复旦大学数学学院 13 级本科生对高等代数学习方法指导书的评价
13级 宋沛颖
当我在上学期初刚拿到新版高等代数白皮书的时候，心里多少有些激动和新奇。激动的是，复旦这一系列的白皮书，特别是第二版的高代白皮书，一直是数学学院学生学习课程的有力工具，作为见证第三版白皮书出版的第一批学生，能看到老师们对于高等代数课程的思路和内容的一些思考和改进，我觉得很荣幸；新奇的是，在学习过第二版白皮书过后，我已经感觉到了白皮书的内容之丰富，技巧的多样化，那么第三版会有多少改变，又是否还会有更大的突破？
带着这样的期待，我学习了第三版白皮书。我想，能够在第三版白皮书中将高等代数的内容做到如此的深化，老师们的努力和用心都是值得的。在此我想谈几个第三版白皮书的特点以及我的一些收获：
1. 主题按照方法和技巧进行分类。在大一的专业课程中，高等代数虽不算是最难的课程，但我认为它的技巧是最多、最灵活的。大一新生大多习惯了高中刷题式的学习方式，不善于去深入思考概念的深刻含义并对题目的方法与技巧进行总结，没有意识去发掘与思考题目之间对技巧的灵活运用与转化，所以进入大学以后对学习方法不免感到有些盲目。而白皮书对于学生这方面有着很大的帮助。不同于其他的辅导书籍，白皮书并没有严格按照教材的顺序来写，而是将一个阶段的内容和解题技巧分类进行了较为全面的总结。这样做的好处就是在遇到题目时，学生的思路能够更加的明确，特别是为处理一些较难的问题指出了一些思考的方向，熟练这些技巧以后便会很自然的运用到自己的解题过程中。特别的，我认为每一章节的开始部分与例题后的注释都有很多思想上的指导意义（比如求Jordan标准型方法的总结、半正定对称阵的几条非常有用的性质、以及在条件和结论保持不变的情况下将部分条件化为标准型来处理的方法），非常值得读者细心体会。
2. 一题多解与举一反三。我认为这两个能力是数学系学生必须具备的。当我们解出一道题后，特意回避我们认为最自然的思路，从我们不熟悉的方向寻找解题的突破点时，我们通常会在概念的理解和技巧的掌握上得到一些质的提升。新版白皮书中有很多一题多解的例题，在总结过新的方法和技巧后，又会拿出之前的例题来谈新的技巧的一些应用，做到各种技巧融会贯通，并且鼓励了读者的发散性思维。同时，在这本书中一种技巧可以用来解决很多看似并不相关的问题，很多后面的练习题也是例题中技巧的应用，方便读者检验自己的掌握程度。
3. 代数与几何之间的相互转化。代数与几何的相互转化是高等代数这门课程的主要教学思路，也是我们学习高等代数的重点与难点。白皮书也是在不断强调二者之间转化的能力。例如矩阵的秩的不等式与线性映射维数公式通常可以用来证明同一个结论、很多代数问题通常可以转化成直观的几何问题、几何问题又可以使用代数的初等变换等等技巧。这些的例题不但能鼓励学生对不同的概念和技巧的理解与灵活运用，还可以加深对代数与几何的相互转化的思想。值得一提的是，数学的各个学科之间相互转化的思想也是学生日后学习拓扑、泛函分析等学科的重要基础，在高等代数的课程中认真的体会这一思想是对今后的学习和学科之间联系的极大的启发与帮助。
4. 对高年级学科有思想的指导意义。白皮书浅谈了一些有限维空间与无限维空间的异同，将幂等矩阵作为单独的一节，提出了许多幂等矩阵的性质和幂等变换与投影变换之间的联系，并且讲到了矩阵函数与Jordan标准型的联系。这些都是我们今后学习常微分方程、泛函分析等课程的重要的思想的启发，有很多思路值得相互借鉴。学过高年级的课程，再回头来翻看白皮书也会有更深刻的体会。
5. 我对使用这本高代白皮书有几点建议：
第一，第一遍先按顺序尝试思考其中的例题。白皮书的编写顺序非常的巧妙，前后两道题目通常是层层递进，或是解题技巧与思路相近。这样通过前面题目的启发，读者很有可能运用前面的思路和方法解决后面的题目，有时甚至发现新的思路。
第二，每读完一章以后，回过头来用整体的眼光去浏览这一章的内容，并重点回顾书中一些关于解题技巧总结的段落。这样做有利于读者对于书中的知识体系、方法与技巧有更整体的把握。
第三，有时间的时候可以抽空翻阅一下前面章节的内容。很多时候我们可以发现前面的一些题目可以用我们后面学到的一些知识与技巧来解决，做到融会贯通、学以致用。
尽管高等代数是一门比较强调解题技巧的学科，但我认为我们学习的最终目的并不是用这些技巧去解决一道道的难题。所谓的技巧永远是建立在其背后深刻的思想之上的，我们学习数学的意义也在于领悟这样的思想。通过技巧来学习和体会其背后的思想，是运用这本白皮书的最佳方式。
让这本白皮书发挥它最大的作用，需要编者的匠心，更需要读者的用心。希望广大同学能够通过阅读此书，对高等代数这门课程的知识体系有更清晰的理解，并能感受到高等代数带给我们的一些深刻的数学思想。
13级 鹿彭
要说第三版白皮书的话，我应该算是很早的一批读者了：老师在编写这本书的时候，基本上每完成一章，都要发给学生们看看，期待意见和建议。我也不敢怠慢，与第二版白皮书对照着“找不同”，然后把有所改动的地方罗列出来，做一点粗浅的分析。一路下来，在对高代加深了一遍印象的同时，也深深体会到自己当初学习的不扎实，有很多当初理解不够深入、靠短期突击死记硬背、期末一过就忘干净了的地方。其实是很没有资格对这本书做出评价的。所以一开始老师希望我写一篇介绍的时候，我磨磨蹭蹭一个学期不予回复。但毕竟盛情难却，而且我在入选苏班及其预备班的时候两次得到老师的推荐，再拖沓就显得太不礼貌了。那么就硬着头皮写一点自己的见解吧。
和第二版相比，新版白皮书的改动体现在很多方面。首先题量确实是明显地扩充了（按老师自己的说法，希望这本书不仅对初学高代的同学有明显的帮助，对准备大学生数学竞赛或者考研的读者也能起到应有的作用），全书篇幅所多出的三分之二中大部分是例题。不过题量多也并非一定代表题海战术：本书中的例题不是（如某些教材和习题集一样）随意堆放，而是按次序、按类别设置的。即每个章节的习题按照由浅入深、思路由简单到复杂的顺序安排，最初几道题往往是十分浅显的预备结论，这样就保证了数学基础一般的同学也能逐渐深入并有所收获（而不是直接被最后超难的习题吓倒）；而后面一些例题在解答过程中灵活运用了先前习题的结果，能让读者体会到，有些习题尽管没有在课堂上直接讲授，但它们和课本内容形成了一个有机的整体，本身都是应当掌握的结论。另外对于某些典型技巧，如求行列式的各类方法、迹的应用、摄动法、同时标准化理论（也包括对角化和上三角化）、半正定阵的应用、欧氏空间中矩阵的各类分解等，课程中往往没有机会予以详细讲解，在书中都专门安排了进一步的讲解和相关例题（同样按照由浅入深的顺序），这是我认为做得很用心的一个地方。
在习题方面本书的另外一个特别之处，同时也是与第二版白皮书甚至其它常见的教材与习题集（不局限于高代）作显著区分的地方是，书中对同一道例题列出了尽可能多的解法，有时在引入了新工具的时候，还据此对前面各章的例题给出另外的解答。假如全部认真对待的话，不仅可以深化对各知识点的理解，也能大幅度地拓宽读者思考问题的角度，对知识的活学活用有很大帮助。
除解题技巧之外，本书还有其他可圈可点之处，例如对读者抽象思维的培养。首先体现在对矩阵与线性映射两种语言的同等强调，及对其灵活转换的有意锻炼：本书第四章在引入线性映射概念之后，专门用了一节的篇幅来对两种方法进行了比较，其后也时常对应用某一种语言的习题予以翻译并用另一种方法解答，或提示读者自行尝试；由于矩阵语言较形象而线性映射语言较抽象，这种做法若能得以推广，也有利于读者（尤其是初学高代的数学系大一同学）数学思维的形成（然而本书第二版中对此较少提及，也许是把这当做了理所应当由读者自己完成的事情了吧，略显遗憾）。另外还集中体现在本书第三章：全书的各部分均有不同程度的扩充，而在高代I所涉及内容（前五章）中，第三章的变动幅度尤其大。这当然在一定程度上是由于本章内容要多联系第二章的方法，为第四章两种语言的结合做准备；但另一方面也源于对线性空间本身的重视。毕竟对一个集合来说，线性结构与拓扑结构都是十分常见的，并且它们对各类具体问题的解决也提供了巨大的帮助，数院的同学如果能在大一的时候就对线性空间及同构等概念比较熟悉，那么在学习抽象代数的时候遇到更一般化的相同概念时就不会觉得很陌生，而在学习泛函的时候在线性空间中赋予拓扑，理解起新的概念也会更有效率。（这两点是本书比较深刻的地方，也是我当时学得很不好的地方，在此勉励初学者不畏困难、认真对待）
为了改正第二版白皮书在顺序安排上的一些问题，本书还调整了第八和第九章的一些小节的顺序，确保结构清晰。另外，本书还加入了一些打星号的章节，例如矩阵的Kronecker积及其特征值问题、一般数域上的相似标准型、矩阵的广义逆等，以满足不同类型读者的需要。
新版白皮书中最特殊的、也是我个人最欣赏的地方，是（书中时常出现的）对知识的分析与总结。例如P91、P114-116、P132-133、P184-187、P190-191、P302、P338、P361-363、P424-425、P429、P477-478等。个人认为，数学的学习中最重要的是对知识体系的理解，因为这样建立起了一个框架，明确了各种知识和技巧的意义，学习起来（相当于向框架里填充内容）也就会更加清晰；反之即使通过大量做题而硬记住了一些东西，甚至考试成绩也比较理想，过后也很容易迅速遗忘。同样是已经学过的学科，体系理解的和没有理解的，回忆起来的感觉也不一样。而本书对各类重难点（尤其是课堂上不详细讲授的）都进行了分析与概括，既可以帮助基础一般的同学建立框架，又可以供本来对知识有较好理解的读者比较和印证，对读者学好高代有本质上的作用。
最后说一点题外话：前段时间（16年初），复旦公布了2015年度本科教学贡献奖的评审结果，从获奖人员名单上看来，这个奖项的评审确实是公平公正、令人信服的。
13级 沈铎
我大一学习高等代数的时候，做了旧版的白皮书的大部分习题。而在大三准备全国大学生数学竞赛时，恰逢新版（第三版）的白皮书问世。在听谢启鸿教授讲解了往届数学竞赛的高代试题之后，我发现白皮书几乎囊括了每届竞赛高代试题的考点，甚至有的题目就是白皮书上例题的翻版。因此我选择将新版的白皮书作为自己复习高代准备竞赛考试的资料。不出所料的是，在2015年的全国大学生数学竞赛中，高等代数的两道题都是白皮书例题的变形，很轻松地就解决了。确实可以说，新版白皮书对于我自己复习高代、准备数学竞赛起到了关键的作用。
由谢启鸿教授主笔修订的新版白皮书，在原版白皮书的基础上，内容增加了许多。新版白皮书参考第三版高等代数学教材，对应地列出每一章的知识重点、难点，将重要的定理以及结论总结在每章的开头，方便同学们课后的复习、总结。每一章节与教材紧密结合，将一些经典的教材中的习题作为例题给出了讲解、解答，并且补充了许多高等代数中经典的问题，例如“同时对角化”问题，矩阵方程求解问题等等，不仅很好地夯实了同学们对课本基础概念的理解，强化了对定理的掌握和运用，还拓广了同学们的眼界和思维。在例题之后，还配备了难度有层次的训练题及其解答，可以让同学们在巩固知识之后通过适当的训练强化理解。
新版白皮书许多章节以解题方法为导向，对于某一类问题，详细列举出了可以采取的各类方法，并分门别类的安排了丰富的习题便于同学们巩固学习；例如行列式问题列举了递推法、提取因子法、数学归纳法、升阶法、拆分法等等，让同学们可以清晰地了解解题方法大观，在面对具体问题时灵活应用。对于同一问题，新版白皮书有时还给出了多种的解题思路，例如对于Jordan标准型的问题，几何与代数结合的思想体现地十分清晰；而对于前面章节中的问题也经常随着知识的深入可以在后面的章节看到另外一种的解答，前后呼应下可以让同学们对高代的知识有一个前后的对比巩固。
新版白皮书补充了一些趣味的拓展内容，供学有余力的同学探究，例如一般数域上的Jordan标准型、Kronecker积等，对于今后同学们在数学上的深入学习会很有帮助。
总的来说，新版白皮书可以说是高等代数学中五音繁会、气象万千的典藏，对于不同层次的代数学习都是很有帮助的参考资料，是凝聚了复旦大学数学系几代导师教学经验与思维成果的百科全书式的大作，值得广大数学学习者的一再品读！
