北京大学数学学院 16 级卢维潇对高等代数学习方法指导书和每周一题的评价
卢维潇简介
- 北京大学数学科学学院 16 级本科生
- 2017年度第九届全国大学生数学竞赛 全国决赛低年级组一等奖
- 2018年度第十届全国大学生数学竞赛 全国决赛高年级组一等奖（全国第一名）
- 2019年丘成桐大学生数学竞赛 代数银牌、几何银牌、分析银牌、个人全能铜牌
对高等代数学习方法指导书的评价
我第一次接触白皮书是和高中同学钟梓源（复旦数学学院 16 级）的交流当中发现的，记得是上半期开学之后，钟梓源给我发了几张他们高等代数“练习册”的照片，还记得是矩阵的 Kronecker 积和摄动法之类的，当时大为惊讶，我虽然对这些东西有所耳闻，但均来源于杂乱无章的各种资料。照片上的几道题均有十足的难度，我当下决定买一本，便开始阅读了起来。现在已经过去大半年，高等代数已经学完了最后一章的内容，白皮书也陪伴我度过了一个半学期。现在，我大概把白皮书上的题目全部做了一遍，不得不惊叹于白皮书乃一本“葵花宝典”。
一、大量的补充知识
白皮书中拥有许多补充知识，很多内容都让我大开眼界。比如：
- 摄动法，摄动法是一种十分有用且巧妙的方法，在一些书上也有所提及，但没有专门的讲解。白皮书上对于摄动法给了具体的说明，让我又对摄动法有新的体会。
- 矩阵的 Kronecker 积，矩阵的 Kronecker 积即两个线性变换张量积的矩阵表示，有些书也提到过。白皮书对此进行了系统的整理，并在特征值部分对矩阵 Kronecker 积进行补充。
- 结式与判别式一节有大量关于判别式、结式的公式。
- 一般域上的 Jordan 标准型，即广义 Jordan 标准型内容也十分经典。对于非代数闭域（有域上 2 次及以上的不可约多项式），矩阵相似标准型是一个很重要的问题，但由于比较复杂，很难见到如此细致的整理。
- Legendre 多项式。
- 矩阵的 Moore-Penrose 广义逆以及线性方程组解的逼近。
另外，书中还隐藏着一些内容衔接的信息，比如域扩张次数的公式等。
二、代数方法和几何方法并用
对于高等代数问题，有两种不同的风格，即代数方法和几何方法。代数方法直接从矩阵入手，把一切问题都转化成矩阵的问题，然后利用矩阵的技巧进行运算；而另一方面，也可以将矩阵的问题转化为线性空间以及线性变换的问题。而白皮书把两种方法均做到了极致。
在代数方面，常常看到利用分块矩阵谈笑风生，利用秩不等式扭转乾坤，出其不意，用巧妙的矩阵运算化解复杂问题，比如例 2.61，例 3.60，例 4.53，例 6.45 等等。有些时候，矩阵的做法难以想到或技巧性较强，又有对应的几何做法来化解，通过构造线性空间，考虑其线性变换及其不变子空间，又有另一片天地。白皮书中利用几何方法推导幂零矩阵的 Jordan 标准型是我以前从来未见到过的，相对于高深的有限生成模分解，这种接地气的几何证明的确十分巧妙。另外，有关正规算子部分，也利用几何方法推导出其性质，相比于算矩阵来说，更加贴近本质。
三、题目新颖
相比于其他书而言，白皮书更像是一本“高等代数习题集”而不是“高等代数陈题集”，上面有很多问题我自己在其他国内外的书上均没有见过，并且难度十足。令我印象最深的就是“迹为 0 为换位子”，即若 $n$ 阶矩阵 $C$ 满足 $\mathrm{tr}(C)=0$，则存在矩阵 $A$ 和 $B$，使得 $C=AB-BA$，这道题目在我们上半学期上课的时候，有同学提出但同学和老师均未给出解答，就此搁置。这学期的时候，老师给我们发了一篇英文论文，证明的就是这个问题。但阅读白皮书时才发现这道题已经在白皮书上出现了！利用有理标准型也可以给出一个相当简洁的证明。不得不惊叹于白皮书的博大精深。
四、前后联系紧密
对于我自己而言，数学的一大魅力，在于用新的数学理论解决以前无法解决的问题。在看书的时候，书前面抛出问题，而在后面用新的观点看它，实乃一大乐事。这样就能体会到数学的统一性，让人明白，创造理论就是为了解决问题。而白皮书，正好做到了这一点，前后联系是非常紧密的。下面举一些例子来说明。
- 例 1.16 给出了 Cauchy 行列式的计算，在例 8.27 在判断矩阵 $a_{ij} = \dfrac {1}{i+j}$ 正定时，正好用上。
- 例 2.19 给出了 $B^{-1}-A^{-1}$ 的计算公式，后面才发现这是为了证明，若 $A>B>0$ 则 $B^{-1}>A^{-1}$ 。
- 第 8 章从矩阵角度给出了 Cholesky 分解，第 9 章又从内积空间的角度重新提及。
对高等代数每周一题的评价
虽然两年过去了，但两年前做谢老师思考题的日子还是记忆犹新。其实当时做思考题的目的很简单：当我从复旦数院的高中同学那里得知此事，并且听说每周一题深受大家欢迎时，一种跃跃欲试的想法便自然地冒了出来。
2016级高代II思考题的那18道题目确实非常精妙，基本上都没有在其他地方见过（只有第6题的结论见过，但那道题是不用内积空间理论证明实对称矩阵可对角化）。每道题当年我都花了一定时间去做，从中有了收获，并且也在以后的学习中受益。
以一些具体问题为例：比如第6题证明对称矩阵可对角化，我的思路永远被限制在了内积空间自伴随算子的性质，最终也没把这道题做出来。看了各种解答之后才发现矩阵可对角化和对称矩阵有很多等价条件和性质自己以前没有掌握。又比如第10题，是有关半单性的一个很好的问题。在非代数闭的情形，线性变换特征值的缺失对不变子空间的研究造成了很大的障碍。这道题当时困扰了我很久，我也查了很多相关资料，在后面接触非交换环论时，看到一些半单环理论立马就想到了这道题，并给了我很多启发。再比如后面一些内积空间的问题，其中一个结论的无穷维推广在一道泛函分析的谱半径估计的题目中出现过。
我并不后悔当年花了很多时间学习线性代数而牺牲了学后续课程的时间，甚至感到十分值得。功利一点说，2019年丘成桐大学生数学竞赛的代数决赛试题，除了证明48阶群不是单群之外，全是线性代数的问题，譬如证明奇异值分解，证明两个矩阵在大域上相似则在小域上也相似，判断矩阵在不同域上是否半单等等。当年的线性代数基础使我对这些问题手到擒来，而当年对复旦高代每周一题的探索也对我学好线性代数起到了很好的作用。借此机会感谢谢老师的思考题，也感谢当年教给我很多高代技巧的安金鹏老师！
