复旦大学2020--2021学年第二学期（20级）高等代数II期末考试第八大题解答
八、(10分) 设 $M_n(\mathbb{C})$ 是 $n$ 阶复方阵全体构成的线性空间, $M_n(\mathbb{C})$ 上的线性变换 $\varphi$ 定义为 $\varphi(X)=AX'A'$, 其中 $A\in M_n(\mathbb{C})$. 证明: $\varphi$ 可对角化的充要条件是 $A$ 可对角化.
证法一 先证充分性. 设 $A$ 可对角化, 则 $A$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量, 设为 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n\in\mathbb{C}^n$, 对应的特征值为 $\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n$, 即有 $A\alpha_i=\lambda_i\alpha_i\,(1\leq i\leq n)$. 注意到 $$\varphi(\alpha_i\alpha_j')=A(\alpha_i\alpha_j')'A'=(A\alpha_j)(A\alpha_i)'=\lambda_i\lambda_j\alpha_j\alpha_i',$$ 于是 $$(*)\quad\left\{\begin{array}{ll} \varphi(\alpha_i\alpha_i')=\lambda_i^2\alpha_i\alpha_i' & (1\leq i\leq n); \\ \varphi(\alpha_i\alpha_j'+\alpha_j\alpha_i')=\lambda_i\lambda_j(\alpha_i\alpha_j'+\alpha_j\alpha_i') & (1\leq i<j\leq n); \\ \varphi(\alpha_i\alpha_j'-\alpha_j\alpha_i')=-\lambda_i\lambda_j(\alpha_i\alpha_j'-\alpha_j\alpha_i') & (1\leq i<j\leq n).\\ \end{array}\right.$$ 令 $P=(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n)\in M_n(\mathbb{C})$, 则 $P$ 为非异阵. 构造线性变换 $\xi:M_n(\mathbb{C})\to M_n(\mathbb{C})$, $\xi(X)=PXP'$, 由 $P$ 的非异性可知 $\xi$ 是线性同构. 设 $E_{ij}\,(1\leq i,j\leq n)$ 为基础矩阵, 则容易验证 $\{E_{ii}\,(1\leq i\leq n);\,E_{ij}+E_{ji}\,(1\leq i<j\leq n);\,E_{ij}-E_{ji}\,(1\leq i<j\leq n)\}$ 是 $M_n(\mathbb{C})$ 的一组基, 并且 $\xi(E_{ii})=\alpha_i\alpha_i'$, $\xi(E_{ij}+E_{ji})=\alpha_i\alpha_j'+\alpha_j\alpha_i'$, $\xi(E_{ij}-E_{ji})=\alpha_i\alpha_j'-\alpha_j\alpha_i'$, 于是 $\{\alpha_i\alpha_i'\,(1\leq i\leq n);\,\alpha_i\alpha_j'+\alpha_j\alpha_i'\,(1\leq i<j\leq n);\,\alpha_i\alpha_j'-\alpha_j\alpha_i'\,(1\leq i<j\leq n)\}$ 也是 $M_n(\mathbb{C})$ 的一组基. 因此, $(*)$ 式表明 $\varphi$ 有 $n^2$ 个线性无关的特征向量, 从而 $\varphi$ 可对角化.
再证必要性. 设 $\varphi$ 可对角化, 用反证法, 设 $A$ 不可对角化, 则存在非异阵 $P=(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n)$, 使得 $P^{-1}AP=\mathrm{diag}\{J_{r_1}(\lambda_1),J_{r_2}(\lambda_2),\cdots,J_{r_k}(\lambda_k)\}$ 为 Jordan 标准型, 并且至少有一个 Jordan 块的阶数大于 1. 不妨设 $r_1>1$, 则有如下关系式: $$A\alpha_1=\lambda_1\alpha_1,\,\,A\alpha_2=\alpha_1+\lambda_1\alpha_2,\,\,\cdots,\,\,A\alpha_{r_1}=\alpha_{r_1-1}+\lambda_1\alpha_{r_1}.$$ 令 $U=L(\alpha_i\alpha_i'\,(1\leq i\leq r_1),\,\alpha_i\alpha_j'+\alpha_j\alpha_i'\,(1\leq i<j\leq r_1))$, 则容易验证 $U$ 是 $\varphi$-不变子空间, 于是 $\varphi|_U$ 可对角化. 注意到 $\{\alpha_i\alpha_i'\,(1\leq i\leq r_1),\,\alpha_i\alpha_j'+\alpha_j\alpha_i'\,(1\leq i<j\leq r_1)\}$ 是 $U$ 的一组基, 在适当地调整基向量的次序后 (见注 2), 可得 $\varphi|_U$ 在这组基下的表示矩阵为上三角阵, 其主对角元素全为 $\lambda_1^2$, 并且主对角线上方至少有一个非零元素 1, 显然这是一个不可对角化的矩阵, 这与 $\varphi|_U$ 可对角化矛盾.
证法二 构造线性变换 $\psi:M_n(\mathbb{C})\to M_n(\mathbb{C})$, $\psi(X)=AXA'$, 我们来证明 $\varphi$ 可对角化当且仅当 $\psi$ 可对角化. 设 $V$ 是由 $n$ 阶复对称阵构成的子空间, $U$ 是由 $n$ 阶复反对称阵构成的子空间, 由白皮书的例 3.48 可知 $M_n(\mathbb{C})=V\oplus U$. 容易验证 $U,V$ 都是 $\varphi$-不变以及 $\psi$-不变子空间, 并且 $\varphi|_V=\psi|_V$, $\varphi|_U=-\psi|_U$, 因此 $\varphi$ 可对角化当且仅当 $\varphi|_V,\varphi|_U$ 均可对角化, 这也当且仅当 $\psi|_V,\psi|_U$ 均可对角化, 从而当且仅当 $\psi$ 可对角化.
证明 $\psi$ 可对角化的充要条件是 $A$ 可对角化, 这是复旦大学数学科学学院 2016 级高等代数 II 期中考试第七大题. 我们可以利用特征向量的方法 (类似于上面的证法一), 也可以利用矩阵 Kronecker 积的方法来进行证明, 具体的证明细节请参考“复旦大学高等代数习题课在线课程”中的高代 2 第 11 讲以及高代 2 第 16 讲, 这里不再赘述. $\Box$
注 1 本题没有同学证出必要性, 证出充分性的同学共有 10 人, 分别是: 徐赟程, 梅明家, 许佳敏, 钱邓鹏, 杨奕辰, 于泰来, 韦晓骅, 丁嘉栋, 李沐择, 刘继升.
注 2 为方便起见, 记基向量 $\alpha_i\alpha_i'$ 为 $(i)$, $\alpha_i\alpha_j'+\alpha_j\alpha_i'$ 为 $(i,j)$, 则可将基向量的次序调整为 $$(1),\,(1,2),\,(2),\,(1,3),\,(2,3),\,(3),\,\cdots,\,(r-1),\,(1,r),\,(2,r),\,(3,r),\,\cdots,\,(r-1,r),\,(r).$$ 例如, 当 $r_1=3$ 时, $\varphi$ 在上述顺序的基向量下的表示矩阵为 $$\begin{pmatrix} \lambda_1^2 & 2\lambda_1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ & \lambda_1^2 & \lambda_1 & \lambda_1 & 1 & 0 \\ & & \lambda_1^2 & 0 & 2\lambda_1 & 1 \\ & & & \lambda_1^2 & \lambda_1 & 0 \\ & & & & \lambda_1^2 & \lambda_1 \\ & & & & & \lambda_1^2 \\ \end{pmatrix}.$$
