复旦高等代数II（20级）每周一题
本学期的高等代数每周一题活动计划从第1教学周开始，到第16教学周结束，每周的周末公布1-2道思考题（共18道，思考题一般与下周授课内容密切相关），供大家思考和解答。每周一题将通过“高等代数官方博客”（以博文的形式）和“高等代数在线课程20级课群”（以课群话题的形式）这两个渠道同时发布。有兴趣的同学可以将每周一题的解答写在纸上，用手机APP扫描或用手机拍照（注意清晰度，且图片像素不宜过高），并将解答图片上传到每周一题对应的课群话题中。本人会定期对每周一题的解答进行批改和评价，并将优秀解答标记出来推荐给全班同学。
[问题2021S01] 请用多元多项式的整性证明: 数域 $\mathbb{K}$ 上的 $n$ 阶方阵全体构成的线性空间 $M_n(\mathbb{K})$ 有一组 (无穷组) 由非异矩阵构成的基.
[问题2021S02] (1) 请将下列对称有理函数表示为初等对称多项式的有理函数, 并求 $\sigma_1=0$ 时的函数值:
$$Q(x_1,x_2,x_3)=\frac{x_1^2}{2x_1^2+x_2x_3}+\frac{x_2^2}{2x_2^2+x_3x_1}+\frac{x_3^2}{2x_3^2+x_1x_2};$$
(2) 请将下列对称有理函数表示为初等对称多项式的有理函数, 并求 $\sigma_1=2$, $\sigma_2=-6$, $\sigma_3=1$ 时的函数值:
$$Q(x_1,x_2,x_3)=\frac{1}{x_1x_2+2x_3}+\frac{1}{x_2x_3+2x_1}+\frac{1}{x_3x_1+2x_2}.$$
[问题2021S03] 设 $V=M_n(\mathbb{C})$ 是 $n$ 阶复方阵全体构成的集合.
(1) 将 $V$ 看成是复线性空间, $V$ 上的线性变换 $\varphi$ 定义为 $\varphi(X)=JX$, 其中 $J$ 是基础循环矩阵 (定义见高代白皮书的例 2.1), 试求 $\varphi$ 的全体特征值和对应的特征向量;
(2) 将 $V$ 看成是实线性空间, $V$ 上的线性变换 $\varphi$ 定义为 $\varphi(X)=\overline{X}$, 其中 $\overline{X}$ 是 $X$ 的共轭矩阵, 试求 $\varphi$ 的全体特征值和对应的特征向量.
[问题2021S04] (1) 设 $2$ 阶复方阵 $A$ 满足 $|A^k+I_2|=1$, 其中 $k=1,3$, 证明: $A$ 是幂零阵;
(2) 设 $3$ 阶复方阵 $A$ 满足 $|A^k+I_3|=1$, 其中 $k=1,2,3,7$, 证明: $A$ 是幂零阵.
注 可利用以下表示进行计算 (不需要证明), 其中 $\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3$ 分别是未定元 $x_1,x_2,x_3$ 的初等对称多项式: $$(x_1^7+1)(x_2^7+1)(x_3^7+1)=\sigma_3^7+7\sigma_3^4\sigma_1^2+7\sigma_3^4\sigma_2-21\sigma_3^3\sigma_1\sigma_2^2-7\sigma_3^3\sigma_1^3\sigma_2+7\sigma_3^2\sigma_2^4+14\sigma_3^2\sigma_1^2\sigma_2^3+7\sigma_3^2\sigma_1-7\sigma_3\sigma_1\sigma_2^5+7\sigma_3\sigma_1^4+7\sigma_3\sigma_2^2-21\sigma_3\sigma_1^2\sigma_2+\sigma_1^7+\sigma_2^7-7\sigma_1\sigma_2^3+14\sigma_1^3\sigma_2^2-7\sigma_1^5\sigma_2+1.$$
[问题2021S05] 设 $V=M_n(\mathbb{C})$ 是 $n$ 阶复方阵全体构成的复线性空间, $V$ 上的线性变换 $\varphi$ 定义为 $\varphi(X)=JX'J'$, 其中 $J$ 是基础循环矩阵 (定义见高代白皮书的例 2.1), 证明: $\varphi$ 可对角化.
[问题2021S06] 设 $n$ 阶复方阵 $M$ 的秩等于 2, 请用 $M$ 的特征值的相关条件给出 $M$ 可对角化的充要条件.
[问题2021S07] 设 $a_0,a_1,a_2$ 为有理数, 使得 $$A=\begin{pmatrix} a_0 & a_2 & a_1 \\ a_1 & a_0+a_2 & a_1+a_2 \\ a_2 & a_1 & a_0+a_2 \\ \end{pmatrix}$$ 为奇异阵. 证明: $a_0=a_1=a_2=0$.
[问题2021S08] 设 $V$ 是数域 $\mathbb{K}$ 上的 $n$ 维线性空间, $\varphi$ 是 $V$ 上的线性变换. 证明: 若 $\varphi$ 有 $r$ 维不变子空间, 则 $\varphi$ 必有 $n-r$ 维不变子空间.
[问题2021S09] 设 $A,B$ 是 $n\,(n\geq 2)$ 阶方阵, 已知 $AB$ 的 Jordan 标准型为 $J_n(0)$, 试求 $BA$ 的 Jordan 标准型, 并举例说明存在性.
[问题2021S10] 设 $S$ 是某些 $n$ 阶方阵构成的集合, 满足如下条件:
(1) $I_n\in S$;
(2) 若 $A,B\in S$, 则 $AB\in S$;
(3) 对任意的 $A,B\in S$, $(AB)^3=BA$ 成立.
证明: $S$ 中的矩阵可以同时对角化, 并且 $S$ 是有限集合.
[问题2021S11] 设 $S=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \\ \end{pmatrix}$, $J=\begin{pmatrix} O & I_n \\ -I_n & O \\ \end{pmatrix}$.
(1) 证明: $J$ 相似于 $\mathrm{diag}\{S,S,\cdots,S\}$;
(2) 设 $A\in M_n(\mathbb{R})$, 满足 $A'J+JA=O$, 证明: $\mathrm{e}^{tA'}J\mathrm{e}^{tA}=J$;
(3) 试求 $\mathrm{e}^{tJ}$.
[问题2021S12] 设 $A$ 为 $n$ 阶正定实对称阵, $n$ 维实列向量 $\alpha,\beta$ 满足 $\alpha'\beta>0$, 证明: $H=A-\dfrac{A\beta\beta'A}{\beta'A\beta}+\dfrac{\alpha\alpha'}{\alpha'\beta}$ 是正定阵.
[问题2021S13] 设 $A$ 为 $n$ 阶半正定实对称阵, $S$ 为 $n$ 阶实反对称阵, 证明:
(1) $r(A+S)=r(A\mid S)$;
(2) $|A+S|>0$ 的充要条件是 $r(A\mid S)=n$.
[问题2021S14] 设 $A=(a_{ij})$ 为 $n$ 阶正定实对称阵, $A^{-1}=(b_{ij})$. 证明: $a_{ii}b_{ii}\geq 1\,(\forall\,1\leq i\leq n)$, 并且等号全部成立, 即 $a_{ii}b_{ii}=1\,(\forall\,1\leq i\leq n)$ 当且仅当 $A$ 为对角阵.
[问题2021S15] 设 $n$ 维欧氏空间 $V$ 中 $n+1$ 个向量 $\alpha_0,\alpha_1,\cdots,\alpha_n$ 两两之间的距离都是 $d>0$. 令 $\beta_i=\alpha_i-\alpha_0\,(1\leq i\leq n)$, 证明:
(1) $(\beta_i,\beta_j)=\dfrac{d^2}{2}\,(1\leq i\neq j\leq n)$;
(2) $\beta_1,\cdots,\beta_n$ 是 $V$ 的一组基.
[问题2021S16] 若复方阵 $A$ 的特征值都是实数, 则记其中的最大, 最小特征值分别为 $\lambda_{\mathrm{max}}(A)$, $\lambda_{\mathrm{min}}(A)$. 设 $A$ 为 $n$ 阶实对称阵, $S$ 为 $n$ 阶实反对称阵, 证明: 对 $A+S$ 的任一特征值 $\lambda_0$, 有: $$\lambda_{\mathrm{min}}(A)\leq\mathrm{Re}\lambda_0\leq\lambda_{\mathrm{max}}(A),\,\,\,\,\lambda_{\mathrm{min}}(-\mathrm{i}S)\leq\mathrm{Im}\lambda_0\leq\lambda_{\mathrm{max}}(-\mathrm{i}S).$$
[问题2021S17] 设 $n$ 阶复方阵 $A$ 的全体特征值为 $\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n$, 证明: $$\sum_{i=1}^n|\lambda_i|^2=\inf_{\det X\neq 0}\|X^{-1}AX\|^2_{\mathrm{F}},$$ 其中 $\|\,\cdot\|_{\mathrm{F}}$ 是由矩阵的 Frobenius 内积诱导的范数.
[问题2021S18] 设 $A$ 为 $n$ 阶实幂等阵, 证明: $A'A$ 的非零特征值都大于等于 1.
