S\to V$ 是从集合 $S$ 到 $V$ 的一个双射. 设 $a,b\in S$, $k\in\mathbb{K}$, 定义 $S$ 上的加法 $\oplus$ 为: $a\oplus b=\varphi^{-1}(\varphi(a)+\varphi(b))$; 定义 $\mathbb{K}$ 关于 $S$ 的数乘 $\circ$ 为: $k\circ a=\varphi^{-1}(k\cdot\varphi(a))$.

(1) 证明: $(S,\,\oplus\,,\,\circ\,)$ 是数域 $\mathbb{K}$ 上的线性空间, 并且 $\varphi:S\to V$ 是线性同构;

(2) 在 [问题2021A06] 中, $n$ 阶实反对称阵全体构成的集合 $S$ 是实数域上的线性空间, 请定义集合 $T=\{P$ 为 $n$ 阶正交阵且满足 $I_n+P$ 可逆$\}$ 上的加法和数乘 (写出具体的表达式), 使得 $T$ 成为实数域上的线性空间, 并且 $\psi:T\to S$ 成为线性同构.

[问题2021A11]  设 $m\times n$ 矩阵 $A$ 的秩为 $r$, 证明: 存在分解 $A=BC$ (其中 $B$ 是 $m\times r$ 矩阵, $C$ 是 $r\times n$ 矩阵) 的充要条件是 $B$ 的 $r$ 个列向量是 $A$ 的 $n$ 个列向量张成线性空间的一组基, 或者 $C$ 的 $r$ 个行向量是 $A$ 的 $m$ 个行向量张成线性空间的一组基. 此时, $A=BC$ 是 $A$ 的满秩分解.

[问题2021A12]  设 $n$ 阶方阵 $A$ 的秩等于 $r$, $k$ 为常数. 证明: $A^2=kA$ 的充要条件是对 $A$ 的任一满秩分解 $A=BC$ 都有 $CB=kI_r$.

注  本题是第三届全国大学生数学竞赛决赛一道代数试题的推广.

[问题2021A13]  设 $V,U$ 分别是数域 $\mathbb{K}$ 上的 $n,m$ 维线性空间, $\varphi:V\to U$ 是线性映射. 证明:

(1) 存在 $\mathbb{K}$ 上的线性空间 $W$, 满线性映射 $\xi:V\to W$, 以及单线性映射 $i:W\to U$, 使得 $\varphi=i\circ\xi$;

(2) 若另外存在 $\mathbb{K}$ 上的线性空间 $W_1$, 满线性映射 $\xi_1:V\to W_1$, 以及单线性映射 $i_1:W_1\to U$, 使得 $\varphi=i_1\circ\xi_1$, 则存在线性同构 $\eta:W\to W_1$, 使得 $\xi_1=\eta\circ\xi$, $i=i_1\circ\eta$.

注  本题是矩阵的满秩分解的几何版本, 请用几何方法进行证明.

[问题2021A14]  设 $V$ 是 $n$ 维复线性空间, $\varphi$ 是 $V$ 上的线性变换. 证明: 可将 $V$ 看成是 $2n$ 维实线性空间 $V_0$, $\varphi$ 看成是 $V_0$ 上的实线性变换 $\varphi_0$, 并且 $\det(\varphi_0)=|\det(\varphi)|^2$, 其中 $|\,\cdot\,|$ 表示复数的模长.

注  因为线性变换在不同基下的表示矩阵是相似的, 而且矩阵的行列式在相似关系下不改变, 所以线性变换的行列式定义为它的任一表示矩阵的行列式.

[问题2021A15]  (1) 设 $f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0$ 是整系数多项式, $1\leq k\leq n$. 设存在素数 $p$, 使得 $p\nmid a_n$, $p\mid a_{k-1}$, $p\mid a_{k-2}$, $\cdots$, $p\mid a_0$, $p^2\nmid a_0$, 证明: $f(x)$ 有一个次数 $\geq k$ 的不可约因子.

(2) 设 $n\geq 2$ 为正整数, $p$ 为素数, 证明: $x^n+(p+2)x^{n-1}+p$ 在有理数域上不可约.