复旦大学数学学院 17 级本科生对高等代数学习方法指导书的评价
17级 张嘉璇
高等代数是大一的重要专业课之一，也是以后深入学习数学的基础。刚从高中毕业，又从未接触过竞赛的我心里还是很担心能不能学好。于是除了教材外，我还入手了各路前辈推荐的“白皮书”。白皮书的题目设置和三个不同的部分“基本概念”“例题分析”“基础训练”对我的帮助真的很大很大，我想以一个需要从高中到大学过渡“小白”身份说一说我使用白皮书的感受与心得。
一开始我是把它作为一本类似于高中练习册来看待，希望通过与高中同样的“大量刷题”来学好高代。白皮书确实能满足“刷题”的题量，每一章都有大量优质题目，然而采用类似于高中的方法刷了两章之后我却没有体会到高中“刷题”的快感，仔细想想原因有两个：一是白皮书并不像高中的辅导书一样同一种题目重复出现n多次（同一种是指具体解题思路一模一样），更多的时候是针对一个定理，后续例题解题过程的整体思路或者某些环节会用到它，如何使用就需要解题前进行仔细思考。二是白皮书中的题一点都不“水”，我做不到像高中那样抽课间时间就能刷很多道题，一般都得在自习室坐几个小时来思考题目，这还是在前两章稍微偏计算的情况下。再往后发现也只有计算题能想出来，大学证明题和高中完全不是一个档次。第一次期中考试的时候发现了问题，计算题倒是都算对了，但最后两个证明大题几乎一字未动（因为不知如何动笔）。
我意识到前半个学期我都是在“学而不思”。做题当然是必须的，但题海战术、无脑刷题这一套已经不适用了，白皮书应该是作为课后复习的思路指导，引导你去想通、想透课上的知识，并且在这基础上延伸出更深层次或者更巧妙的想法。其实证明大题里我根本想不出来的关键点在白皮里会有相似的思路，比如说迹的应用。后半个学期在做白皮的时候就会更关注证明题，先是自己想想然后再看看解答，白皮上这几个部分证明题的解答都很简练，看完之后是真的会豁然开朗。而且有的几个题目前面会有一段话或总结这些题用到的定理思路或提示这一节对应的课本内容如何应用，比如“幂等变换其实就是投影变换”、“利用余数定理来判断整除性”等，自己看课本可能会想不到。我会记在本上，期末复习时间紧张的时候就看本上总结的内容。尽管第一次期末的证明大题还是没有一道是完整证明出来的，但应该比期中有进步。
课本上很多课后题白皮书上都出现过类似的，很适合课后复习巩固，应该大家都有样的感受。不仅如此，谢老师的每周一题也常见同学（大佬们）“根据白皮书”结论解题。我很佩服大家的学以致用能力，总觉得我看过一遍白皮书很多时候就是在看热闹，一桌子美食我只吃开胃菜却没体会到正菜的美味。但是白皮书还有一个重要的作用是帮助提升，它在知识理解和解题思路两个方面上都给我们搭好了台阶，比如说把题目条件进行变动，让我们综合考虑各方面问题；比如说一题多解，提供多角度思路或者巧妙和易想等多种解法方法。
优秀的学姐和出色的同学都表示过白皮书他们反反复复看过两三遍三四遍，“他们怎么会有那么多时间看那么多次”这是我听到他们这样说的第一想法，我觉得我只能尽力的去完成这个“量”。量变说不定会带来质变呢。单纯追求“量”肯定不会有大效果，很大可能还会坚持不下来。因为如果单纯读三遍，不思考难点和不会的地方，可能简简单单几句话也会变得难以理解，事倍功半，做起来也很慢很费时间。一开始我的完成进度很慢。
不过在考试前我还是做到了把白皮读两遍以上。学习相关内容的时候我读了第一遍了，把基础的概念性的内容勾画了出来，配合上笔记还有白皮书每章第一部分的“基本概念”先过一遍，防止做题的时候纠结“不变因子”“初等因子”等很基础的概念是什么而浪费时间。第一次读的时候我还在不会的题旁边做了标记（例题分析部分），因为几乎每道都标了，第二次还是得像第一次一样精读，有趣的是因为有后面知识的补充，第二次读的时候多了更多的解题思路，尤其是学过第七章之后，用Jordan标准型再从特殊到一般归纳就是我心中一大解题秘籍，类似地做法还有用相抵标准型或者合同标准型。通读第二遍速度快了很多，不会的题比第一次读的时候少了很多，自己想不出来的题也可以尝试去总结它的解题思路，比如第七章有一节专门研究了我一直不知道怎么用的“矩阵乘法可交换”条件。不过刚读过一遍会有一种“短期记忆假象”，好像所有题都知道怎么做了，但实际上有的难题只是记住了它所在的位置，在这页的题应该用这种类型的方法……这肯定不对。这时候我就会看课本每章后面的复习题，因为复习题很多都是白皮上的原题或类似题目，只想思路过起来很快，但是因为它只有题目，没有任何提示，就会暴露出哪些题是明明做过两三遍却还不知道如何下手的题目，这样再总结一次。
有动脑自己思考再加上更多的知识储备，第二遍看白皮加上思考复习题的时间甚至比第一次看还短，研究通看过两三遍还不会写的题之后我会去看看每周一题能不能用类似的思路解答（有时候也会从同学们的解答里受到启发）。算是有效地读了两遍以上白皮书，在我原来的水平上有了提升。
考试前一天我会看白皮书第三部分“基础训练”，这部分有点像章节小测，包含基础题（选择填空）和进阶一点的证明题和计算题。难度比例题分析部分降低了，质量没有降低，简简单单的选择填空也在时刻提醒着简单的地方不要马虎出错，基础的概念不要忘。同时也能缓解考前紧张情绪。期末考试的选择题类型和这部分有点像，不过更复杂综合些。
因为高三的特殊性大家都是绷紧神经高压下度过了一年，觉得进入大学就是解放了，有的人就会感叹甚至吐槽数院学生活得还和高三一样，其实这样也挺好的，虽然自己一直没能恢复到高三那种打了鸡血永远亢奋地遨游在题海的状态，但是有很多很厉害的同学，他们又优秀又勤奋，不能说他们的大学生活和高中一样，而是想要学好就应该下功夫吧。我从暑期实践活动的学校了解到很多家长老师想要让初中生负担轻，但是又苦于学生成绩提不上来，我们这些刚从高三熬出来、不知高三一年吐槽过多少次学校给的负担重的人却开始感谢那些压力、那些做不完的题，堵住了我们的退路，让我们向前。大学是很自由的，但是自由的放飞自我也不一定会让我们快乐不是嘛……真正的快乐还是取得突破、战胜自己、一步步向前的时候（对我而言）。学习上取得进步首先要有对学习的一个正确态度，同时还要掌握正确的学习方法。作为小城市的高考生，找到合适的方法对我来说十分重要。白皮书真的给我提供了一条捷径，省去了我选择适合我难度题目的时间，因为它由浅到深，循序渐进，不会让人一下子接受不了，却又有深度，值得去花时间琢磨；也给了我精神上的暗示，让我有信心去挑战一些题。如果去年的我看到今年的我写出来的题，肯定会惊叹：“这么长的过程，我抄都抄不对！”；最重要的是培养了我学代数的热情，毕竟是一件付出了有回报的事情。
每个人都有属于自己的学习方法和理解，我对白皮书的理解可能不够深刻，使用白皮书的方法也很复杂，但是我觉得所有同学都可以从白皮书上收获很多～(*^^)o∀*∀o(^^*)
17级 魏一鸣
一本习题集，若只是习题的堆砌，难以成为好书；一本好书，若是没有精心的雕琢，难以成为经典。从这个意义上说，高等代数学习指导丛书（俗称“白皮书”）是一本好书，也将很可能成为经典。
我最喜欢的，是整本白皮书行文的逻辑。习题只是载体，其背后所蕴含概念间的联系、思想、方法往往更为重要。这些通过单纯地做题目是难以获得的，唯有理清其中的逻辑与联系才能有更深刻的理解。白皮书在这一点上就很有启发性。章节内容安排由浅入深，例题具有很强的代表性，例题之间通过点评、注记的方式串联，提示读者：数学对象有什么性质？这些性质有什么应用？研究清楚这些性质后对之前的问题有什么启发？如何从代数和几何等不同视角看同一问题？在阅读白皮书的过程中，我也会加上自己的注记——哪些技巧是重要的？用某些视角看某一问题是显然的？是不是有简便的方法？
正是通过这种方式，使得我对高等代数的知识体系有了“蛛网式”的把握。大学学习的知识容量大，概念间的联系相当紧密，如果只是把每一个概念、定理作为知识点记下来，就好似在孤岛中跳跃，困难重重。通过把握概念间的逻辑与内在联系，尽力让自己触类旁通，使得知识点、方法、技巧在脑海中像蜘蛛网一样，高等代数的学习便更为扎实。
在日常学习中和老师、同学交流颇多，也发现大家使用白皮书的方式不尽相同。鄙人水平有限，无法给出高见。然而以下两点可能是共通的，也是最基础的。第一，“动笔写”与“单纯读”之间相距甚远。可能你阅读时觉得很简单的内容，到自己动笔写时便无从下手。只有扎扎实实地演算、推导、说理，才有可能完全把握。第二，数学学习需要不懈的努力和时间的积淀。对于像我这样无竞赛经历，基础较弱的同学而言，高等代数课程确实出现一些有挑战性的章节。例如第四章，代数与几何的融会贯通；第七章，相似标准型的应用；第九章，几何的行文风格，代数与几何在不同数域中的穿插、交融，正交相似标准型的融会贯通。白皮书上的许多问题都具有相当的难度，开始时感觉无从下手属于正常现象。这时候需要迎难而上，不停地琢磨、思考，相信功不唐捐，相信努力总会有所收获。或许上新课时觉得困难的问题，经过一遍遍地打磨、推敲，到了期末便会觉得显然。记得去年采访15级的谢灵尧学长时，他说每次大学生数学竞赛前都会做白皮书进行复习，而且随着时间的推移越做越快。可见对于大神而言，对高等代数的掌握也需要不断地练习、积累才能更加深刻，对我们而言更是如此。
最后说说自己在学习过程中的一些遗憾，以及经过思考后的小建议。
回顾一学年的学习，感觉自己不足的地方仍有很多，尤其是解决难题的能力和主动发现问题、思考探究的能力。前者体现在每周做思考题时的艰辛与错误百出，虽然一直在努力，仍不尽如人意。后者则在上讨论班的过程中体现出来。感觉自己更多的时候是在“被动”地接受，遇到新问题只想如何用老办法解决，稍有拓展便束手无策。对于例题只能掌握其方法，却很少会推广问题的条件与结论。这正说明自己的功力尚浅，仍有很大的提升空间。进一步观察发现，这种能力的缺乏并非个例，似乎具有一定的普遍性。然而，这种能力对于拔尖同学又显得尤为重要，因此值得不断激发与培养。在启发读者主动探究这一点上，白皮书已有不少涉及，但我相信白皮书可以做得更多。谢老师出题目水平很高，由已知结论推广而出的问题令人赞叹不已，我也希望不断培养自己提出新问题的能力。或许在以后的教学过程与白皮书的编写中，可以更多地出现开放性的问题，启发和引导同学们主动提出新的问题，自我探索答案。有些问题或许很稚嫩，或许无法解决，但提出问题和尝试解决是很好的思考与提高的机会。
最后感恩谢老师一年以来细致入微的教学和春风化雨的鼓励，认真的板书、用心的讲解、温暖的关心与支持使我感动，也让我对大学教授心向往之。正是这种认真、踏实、严谨传统的传承，使得数院焕发着活力，也赋予每一个数院学子受用不尽的财富。
17级 高诚
首先，必须强调一个大学数学不同于高中数学的地方，那就是大学里“刷题”并没有高中那么要紧了。为什么呢？因为大学数学更加注重思想的精巧与深度，而非用题海反复巩固某一知识点。大学里知识点更多更繁琐，不可能再像高中那样反复炒冷饭，比如高代里仅标准型就有相抵标准型、有理标准型、Jordan标准型、合同标准型、正交（酉）相似标准型等等，证明秩相等的方法也有线性方程组、初等变换、同时正交（酉）变换等等等等……这就需要我们用一个崭新的思维去学习它。
话虽这么说，适当做题对于掌握基本的思想与培养直觉方面仍是大有裨益的，在这里就强推谢启鸿、姚慕生老师编著的《高等代数》白皮书。第一是它是完全与课本配套的习题集，更加适合复旦数院的同学；其次这本书本身汇聚了编者老师大量的心血，循序渐进、囊括了绝大多数的题型与思想方法，是敲开高等代数知识大门的“金砖“。
笔者认为，“从易到难，人人宜读“是这本书的一大优势所在。白皮书分为十章，每章按照”知识点、例题、训练习题“的顺序撰写。简单的题目往往出现在每章的前几个例题与最后的训练题中，巩固对于基本概念与定理的认识，比如第五章5.2.3节的前几个例题，虽然简单，但一下子就把多项式的不可约、互素、整除、幂等概念写的明明白白；再比如3.3.1训练题的填空部分，把“线性相关与线性无关”又恰到好处地过了一遍，当时极大地巩固了我这方面的知识，增强了应对我考试填空题的信心。难的、极具挑战性的题目自然也有，比如例2.53这种将级数、复数的三角表示、单位根等概念通通用上的”超级计算题“；例7.54这种充分必要性一半极易一半极难的”趣题“，还有例9.110这种每一步都富含技巧性与独创性的题目，都可以很好地满足有余力的同学挑战自我的需求（当然，代数极少有纯粹技巧性的题目，即使是难题也都是基本概念的自然延伸）。
白皮书每章都有不少的例题，并附有详细周密的解答与富有见解的注释，故读者在阅读的时候，不妨认真学习此书的解题过程，培养论证与书写的严密性，并将这样书写的理由反复咀嚼、消化，得到思考之后属于自己的宝贵经验与归纳所得结论。例如例7.27，题目不难，但只要好好思考，就可以在自己对于这一部分知识的把玩中将标准型、极小多项式、秩、不变因子等关键概念串联起来。还有第九章的OS分解的证明，笔者认为，白皮书上将线性映射“几何化“的证明方法富含解题思路的启示及思想上的深刻与美感，可以说是真正将”理解几何意义“这一话阐述的淋漓尽致。不仅是我说的这几个例子，许多习题都有其内在的深刻逻辑，而其中大多数的奥秘需要读者自行去探索。
不仅如此，白皮书并非只是展示炫酷的代数技巧：技巧在代数中并没有分析那么多与重要，更多的是严谨求实的计算与论述过程（但这也并不易学）。因此，白皮书将许多极其简练但无比实用的结论列出，做为例题供同学学习掌握。这里就试举几例小结论：
- 例3.66：Frobenius不等式，可以产生许多推论（如例3.64Sylvester不等式），并可以有效解决有关Jordan标准型秩、块的大小这方面的一些问题。
- 例5.73：矩阵的互素多项式与秩的关系，这一充要命题曾真题卷中以填空的形式出现，知道即可秒杀。其次，这一结论与空间的直和分解相关结论有着密不可分的关系，后者将会是更加深刻、实用的结论。
- 例6.63：AX=XB在AB没有公共特征值时只有零解，可以有效地解决一批相等条件下矩阵结构证明的题目（后几个例题均为其直接应用），在15级思考题中也发挥过其作用。
- 例7.33：毋庸置疑，这道例题将Jordan标准型块数看得极其深刻而本质，有了这一结论，有关块数的题目都将变得“形而下”起来。
- 例8.45：我们知道，秩与线性方程组解的特点是息息相关的，这一例题在解决秩相等及线性方程组同解中发挥了极其重要的作用，第九章有许多例题都可以用这题的简化过程，实现出色的解答。
因此，平时的积累就显得尤为重要，而白皮书就是非常棒的方式，上面只是我整理的一小部分认为有价值的结论，更多的结论需要同学们多看此书从而达到扎实的记忆、掌握。
高等代数的教材无穷无尽，但我认为，遨游在数学的海洋中，如果没有扎实的基本功，即使看的再多再远，也无力游行过去。换言之，无须“贪多“，无须为没有看过什么书，做过什么题而焦虑。当同学们在心中已有了自己构筑的完整体系，一定会发现心中的知识是那么的清楚、自然、优美。希望18级以及之后的同学，能够有一本教材作为自己遨游的基础、为后续学习铺路的基石，牢牢地练习、记忆、回看。我个人首推这本白皮书。
17级 成然
大一这一年，我一直跟着谢老师学习高等代数。一年里，我从谢老师身上学到的不仅仅是高代的知识、技巧、思路，还有那份认真与热情，可谓受益匪浅。
在学长学姐的倾力推荐之下，大一上学期开学之际我就买了绿皮书和白皮书（第三版）。但是很遗憾的是上学期的时候没能利用好白皮书，当时只是完成老师布置的书后习题，也没有预习或复习，甚至只是把白皮书当作一本可刷可不刷的习题集。最直接的后果就是上学期期中考试基础题思路和计算速度、正确率都很低，证明题也没有时间思考。期中考之后我开始“读”白皮书，但是那时的“读”主要冲着考试，着实过于肤浅，我只是看了其中的例题，而且自己没什么思路后很快就会看解答。这样读确实可以掌握一些解题技巧，比如第四章中几何语言与代数语言之间的转换。但是要想读透一道题，理解一道题所蕴含的知识背景、思想，这样显然远远不够。
下学期的时候，我在每节高代课之前都会先翻阅绿皮书进行预习。但我的预习还不到位。最好是能先了解下一节的知识点，在脑海中能有简单的知识框架，一些定理的证明也可以自己先思考一番。这样上课时便可以跟紧老师的思路，并有一份时间思考为什么，而不是仅仅抄写老师的板书，因为谢老师在课上会贯穿一些高代的思想、本质、与几何的联系，这对以后的学习理解大有帮助。第三版的白皮书和绿皮书的章节顺序都是相一致的。在每一章之前白皮书上会有这一章基本概念以及重要定理的整理罗列，每一章的最后也会有配套的训练题。建议在每一章学完之后先读全章知识点的总结，理出知识框架体系，然后独立做训练题，来检查是否有知识点的遗漏。训练题中的选择题与填空题重点考查的都是基本概念、基本解题技巧的理解掌握，也可以借这些题目训练提高计算速度。白皮书的例题解析部分不仅仅只有例题。每一小节的开始或者一些例题之后备注中，会有这一类题型的总结归纳、类比拓展、注意点，比如第七章中jordan标准型的应用等，读透这些备注，可以帮助我们掌握各种技巧的适用范围、时机，理解思路的来源，进而可以拓展思路、理解本质。而且这些小注中会有很多前后不同章节的联系，比如对角化在第六章、第七章、第九章中都有所涉及，二次型在第八章、第九章中都有所讲解。后面的章节中会给出前面章节中例题的证法2、3，并一起总结。这样带着新知识去重读之前章节的内容，会有全新的视角与思路，并且可以对比思考。白皮书上收录的例题都是老师精心挑选的，时间允许最好还是自己先独立思考，不要怕难。题后的解答在读完之后自己也要理解总结，将自己的思路与老师的思路进行比较。在新课都教授完之后，可以对着白皮书的总结归纳整理一份自己的知识点清单，比如同时对角化、同时上三角化、同时合同对角化、同时合同标准化、同时正交对角化、同时正交标准化，以及它们和交换性之间的关系等。除此之外，白皮书上还有kronecker积、一般数域上的相似标准形等拓展延伸，深度和广度都更上一层。不管是原先基础一般的同学，还是水平很高的大佬，读白皮书都会有所收获。
除了白皮书，谢老师每周都会根据上课进度给我们出思考题，去思考这些题目可能会花不少时间，但是这些题目中蕴含的思想很丰富，我们每个人的解答老师都会批改评价指导，在独立思考完之后也可以去看看其他同学的解答，相互学习。
高等代数是我们数学系的基础课，大一一定要打牢这个基础。白皮书蕴含着丰富的技巧、思路、思想，确实是高代学习不可多得的得力帮手。
17级 葛珈玮
《高等代数学习指导书》也就是大家口中的白皮书是每个复旦数院同学人手一本的葵花宝典。在入学前，我就听说了它的威名，无数在数学武林中行走多年的高手都向我推荐这本书。想要学好数学首先要学好高等代数，想要学好高等代数那这本白皮书必不可少，可以说它是帮助你开阔思路的一把钥匙，也是把你引入数学圣殿的引路人。
白皮书之所以能在市面上众多的高等代数辅导书中脱颖而出，我认为原因主要有三。首先，它的亮点在于一题多解。当然，其他的参考书中也会有一题多解，但谢老师的白皮书中一题多解却与众不同。他并不是给出一道题目，然后枯燥地罗列几种不同的解法，而是根据所学内容的增多，运用新学习的知识从不同角度进行解题，这不仅能够帮助我们更加深入地理解新知识，更能促进我们对于原题目有更深的认识，对于一道题目反复地思考，能够使我们收获更多，你会不自觉地想，从这个问题我能推出什么更好的结论，或者，这个问题我还有什么更好的解法。再者，这本葵花宝典思路十分的清晰，可以说任何一个同学只要跟随白皮书的引导，充分理解书中所讲，高代学习应该不会出现太大的问题，期末得A也是稳稳的。在每一节的题目下都会有对于本节内容的一个概括，或者是方法的总结，这就使得我们能够清晰的把握章节中的具体内容。当然只知道理论的方法还是太笼统，谢老师基本对于每一种方法都给出了相应的例题来帮助我们真正理解相应的知识，每当要转换知识点或者方法的时候前面都会有相应的引言，这是我们清楚地了解编者的意图，能够跟上他的思路。最后，如果你认为这本白皮书只涵盖了基本的知识，那就大错特错了。它有基础也有提升，适合不同学习阶段的同学。像矩阵的Kronecker积，Jordan标准型的几何方法，一般数域上的相似标准型等，都适合学有余力并且对代数感兴趣的同学深入研究，这些知识开阔了同学们的视野，也会让你感受到代数的魅力。
不同的高手使用秘籍的方法当然各不相同，在我看来白皮书应该刷三遍。第一遍是跟随上课的进度做题。当然，不是所有的题目你都能自己解决，或者说有一大部分的题目可能需要参考解答，可无论如何要有自己的思考，同时可以将自己想到的问题或者解法批注在旁边，以便日后翻看。我习惯在每章结束的时候二刷白皮书，这个时候尽量不会参考解答，而是看到题目之后做类似于头脑风暴的游戏，想想我一共有多少种方法可以解决这个问题。三刷就要有更深的认识，想想结论能否推广，锻炼自己的思维。
谢帅上课一丝不苟，严谨认真，这一点在他的白皮书里也得到了很好的体现，读好白皮书真的可以让你收获满满，一定要给这本葵花宝典疯狂打call。
17级 张菲诺
在大一学习高等代数时，《高等代数学习指导书》－即复旦数院人手一本的“白皮书”给予了我很大的帮助。学长学姐们广泛对白皮书有高度评价，而我经过一年的学习更是对其有了切身体会。
白皮书有着科学的编排思路，能让我们高效学习、获益匪浅。白皮书每章都是先有整章的知识点总结，然后分专题讲解。这样，我们看的时候可以先对本章内容有整体的把握，再对各个专题纵深理解。每个专题的题目难度循序渐进，题目之间有一定的逻辑关系，有时看了前面几道例题，后面的自然就会做了；有时乍一看无从下手的题目，前后看看便觉得思路清晰。而且在讲解一些重要的思想方法（如摄动法、归纳法、标准型三段论法等）时，会有多道类似的题目从不同角度运用相同的基本方法，让我们对该方法理解更加深刻。
白皮书中的一题多解也是广受好评的一大亮点。有些题目在前面的章节出现时的解法大多富有技巧性，有时让人觉得完全想不到。但随着学习的深入、知识的积累，我们在后面的章节可以看到，运用更高层次的理论可以得到简洁自然的解法。看到新解之后再向前翻阅、前后对比，既能对本章的知识有更深刻的认识，又能复习前面的知识，有助于我们对前后知识融会贯通，也很好地启发了我们发散性思考。
另外，白皮书章末习题题量适中、注重基础，通过选择、填空题很好地巩固了我们对概念性知识的掌握。解答题也多是书中讲解过的思想方法和技巧的运用，易于上手；个别较难的题目可能出现在在后面章节的一题多解中，可谓全方位地指导、帮助我们完成从学到练的过程。
我个人的习惯是在每章课程结束后看第一遍白皮书，这个过程可以看看例题中作业做过的题自己的解答和书中的解答有什么不同。对于不是作业的题，我会花一点时间做一做，但不会花太多时间死啃难题，而是认真读解答，读解答的过程中我会思考题目的难点是如何被突破的、解答的核心部分在哪里。对于一些自己理不清的题，我会抄一抄解答，书中习题解答完整而简洁，有助于我们提高自己的表达能力。考前复习时我会看第二遍，这时会对书中重点进行总结归纳，对于具体的题目尝试使用多种方法或用更本质的方法－总之是在原有基础上尝试新的思考。白皮书中一些重要题目能够帮助我们快速解决一些大题，这种对结论的熟练运用需要建立在平时多看多练的基础上，因此建议大家平时选择性地阅读白皮书，增加熟练度。但不建议大家在考试前临时抱佛脚才看白皮书，这样极有可能翻书了然而关书茫然，自以为的了然也很可能是囫囵吞枣，看下来效果反而不如夯实基础。
希望大家能找到适合自己的方法，合理地使用白皮书这一葵花宝典学好高等代数～
17级 程梓兼
《高等代数》白皮书作为一本以习题为主，辅助知识点理解的辅导书，对于高等代数的知识点深化和理解具有很大的帮助，解决了应用各种知识解决问题时比较生疏的问题，也让我们牢记了课上的知识点。
白皮书的编写思路是比较严谨的，通过不同章节的编排，把相同知识点对应的习题进行梳理，这样可以在对章节的知识点有了整体把握之后，再对各个专题进行深入探讨，在难度循序渐进的题目中，对知识点的理解更加深刻，也一定程度上学习到了解题技巧。同时题目之间的逻辑关系也是值得称道的，每个章节会有一些例题的结论作为之后例题过程中的需要的命题，将一道大题难题拆分为简单易懂的各个部分。这样可以有效避免看到长篇大论证明时无法理解的情况，梳理逻辑的同时，对问题也有了更加深刻的理解。将难题简化为一个个步骤，各个击破。这些循序渐进的清晰逻辑除了对解决有答案的题目有所指导之外，对于探索未知命题，将其分解为一个个相对简单的过程，再进行探究也有很大帮助。
同时为了加深理解，白皮书在很多结论上采取的几何和代数两种形式的证明，以及给出了命题的几何和代数形式，这样在问题中通过两种形式的转换，可以利用线性空间的几何性质或者代数性质给出一个更加方便的解题过程，两种证明思路的对比中也可以加深理解。
白皮书习题的多种解法是一大亮点。除了几何和代数的证明过程外，白皮书会在新的知识点引入之后给出之前章节题目的新的证明，让我们在通过白皮书进行练习时巩固了之前学习过的知识，避免遗忘。
白皮书在很多题目中介绍了很多具有技巧性的解法，这些在教材中没有介绍，在未接触这些方法前直接进行应用是不太现实的，但是方法本身的出发点却非常自然，比如摄动法，矩阵迹的应用等。这些思路上的拓展，随着知识的积累，对比传统的解法很容易可以看到其优越性。这些拓展的理论方法对问题进行了化简，也让证明更加简洁。
白皮书提供了大量例题和习题，例题中有许多结论在考试中是非常有帮助的，比如讲矩阵对角化时，提及乘法可交换的可对角化矩阵可以同时对角化，还有在第九章的例题中，许多例题的结论用在考试大题中直接应用可以有效节省篇幅，思路也因此更加明晰。
我个人在考试前只完整读了一遍白皮书并且独立完成了每章后面的习题，从个人感觉上来看，这样是可以熟练掌握白皮书中大部分技巧，并且牢记一些有用的结论，应对学校的考试是绰绰有余了。但是如果想在更高层次的考试中有所斩获，对白皮书的理解可能需要更加深刻，阅读一遍可能是不太足够。
诚然白皮书对学习的帮助和优点实实在在而且显而易见，但在我看来还是有一些改进的空间的。白皮书的例题很详尽，而且部分例题的难度也是可观的，我在做白皮书的例题时，很多例题第一遍看是根本无从入手，从而阅读解答才有所了解，但是想找同样难度的题目进行补充训练加深理解时，课后习题中并没有提供这样的机会。白皮书的课后习题在我个人看来是相对例题偏简单了，难度上和每一章节的最后几个例题仍旧有很大差距。虽然谢老师的每周一题可以让我进行练习，但是对于希望水平得到更多提高的同学来说，白皮书能够提供的难度较高题目的训练量还是显得有点少了。科大的《线性代数》教材可以进行一定的补充，但是章节编排和思路上的不同会给学习带来较大的时间成本，对找到的题目进行分类和练习会影响效率。因此我希望课后习题能附有一些难度匹配较困难例题的题目，可以对例题中的难题进行有效的补充。这样整本书的编排可以更加合理。
衷心希望《高等代数》白皮书能够越编越好，给更多数院学子以帮助，也感谢谢老师通过这本书给予我学习上的指导。
17级 王成文健
复旦大学的《高等代数学习指导书》（俗称白皮书），绝对算得上是习题书中的“爆款”。在复旦，白皮书人手一本，被视为学好高代的珍宝。在我看来，它的魅力是多方面的。
首先，最显见的是它作为一本习题集，题量充足，难度层次丰富，题型多样。
书中总共上千道题目，有的是对基本结论的认识和推导，有的来自于复旦数院的期末考试题，有的来自于全国大学生数学竞赛，还有的选自谢启鸿老师精心命制“每周一题”。总的来看，有基础，有拓展，有经典，有新题，数量足，质量高。
其次，白皮书的例题设置匠心独运。
书中常常连续的数道例题围绕同一个主题，以此介绍诸如迹的应用、半正定阵的性质等重要内容。有时也通过多道例题，层层深入导出一些有趣的结论，例如对Jordan块的m次幂的Jordan标准型的讨论等。
同时一些方法、问题贯穿全书各个章节。例如书中介绍的摄动方法，特征多项式诱导空间的直和分解，同时上三角化/对角化/标准化问题。
把这些有联系的例题放在结合在一起前后联系、思考总结，对于我们的学习大有裨益。
此外，书中设置了大量的一题多解，有时有了新的概念或结论后，会把前面的例题再拿出来作讨论，例如可对角化问题判断方法一次次地增加，同时正交标准化应用在解决对称阵问题上，都是对前述知识方法的补充。这时设置旧题新解，可同时丰富读者对于原问题与新知识的认识。
例题的紧密联系是白皮书区别于一般习题集之处，使它更像是一本补充教材，在普通教材的基础上，通过导入新知和深入探究问题，大大拓宽了原始体系的深度和广度，使我们在领会思想、掌握方法、熟练技巧的同时能开阔视野，更加体会到高等代数的魅力。
此外，白皮书重视体现思想，如前言中所述的“代数与几何之间的相互转化和有机统一”。
因此，书中设置的许多一题多解是从代数和几何角度分别给出解答，让大家体会两种思考角度的异同以及这种相互转化的优势。
同时，对于课本中从代数或几何角度阐释的内容做了另一角度补充。例如给出了Jordan标准型的几何方法，Schur定理以及实正规阵的正交相似标准型的代数证明。
谢老师在课上曾说高代学习有三重境界：一为代数是代数，几何是几何；二为代数化为几何，几何化为代数；三为代数即是几何，几何即是代数。相信大家读完白皮书后，即使还无法达到第三重的超然境界，也至少能对第二重境界有较深刻的领悟了。
然后，想说说我自己读白皮书的一些感想。现在周围的同学都不必为高代的辅导资料而纠结了，在我们看来，啃下白皮书，基本上就算学好了高代。只是书中思想、方法丰富，要“啃下”它并不是一件容易的事情。
一年来，我在平时的学习中或粗或细地看了一遍白皮书，再在考试前作为复习再通读一遍。但限于平时所花时间有限，对许多重点难点的理解并不充分，可能只是稀里糊涂似懂非懂地看过，复习时觉得不少内容还很生疏，深感平时学习不够坚持，付出甚少。而书中精彩的例题绝不是简单看一遍两遍便能吸收的，算是为大家提供一点反面教训。
至于正确的学习方法，这见仁见智。但我认为多花时间，多刷几遍一定是必要的。可能第一遍读不大懂的地方，第二遍再看便拨云见日。多次阅读，促使自己反复思考，联系前后文的思想方法，归纳总结，便可获得更多收获吧。说简单，也并不简单。
最后，希望大家坚持学习，充分利用好白皮书打下扎实的基础( • ω • )y
17级 汪子怡
《高等代数学习指导书》（俗称“白皮书”）在复旦数院真可谓是人手一本的“神书”。众所周知，练习在数学的学习过程中扮演着无可替代的重要角色；而在高等代数这一课程中，白皮书绝对是练习素材的不二之选，书中每一章都包含了充足而详实的例题与难度适中的练习题供读者练手。除了提供了丰富而全面的课外练习，白皮书还是对课本的一个极佳的扩充和提高，既包含了不少在课本中不会提及但是不乏趣味性与实用性的知识，也提供了许多更具体的在解题过程中无比实用的结论和思路。这本书的价值与作用从其风靡程度就可见一斑，学长学姐的推介之中也已经做了详尽的介绍，在此我就不赘言了；我更希望谈一谈我在学习这本书过程中总结的一些小经验，以期给后来者提供一点思路。
1、白皮书是用来做的，不是用来看的。这一点早已是老生常谈，但是其重要程度让我不得不再提一次。也许有些同学读这本书就是冲着谢老师提供的那些强大的结论和巧妙的trick去的，这本身无可厚非。但是如果停留在读一遍书然后记下这些技巧的层面上，却忽视了在书中所蕴涵的更为普遍的解题的思想与经验的累积，无疑是捡了芝麻丢了西瓜。同时，就结论与技巧本身而言，谢老师也十分用心的在每一个重要的结论之后安排了一些例题作为练习。已经拿到了工具，却不去做一下实践，对工具的掌握自然就有所缺失。更何况有些情况下，这些工具的切入角度本身就有所讲究，这些细微之处只有在实际使用过程中才能有所体会。只是看看谢老师的证明很容易就以为是理所当然，而到了实际应用时却不知所措。
2、注意白皮书与课本进度的协调。从我和一些朋友的学习经验来看，完全紧跟着课本进度来做白皮书往往是有一定的困难的。因为白皮书中为了追求整体的融会贯通与主线的清晰度，有些从属前面小节的题目也会不得不用到后面的知识或者思路。在对后面知识完全没有了解的情况下，就是读谢老师的解答有时候也挺让人头疼。一方面，遇到这种情况或者其他毫无头绪的问题，我觉得并没有太大必要与其死磕，甚至闹得情绪不佳，往往在学习了后面的知识，有了更高的观点之后，这些题目都可以迎刃而解。另一方面，白皮书的学习也可以很好地与课本的预习结合起来，如果有了比较充足的预习量，对后面的知识有了初步的了解，只是做到看到这些东西不至于感到陌生，也会让白皮书的学习变得流畅不少，同时对课本的学习也会有所帮助。
3、对一题多解的问题给予更多的注意。一般来说，一题多解的题目都具有相当高的典型性，掌握它们以及对应的多种方法对学习相应内容会有相当大的帮助。比较多的多解都是在有了更强的工具或者结论之后，从更高的观点来解决问题，这些方法一般都会更加直观和简洁；但是了解之前的解法，从解法的演化过程体会学习的知识的演化过程，也可以获得对整个知识体系的一个更加全面的视角。还有一小部分多解是有一些“反直觉”的，这些用法虽然在实战中不一定想得到，但对于方法或者结论的理解还是有所裨益，而且有其自身的趣味在里面。
4、注重对白皮书的整理。像白皮书这样一本可以说“包罗万象”的书，只是做一遍就想学到其中精髓是不太现实的。不少优秀的学长学姐都是二刷乃至三刷的，这样固然最好，但是对于像我这样的一般学生而言负担有些太重了。在这个学年的绝大部分时间我采取的整理方法是把错题都重新抄下来再写一遍，但是个人感觉效果并不是很好。因为在抄题的过程中很容易就进入了“自动驾驶”的状态，时间消费了但是对题目的理解却没有什么加深。在最后期末复习的阶段我又采取了一种新的方法，把章节中的主要定理和重要结论列一个提纲，然后在脑袋里快速地过一遍各项的证明，把遗忘的部分加以巩固。在列这个提纲的过程中，可以较好地建立起整个知识体系的宏观观点（比如第九章中欧式空间和酉空间中的结论的区别和联系），同时对一些常见的问题类型的常见思路有一个更清晰的了解（比如同时……化的这些问题的方法）。这种更加着重知识而非题目本身的方法在时间成本上要划算不少，而且从期末考试的结果来看大概是有一些效果（尽管我只来得及做出个别章节的提纲）。
最后，像白皮书这样的工具书，不同的读者自然会有不同的最佳阅读方式。我希望大家能够尽早了解到这本书的价值所在，并且摸索出最适合自己的学习方法，不要像我到了期末考试前一天晚上还在苦苦探索。
17级 尚振航
大一学年的高等代数学习是在谢老师的在线课程、高等代数博客与白皮书的陪伴下一同走过的。作为一名外院系转入数院的学生，之前高数课堂上对于线性代数知识的学习仅仅停留在计算的层面，许多重要概念都无法得到充分的理解，更不要提处理题目时的各类方法技巧。而谢老师的高代课程与配套的学习指导书（也就是“白皮书”）很好的补漏了这一空缺，单论白皮书而言，其中收录了大量课程相关的计算与证明题目，条目清晰，由简到难，一题多解，涵盖了从基础运算到竞赛、考研题目各个层次，讲解上又十分清晰，在巩固知识点的同时加深了对高等代数的理解与思考。另外白皮书还提供有相当部分的知识拓展，如Kronecker积、广义Jordan标准型、互素多项式的应用、摄动法等等，都是课堂知识的自然延伸，很好得拓展了大家代数学习的广度与深度。谢老师博客上有专门一帖讲高代教材及参考书的推荐，里面有一句话叫做，“参考书贵精不贵多”，白皮书就堪称是业界良心，只此一本，每次翻读都能有新理解、新感悟，是大家高代学习的必备法宝，也为高年级的学习和数学思维的锻炼积累下了宝贵财富。
学习心得：
大一一年下来，每次书包里放下高代课本总会下意识得带上白皮书，一白一绿“两兄弟”一学年都没分开过，白皮书也就像高代课本那样，有事没事总要翻一翻，里面的很多思想也都是需要我们精读数遍，慢慢咀嚼才能理解吃透的，如可同时对角化（or各种标准化）往往和公共的特征向量、交换性联系在一起，如正规算子的各个充分必要条件等。谢老师为白皮书第三版的修正倾注了大量的心血，题目难度循序渐进，后面题目有时往往需要前面题目的结论，一筹莫展时可以翻看一下前几道题目的解法，一般都会有很好的启发效果。整体又能形成思维上的闭合回路，整个过程下来总会惊叹于题目设置与解法的巧妙，配合“每周一题”食用，又能检验对各种性质、“巧招”的应用掌握和推广能力，对大家的高代学习与提升提供了莫大的帮助。最后借此机会对谢老师一年以来的教导，以及一直以来努力耕耘的高代学习平台体系表示发自内心的感谢，希望更多同学能从中受益，也祝谢帅的高代课程越办越好！
17级 时天宇
第一部分 学习心得
高等代数是数学系大一的基础课，我在第一学期学习了谢启鸿老师的高等代数在线课程，第二学期加入谢启鸿老师的正常教学班学习。我认为高等代数是我学过的数学课程中最有条理的一门课，它虽然乍看上去有许多零碎的知识点和定理，但是每一章或者每几章都会有一个主线将各个要点串连在一起。这些主线都包含在谢老师深入浅出的讲解中，下面我分享一下我在高等代数学习中的几点体会：
第一点：熟读课本，重视基本概念和方法。白皮书虽好，切不可盲目做，在没理解透概念的情况下盲目做题最终也是似懂非懂，对提高能力并无好处。我在第一学期学习在线课程的时候就是犯了这个错误，我觉得听一遍课就足够了不太重视课本的阅读，哪知学得快忘得也快，每次听完课觉得什么都会但到做题的时候就有些力不从心。我认为学习高等代数最重要的一点便是认真读课本，理解重要概念，我在第二学期每次上完课做习题之前都把课本逐字逐句地再读一遍，期中期末复习也是以课本为重，做习题和阅读课本的时间几乎对半。课本读熟后对基本概念和基本方法就能熟练掌握，从而不会在基础题上出错同时也为做难题打下了基础。
第二点：大量做题并学会反思。我认为在数学中，有策略的题海战术是非常有用的。”有策略的”指的是两点，一是挑选不同类型的且适合自己水平的题目，二是做完每道题后要及时总结反思。在掌握了基础知识后，大量的新奇的有难度的题目能不断地拓展你的视野，开拓你的思维，这样不仅能为解难题提供思路，同样可以提高自己对基础题的熟练程度，确保基础题做得又快又准。
第三点：白皮书不能只读不做。曾经有一段时间我将白皮书题目都读完后再做类似的题，发现还是磕磕绊绊，有些问题出在计算上，有些问题出在写步骤上。后来才明白，白皮书既要读更要写。能看懂和能独立做出有很大区别，每道题都写出来有助于提高计算能力，也能掌握每种题目的每个步骤如何用标准的语言写出。
第四点：不要惧怕它。只要思想不滑坡，办法总比困难多。数学学习可以说是比较枯燥比较艰难的，所以切记，心态不能崩。学习数学需要摒弃划水的态度，在遇到瓶颈的时候不要惧怕它，要用坚持和努力战胜它。
第二部分 白皮书推荐
白皮书是数院人手一本的习题集，它的畅销也反映出了这是一本对现阶段的高代学习相当有指导意义的书。我谈几点我觉得白皮书吸引我的地方。
第一点：它是一本有详细解答过程的书。大学数学的辅导书大致分为两类，一类是有答案但是没步骤的，另一类是连答案都没有的，这对数学学习造成了很大的苦恼，但是白皮书却有很详细的解答过程，这让我们更加愿意去面对难题，因为我们知道即使绞尽脑汁想不出来的题目也可以参考学习答案的解法，这对我们解题能力的提高大有裨益。
第二点：白皮书注重方法的讲解，是一本可读性很高的书。白皮书不像是一般的习题集一样仅仅是各个章节习题的堆叠，它的习题从易到难，归类恰当，有些题目更是有一题多解，从不同的角度解决问题也能开拓读者的思维，习题前后的注也帮助同学们理解接下来的题目讲的是什么内容，用的是什么方法。这样行文让读者能在学习中看到自己学会了哪些东西，有助于将厚厚的一本书坚持读下去。
第三点：白皮书题量大，内容全。白皮书收录了大量的习题，数学系的同学再也不用担心没题可做了，白皮书的例题中有中等题更有难题，满足了优秀的同学解难题的需求，白皮书训练题中也有考察概念和计算的基础题有助于巩固基础，这样的题目设计满足了不同层次读者的需求。
17级 刘宇其
对于每一位即将面对“高等代数”课程的学生，白皮书可能都是口口相传的掌中宝。那么白皮书究竟好在哪？为什么会有那么多学长学姐争相推荐？我们从头道来。
首先，高等代数这门课程不同于高数、数分，它从思想上不是无中生有的。对于每一类题目，都有一系列思维方式。比方说什么时候要考虑同时对角化，什么时候要考虑公共解空间。思路选对了，题目做起来才会如鱼得水。就像我的某位同学说的那样：“我只会做我做过的题。”可能一道难题放在那里，见过方法多的人，就能在脑中回想出许多种应对这类型题目的手段；而平时阅历少的，就往往无从下笔，举棋不定。白皮书就正给大家提供了多种多样实用的技巧；详细阅读起来，每一节中间又针对每种方法分成许多许多小节，这对掌握不同方法是十分有利的。在这里特别给大家推荐第三章、第四章、第七章和第九章的白皮书，这几章内容相对庞杂，想要全部掌握并不容易，所以面对这几章的难题，同学们可能觉得力不从心，这时不妨回去翻翻白皮书，尝试从中另辟蹊径。
再者，白皮书还给大家提供了许多非常实用的计算技巧。高代作为基础学科，计算在其中占的比例是很大的。当然，计算能力也十分重要；但掌握实用的计算技巧才更是重中之重。比方说对于一个如图的矩阵，白皮书就给出了先加上两倍的单位阵使其变成3、-3交替出现的四阶矩阵，再通过降解法求出特征值的方法。实际操作就会知道，这种方法很大程度上节约了计算成本，加大了计算速度。甚至可以在期末考上助你一臂之力。类似的方法在白皮书上还有很多，这些技巧可以帮助大家灵活地计算各种矩阵问题，达到很好的效果。$$\begin{pmatrix} 1 & -3 & 3 & -3 \\ -3 & 1 & -3 & 3 \\ 3 & -3 & 1 & -3 \\ -3 & 3 & -3 & 1 \\ \end{pmatrix}$$
总而言之，白皮书揽括了大量的高等代数知识，希望大家至少在期末考试前将白皮书研读一遍。将自己认为有用的技巧画出来，这将对大家的期末考试有突出的帮助。
17级 张昰昊
白皮书，是每一个复旦数学系的学生在大一学习高等代数时绕不开的一本参考书，也是一本不可多得的习题书。关于这本书的阅读和使用方法，我也是到了下半学期才慢慢摸到了窍门，希望可以给大家提供一些参考。首先是每个单元最前面的知识梳理，这些内容由于极其简练概括，容易被我们忽略，但事实上是我们在考试复习前反思还有什么知识点没有复习到的时候的最好的帮手。在高代一的学习中，可能由于内容还没有这么难，考试的复习量没有这么大，可以只看看笔记教材来复习。那么到了高代二，从第六章的对角化开始，各种判定，定义以及重要的定理层出不穷。所以我推荐在第一学期就养成在期中期末考试前，重新整理笔记并做一些重要的补充，利用白皮书每个单元前的知识点总结来检查是否遗漏的习惯。白皮书中最精彩的内容，就是它的题了。我认为白皮书写的最好的地方，在于它用题目的形式把课内的定理，课外的重要命题和实用的结论以及它们的应用串在了一起并且形成了体系。同时，这些相关的命题，推广形式没有集中在一起，而是在书的不同地方出现，当我把这些相关结论整理在一起的时候，一个一个重要的，教材上没有的小专题就会出现，整个知识的脉络就会很清晰。例如，在具体的题型上，第六章到第九章的，同时对角化，同时上三角化，同时化为合同标准型，正交相似/酉相似标准型的一系列相关性很强的内容；在更一般的方法上，利用共同的不变子空间与数学归纳法进行降阶的思想方法反复出现。总之，在不断研读白皮书的过程中，你可以自己整理出很多相对集中的题型和专题，以及重要的思想方法。所以在我看来，白皮书只读一遍是不行的。第一遍读完的感受是庞杂，零散，需待你整理完第一遍所得，清晰的框架才慢慢显现出来。白皮书的另一特色是它的一题多解。不同于一般的习题书，白皮书里没有把一道题的多种解法放在一题的解答下，而是随着知识体系的发展分散于不同的章节中。这样的好处是，我作为读者，获得的不仅是平行的多种解法，而是可以体会到知识体系的纵深以及数学思想的渗透，随着更加本质的强大的工具出现，技巧性强的证明为套路性强的证明取代了，或者冗长的匪夷所思的证明为简洁明了的证明所取代，不禁令人拍案叫绝。所以我前面说了，白皮书读一遍是不够的。最后做一个小结，我相信，只要好好读了白皮书，掌握高等代数中的主要的思想方法，学好高等代数是不成大问题的，或者至少，你会在期中期末考的考场上感受到白皮书的好处，觉得刷的那么累也不是白刷的。
17级 林妙可言
就个人而言，我大一有关高代的资料就只是绿皮书和白皮书，所以我全部的知识梳理及拓展都来源于白皮书。大一上学期的时候我其实还不怎么会用这本书，仅仅当作是书本补充的课外练习，很多不会做的题目看了答案做个标记然后复习的时候再看一遍，然而这是没有什么效果的，对理解本质没有什么作用。但学到后来我发现除了一些技巧性的操作之外，白皮书告诉给我更多的其实是知识的连通与框架。可能第一遍学习高代会有些理不清为什么会引入某些概念或者为什么以这个顺序安排课程，换句话说就是不太理解整个知识体系，学到的只是每一节课里的定理和命题但好像无法把它们联系起来，这是我觉得高代入门比较困难的一点。白皮书在这一点上可以帮你解决一些疑惑。它不是按照课本一节一节的顺序编排的，而是在经过一定的分类整合下呈现出的例题讲解。它会把相似或是相关的部分放在一起，也会把重点拎出来仔细讲解。比如可对角化和是复正规算子的充要条件，这里的很多结论都是书上没有的，看完之后会发现有些看似没什么关系的结论其实是可以互推的，所以也就能够对它们的本质有更深的理解。而且越学到后面越会发现前后所学的知识是贯穿在整个框架中的，前面证明的一些命题和结论经常会出现在后面的解答中，学习了新的知识后又可以给出前面题目的新的解法，虽然不一定会比之前证明的简单，但是提供的不一样的想法能拓宽解题思路，也能让我更好地理解这一块知识及其它的应用。还值得一提的是例题之后的注，这里通常是给你一些推广性的结论，再想想推广意义下的证明对于你理解这一类问题有很好的帮助。
