线性变换在基域缩小下的若干性质

在本文中, 总是假设 $V$ 是数域 $\mathbb{K}$ 上的 $n$ 维线性空间, $\varphi$ 是 $V$ 上的线性变换. 若 $\mathbb{K}\subseteq\mathbb{E}$ 为数域的扩张, 则可以通过张量积将 $V$ 延拓为 $\mathbb{E}$ 上的 $n$ 维线性空间 $V_{\mathbb{E}}$, 将 $\varphi$ 延拓为 $V_{\mathbb{E}}$ 上的线性变换 $\varphi_{\mathbb{E}}$:

$$V_{\mathbb{E}}:=V\otimes_{\mathbb{K}}\mathbb{E},\quad \varphi_{\mathbb{E}}(v\otimes l):=\varphi(v)\otimes l,\quad v\in V,\,\,l\in\mathbb{E}.$$

若设 $\varphi$ 在 $V$ 的一组基 $\{e_1,e_2,\cdots,e_n\}$ 下的表示矩阵为 $A\in M_n(\mathbb{K})$, 则 $\varphi_{\mathbb{E}}$ 在 $V_{\mathbb{E}}$ 的一组基 $\{e_1\otimes 1,e_2\otimes 1,\cdots,e_n\otimes 1\}$ 下的表示矩阵仍为 $A$. 由此可得 $\varphi$ 与 $\varphi_{\mathbb{E}}$ 之间有许多相同的性质, 具体的细节请读者参考 [4] 第 379 页, Change of Base Field.

本文考虑线性变换在基域缩小下的若干性质. 首先, 引用一下高代白皮书例 3.32 的注.

引理 1  设 $\mathbb{F}\subseteq\mathbb{K}$ 为数域, $\mathbb{K}$ 作为 $\mathbb{F}$ 上的线性空间, 一组基为 $\{\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m\}$. 设 $V$ 是 $\mathbb{K}$ 上的 $n$ 维线性空间, 一组基为 $\{e_1,e_2,\cdots,e_n\}$, 则 $V$ 是 $\mathbb{F}$ 上的 $mn$ 维线性空间, 一组基可选择为 $\{\alpha_ie_j\,(1\leq i\leq m,\,1\leq j\leq n)\}$.

根据上述引理, 若将 $V$ 看成是 $\mathbb{F}$ 上的线性空间, 不妨记为 $V_{\mathbb{F}}$, 则 $\varphi$ 作为 $V_{\mathbb{F}}$ 上的变换, 显然保持 $V_{\mathbb{F}}$ 的加法和 $\mathbb{F}$ 关于 $V_{\mathbb{F}}$ 的数乘, 因此 $\varphi$ 也可看成是 $V_{\mathbb{F}}$ 上的线性变换, 不妨记为 $\varphi_{\mathbb{F}}$. 我们可以考虑如下的问题:

问题 2  如果设 $\varphi$ 在 $V$ 的一组基 $\{e_1,e_2,\cdots,e_n\}$ 下的表示矩阵为 $A\in M_n(\mathbb{K})$, $\varphi_{\mathbb{F}}$ 在 $V_{\mathbb{F}}$ 的一组基 $\{\alpha_ie_j\,(1\leq i\leq m,\,1\leq j\leq n)\}$ 下的表示矩阵为 $B\in M_{mn}(\mathbb{F})$, 那么 $A,B$ 之间有怎样的关系呢?

沿用引理 1 和问题 2 的假设与记号, 我们先来看两个简单的例子.

例 3 (21 级高代 I 每周一题第 14 题, 参考 [2])  设 $\mathbb{F}=\mathbb{R}$, $\mathbb{K}=\mathbb{C}$, 则 $\{1,\mathrm{i}=\sqrt{-1}\}$ 是 $\mathbb{C}/\mathbb{R}$ 的一组基. 设 $A=\mathrm{Re}A+\mathrm{i}\mathrm{Im}A$ 为矩阵 $A$ 的实虚部加法分解, 则由表示矩阵的定义可知, $\varphi_{\mathbb{R}}$ 在 $V_{\mathbb{R}}$ 的一组基 $\{e_1,e_2,\cdots,e_n,\mathrm{i}e_1,\mathrm{i}e_2,\cdots,\mathrm{i}e_n\}$  下的表示矩阵 $B=\begin{pmatrix} \mathrm{Re}A & -\mathrm{Im}A \\ \mathrm{Im}A & \mathrm{Re}A \\ \end{pmatrix}$. 考虑如下矩阵乘积:

$$\begin{pmatrix} I_n & \mathrm{i}I_n \\ I_n & -\mathrm{i}I_n \\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \mathrm{Re}A & -\mathrm{Im}A \\ \mathrm{Im}A & \mathrm{Re}A \\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} A & O \\ O & \overline{A} \\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} I_n & \mathrm{i}I_n \\ I_n & -\mathrm{i}I_n \\ \end{pmatrix},$$

若记 $P=\begin{pmatrix} I_n & \mathrm{i}I_n \\ I_n & -\mathrm{i}I_n \\ \end{pmatrix}$, 则 $P$ 非异, 且有 $PBP^{-1}=\mathrm{diag}\{A,\overline{A}\}$. 由此可得

(1) $\det(B)=\det(A)\det(\overline{A})=|\det(A)|^2$; 

(2) $A$ 可对角化当且仅当 $B$ 在复数域上可对角化;

(3) 若 $A$ 的 Jordan 标准型为 $J_A=\mathrm{diag}\{J_{r_1}(\lambda_1),J_{r_2}(\lambda_2),\cdots,J_{r_k}(\lambda_k)\}$, 则 $B$ 的 Jordan 标准型为

$$J_B=\mathrm{diag}\{J_{r_1}(\lambda_1),J_{r_1}(\overline{\lambda_1}),J_{r_2}(\lambda_2),J_{r_2}(\overline{\lambda_2}),\cdots,J_{r_k}(\lambda_k),J_{r_k}(\overline{\lambda_k})\}.$$

例 4  设 $\mathbb{F}=\mathbb{Q}$, $\mathbb{K}=\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})=\{a+b\sqrt[3]{2}+c\sqrt[3]{4}\mid a,b,c\in\mathbb{Q}\}$, 则由高代白皮书例 3.31 可知, $\{1,\sqrt[3]{2},\sqrt[3]{4}\}$ 是 $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})/\mathbb{Q}$ 的一组基. 设 $A=A_0+\sqrt[3]{2}A_1+\sqrt[3]{4}A_2$ 为矩阵 $A$ 的有理加法分解, 即 $A_0,A_1,A_2\in M_n(\mathbb{Q})$, 则由表示矩阵的定义可知, $\varphi_{\mathbb{Q}}$ 在 $V_{\mathbb{Q}}$ 的一组基 $\{e_1,e_2,\cdots,e_n,\sqrt[3]{2}e_1,\sqrt[3]{2}e_2,\cdots,\sqrt[3]{2}e_n,\sqrt[3]{4}e_1,\sqrt[3]{4}e_2,\cdots,\sqrt[3]{4}e_n\}$  下的表示矩阵

$$B=\begin{pmatrix} A_0 & 2A_2 & 2A_1 \\ A_1 & A_0 & 2A_2 \\ A_2 & A_1 & A_0 \\ \end{pmatrix}.$$

设 $F(x)=A_0+xA_1+x^2A_2$, 再设 $x^3-2$ 的三个根为 $\sqrt[3]{2},\sqrt[3]{2}\omega,\sqrt[3]{2}\omega^2$, 其中 $\omega=-\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{i}$, 则由假设可知 $A=F(\sqrt[3]{2})$, 同时有 $F(\sqrt[3]{2}\omega),F(\sqrt[3]{2}\omega^2)\in M_n(\mathbb{C})$. 考虑如下矩阵乘积:

$$\begin{pmatrix} I_n & \sqrt[3]{2}I_n & \sqrt[3]{4}I_n \\ I_n & \sqrt[3]{2}\omega I_n & \sqrt[3]{4}\omega^2I_n \\ I_n & \sqrt[3]{2}\omega^2I_n & \sqrt[3]{4}\omega I_n \\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} A_0 & 2A_2 & 2A_1 \\ A_1 & A_0 & 2A_2 \\ A_2 & A_1 & A_0 \\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} F(\sqrt[3]{2}) & O & O \\ O & F(\sqrt[3]{2}\omega) & O \\ O & O & F(\sqrt[3]{2}\omega^2)\\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} I_n & \sqrt[3]{2}I_n & \sqrt[3]{4}I_n \\ I_n & \sqrt[3]{2}\omega I_n & \sqrt[3]{4}\omega^2I_n \\ I_n & \sqrt[3]{2}\omega^2I_n & \sqrt[3]{4}\omega I_n \\ \end{pmatrix},$$

若记 $P=\begin{pmatrix} I_n & \sqrt[3]{2}I_n & \sqrt[3]{4}I_n \\ I_n & \sqrt[3]{2}\omega I_n & \sqrt[3]{4}\omega^2I_n \\ I_n & \sqrt[3]{2}\omega^2I_n & \sqrt[3]{4}\omega I_n \\ \end{pmatrix}$, 则 $P$ 非异 (参考高代白皮书例 6.98), 且有

$$PBP^{-1}=\mathrm{diag}\{F(\sqrt[3]{2}),F(\sqrt[3]{2}\omega),F(\sqrt[3]{2}\omega^2)\}.$$

设 $A$ 的特征多项式和 $x^3-2$ 的分裂域为 $\mathbb{L}$, 则由 [3] 的第四章可知,  $\mathbb{L}$ 是 $\mathbb{Q}$ 上的正规扩张, 于是存在自同构 $\xi_2,\xi_3\in\mathrm{Gal}(\mathbb{L}/\mathbb{Q})$, 使得 $\xi_2(\sqrt[3]{2})=\sqrt[3]{2}\omega$, $\xi_3(\sqrt[3]{2})=\sqrt[3]{2}\omega^2$. 再令 $\xi_1$ 为恒等自同构, 并将 $\xi_i$ 的作用自然延拓到矩阵上, 则 $F(\sqrt[3]{2})=\xi_1(A)$, $F(\sqrt[3]{2}\omega)=\xi_2(A)$, $F(\sqrt[3]{2}\omega^2)=\xi_3(A)$. 由此可得

(1) $|\lambda I-B|=\prod\limits_{i=1}^3\xi_i\Big(|\lambda I-A|\Big)$;

(2) $A$ 在复数域上可对角化当且仅当 $B$ 在复数域上可对角化;

(3) 若 $A$ 的 Jordan 标准型为 $J_A=\mathrm{diag}\{J_{r_1}(\lambda_1),J_{r_2}(\lambda_2),\cdots,J_{r_k}(\lambda_k)\}$, 则 $B$ 的 Jordan 标准型为

$$J_B=\mathrm{diag}\{J_{r_1}(\xi_1(\lambda_1)),J_{r_1}(\xi_2(\lambda_1)),J_{r_1}(\xi_3(\lambda_1)),J_{r_2}(\xi_1(\lambda_2)),J_{r_2}(\xi_2(\lambda_2)),J_{r_2}(\xi_3(\lambda_2)),$$

$$\cdots,J_{r_k}(\xi_1(\lambda_k)),J_{r_k}(\xi_2(\lambda_k)),J_{r_k}(\xi_3(\lambda_k))\}.$$

事实上, 在例 3 中, 若令 $\xi_1$ 是恒等自同构, $\xi_2$ 是由共轭诱导的自同构, 则例 3 和例 4 的结论完全类似.

问题 2 的回答  设 $[\mathbb{K}:\mathbb{F}]=m$, 这是一个有限可分扩张, 从而必为单扩张. 设扩张的生成元为 $\beta$, 则 $\mathbb{K}=\mathbb{F}(\beta)$. 再设 $\beta$ 的极小多项式为 $g(x)=x^m+c_1x^{m-1}+\cdots+c_{m-1}x+c_m$, 其根为 $\beta_1=\beta$, $\beta_2,\cdots,\beta_m$. 我们可取 $\{\alpha_1=1$, $\alpha_2=\beta$, $\cdots$, $\alpha_m=\beta^{m-1}\}$ 作为 $\mathbb{K}/\mathbb{F}$ 的一组基, 并设

$$A=A_0+\beta A_1+\cdots+\beta^{m-1}A_{m-1},\quad\cdots(*)$$

其中 $A_i\in M_n(\mathbb{F})\,(0\leq i\leq m-1)$. 由 $(*)$ 式以及关系式

$$\beta^m=-c_1\beta^{m-1}-\cdots-c_{m-1}\beta-c_m,\quad\cdots(**)$$

可得矩阵 $B$ 的分块表示, 其中每个分块都是 $A_0,A_1,\cdots,A_{m-1}$ 的线性组合, 其系数由 $(**)$ 式确定. 令 $F(x)=A_0+xA_1+\cdots+x^{m-1}A_{m-1}$, 则 $F(\beta)=A$. 由与例 4 完全类似的计算可得

  $$\begin{pmatrix} I & \beta_1I & \cdots & \beta_1^{m-1}I \\ I & \beta_2I & \cdots & \beta_2^{m-1}I \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ I & \beta_mI & \cdots & \beta_m^{m-1}I \\ \end{pmatrix}B=\begin{pmatrix} F(\beta_1) & O & \cdots & O \\ O & F(\beta_2) & \cdots & O \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ O & O & \cdots & F(\beta_m) \\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} I & \beta_1I & \cdots & \beta_1^{m-1}I \\ I & \beta_2I & \cdots & \beta_2^{m-1}I \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ I & \beta_mI & \cdots & \beta_m^{m-1}I \\ \end{pmatrix}.$$

若记 $P=\begin{pmatrix} I & \beta_1I & \cdots & \beta_1^{m-1}I \\ I & \beta_2I & \cdots & \beta_2^{m-1}I \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ I & \beta_mI & \cdots & \beta_m^{m-1}I \\ \end{pmatrix}$, 则 $P$ 非异 (参考高代白皮书例 6.98), 且有

$$PBP^{-1}=\mathrm{diag}\{F(\beta_1),F(\beta_2),\cdots,F(\beta_m)\}.\quad\cdots(\dagger)$$

设 $A$ 的特征多项式和 $g(x)$ 的分裂域为 $\mathbb{L}$, 则由 [3] 的第四章可知,  $\mathbb{L}$ 是 $\mathbb{F}$ 上的正规扩张, 于是存在自同构 $\xi_i\in\mathrm{Gal}(\mathbb{L}/\mathbb{F})$, 使得 $\xi_i(\beta)=\beta_i\,(2\leq i\leq m)$. 再令 $\xi_1$ 为恒等自同构, 并将 $\xi_i$ 的作用自然延拓到矩阵上, 则 $F(\beta_i)=\xi_i(A)\,(1\leq i\leq m)$. 由此可得

(1) $|\lambda I-B|=\prod\limits_{i=1}^m\xi_i\Big(|\lambda I-A|\Big)$;

(2) $A$ 在复数域上可对角化当且仅当 $B$ 在复数域上可对角化;

(3) 若 $A$ 的 Jordan 标准型为 $J_A=\mathrm{diag}\{J_{r_1}(\lambda_1),J_{r_2}(\lambda_2),\cdots,J_{r_k}(\lambda_k)\}$, 则 $B$ 的 Jordan 标准型为

$$J_B=\mathrm{diag}\{J_{r_1}(\xi_1(\lambda_1)),\cdots,J_{r_1}(\xi_m(\lambda_1)),J_{r_2}(\xi_1(\lambda_2)),\cdots,J_{r_2}(\xi_m(\lambda_2)),$$

$$\cdots,J_{r_k}(\xi_1(\lambda_k)),\cdots,J_{r_k}(\xi_m(\lambda_k))\}.$$

上述结论的证明  (1) 显然成立.

(2) 若 $B$ 在复数域上可对角化, 则由 $(\dagger)$ 式可知 $A$ 在复数域上也可对角化. 反过来的结论由 (3) 即得.

(3) 设 $P$ 为 $\mathbb{L}$ 上的非异阵, 使得

$$P^{-1}AP=J_A=\mathrm{diag}\{J_{r_1}(\lambda_1),J_{r_2}(\lambda_2),\cdots,J_{r_k}(\lambda_k)\},$$

则由 $\xi_i\in\mathrm{Gal}(\mathbb{L}/\mathbb{F})$ 可得

$$\xi_i(P)^{-1}\xi_i(A)\xi_i(P)=J_{\xi_i(A)}=\mathrm{diag}\{J_{r_1}(\xi_i(\lambda_1)),J_{r_2}(\xi_i(\lambda_2)),\cdots,J_{r_k}(\xi_i(\lambda_k))\}.$$

再由 $(\dagger)$ 式即得结论.  $\Box$

最后在 Galois 扩张的情形, 我们有如下完美的结果.

定理 5  设 $\mathbb{K}/\mathbb{F}$ 是有限 Galois 扩张, 则

$$|\lambda I-\varphi_{\mathbb{F}}|=\prod\limits_{\xi\in\mathrm{Gal}(\mathbb{K}/\mathbb{F})}\xi\Big(|\lambda I-\varphi|\Big).$$

证明  由上述结论 (1) 即得.  $\Box$

 

参考文献

[1]  高代白皮书. 谢启鸿, 姚慕生. 高等代数 (第四版), 大学数学学习方法指导丛书. 复旦大学出版社, 2022.

[2]  谢启鸿. 复旦大学高等代数习题集. 2024.

[3]  姚慕生. 抽象代数学 (第二版). 复旦大学出版社, 2005.

[4]  S. Roman. Advanced Linear Algebra (Third Edition). Springer, 2008.