复旦高等代数II（19级）每周一题

本学期的高等代数每周一题活动计划从第1教学周开始，到第16教学周结束，每周的周末公布一道思考题（共16道，思考题一般与下周授课内容密切相关），供大家思考和解答。每周一题将通过“高等代数官方博客”（以博文的形式）和“高等代数在线课程19级课群”（以课群话题的形式）这两个渠道同时发布。有兴趣的同学可以将每周一题的解答写在纸上、用手机APP扫描或用手机拍照（注意清晰度，且图片像素不宜过高），并将解答图片上传到每周一题对应的课群话题中。本人会定期对每周一题的解答进行批改和评价，并将优秀解答标记出来推荐给全班同学。

[问题2020S01]  设数域 $\mathbb{K}$ 上的二元多项式 $f(x,y)$ 关于 $x$ 的次数小于等于 $n$, 关于 $y$ 的次数小于等于 $m$. 设 $\mathbb{K}$ 中存在两组互不相同的数 $a_0,a_1,\cdots,a_n$ 和 $b_0,b_1,\cdots,b_m$, 使得 $$f(a_i,b_j)=0,\,\,\,\,0\leq i\leq n,\,\,0\leq j\leq m.$$ 证明: $f(x,y)$ 是零多项式. 

[问题2020S02]  请用特征值法重新证明高代白皮书的例 5.72, 例 3.78 和例 3.80:

(1) 设 $f(x),g(x)$ 是数域 $\mathbb{K}$ 上的互素多项式, $A$ 是 $\mathbb{K}$ 上的 $n$ 阶方阵, 满足 $f(A)=0$, 证明: $g(A)$ 是非异阵.

(2) 设 $A$ 为 $n$ 阶实对称阵, $S$ 为 $n$ 阶实反对称阵, 证明: $I_n\pm S$ 和 $I_n\pm\mathrm{i}A$ 都是非异阵.

[问题2020S03]  设 $n$ 阶复方阵 $A=\begin{pmatrix} a & b & \cdots & b \\ c & a & & \\ \vdots & & \ddots & \\ c & & & a \end{pmatrix}$, 试求 $A$ 可对角化的充要条件.

[问题2020S04]  设 $A$ 为数域 $\mathbb{K}$ 上的 $n$ 阶方阵, $f(x),g(x)$ 为 $\mathbb{K}$ 上互素的多项式, 且它们在 $\mathbb{C}$ 中均无重根. 证明: 若 $r(f(A))+r(g(A))=n$, 则 $A$ 复可对角化.

[问题2020S05]  设 $n$ 阶实方阵 $A,B$ 满足: $A,B$ 的特征值都大于零, 且 $A^4+2A^3B=2AB^3+B^4$, 证明: $A=B$.

[问题2020S06]  设 $A$ 为 $n$ 阶复方阵, $f(x)\in\mathbb{C}[x]$, 证明: $A$ 可对角化的充要条件是 $\begin{pmatrix} A & f(A) \\ f(A) & A \\ \end{pmatrix}$ 可对角化.

[问题2020S07]  设 $n$ 阶实方阵 $A$ 的 $n-1$ 阶行列式因子是一个 $n-2$ 次多项式, 试求 $A$ 的不变因子组及其有理标准型.

[问题2020S08]  设 $A\in M_n(\mathbb{K})$ 的不变因子组是 $1,\cdots,1,d_1(\lambda),\cdots,d_k(\lambda)$, 其中 $d_i(\lambda)$ 是非常数首一多项式, $d_i(\lambda)\mid d_{i+1}(\lambda)\,(1\leq i\leq k-1)$, 证明: $$r(A)=n-\sum\limits_{i=1}^k\delta_{d_i(0),0},$$ 其中记号 $\delta_{a,b}$ 表示: 若 $a=b$, 取值为 1; 若 $a\neq b$, 取值为 0.

[问题2020S09]  设 $\varphi$ 是数域 $\mathbb{K}$ 上 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换, $\varphi$ 的初等因子组为 $P_1(\lambda)^{r_1},P_2(\lambda)^{r_2},\cdots,P_k(\lambda)^{r_k}$, 其中 $P_i(\lambda)$ 是 $\mathbb{K}$ 上的首一不可约多项式. 证明: 存在 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_k\in V$, 使得  $V=C(\varphi,\alpha_1)\oplus C(\varphi,\alpha_2)\oplus\cdots\oplus C(\varphi,\alpha_k)$, 其中 $C(\varphi,\alpha_i)=L(\alpha_i,\varphi(\alpha_i),\varphi^2(\alpha_i),\cdots)$ 是 $\varphi$ 关于循环向量 $\alpha_i$ 的循环子空间.

[问题2020S10]  设 $A$ 为 $3$ 阶实方阵, 试求 $C(A)=\{B\in M_3(\mathbb{R})\mid AB=BA\}$.

[问题2020S11]  设 $V$ 为 $n$ 阶复方阵全体构成的线性空间, $V$ 上的线性变换 $\varphi$ 定义为 $\varphi(X)=AX-XA'$, 其中 $A\in V$. 证明: $\varphi$ 可对角化的充要条件是 $A$ 可对角化.

[问题2020S12]  设 $A,B$ 为 $n$ 阶复方阵, 证明: $(AB)^n$ 与 $(BA)^n$ 相似.

[问题2020S13]  求 $n\,(n\geq 2)$ 阶实对称阵 $A$ 的正负惯性指数: $$A=\begin{pmatrix} a_1^2 & a_1a_2+1 & \cdots & a_1a_n+1 \\ a_2a_1+1 & a_2^2 & \cdots & a_2a_n+1 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_na_1+1 & a_na_2+1 & \cdots & a_n^2 \\ \end{pmatrix}.$$

[问题2020S14]  求下列 $n$ 元实二次型的规范标准型: $$f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=\sum_{i,j=1}^n\max\{i,j\}x_ix_j.$$

[问题2020S15]  设 $M$ 为 $n$ 阶实方阵, 若对任意的 $n$ 维实列向量 $\alpha$, 有 $\alpha'M\alpha\geq 0$, 则称 $M$ 为亚半正定阵.

(1) 证明: $n$ 阶实方阵 $M$ 是亚半正定阵 $\Leftrightarrow$ $M+M'$ 是半正定阵 $\Leftrightarrow$ $M=A+S$, 其中 $A$ 是半正定实对称阵, $S$ 是实反对称阵.

(2) 设 $A,B$ 为 $n$ 阶亚半正定阵, $c$ 为非负实数, 证明:

(2.1) $A+B$, $cA$, $A'$ 和 $A^*$ 都是亚半正定阵;

(2.2) 若 $C$ 为 $n$ 阶实方阵, 则 $C'AC$ 也是亚半正定阵;

(2.3) 若 $C$ 为 $n$ 阶亚正定阵, 则 $A+C$ 也是亚正定阵;

(2.4) $A$ 的特征值的实部都大于等于零, 特别地, $|A|\geq 0$;

(2.5) 举例说明: 非异的亚半正定阵不一定是亚正定阵.

[问题2020S16]  设 $a$ 为正实数, 证明下列 $n$ 阶实对称阵为正定阵: $$A=\begin{pmatrix} a & \dfrac{a^2}{2} & \dfrac{a^3}{3} & \cdots & \dfrac{a^n}{n} \\ \dfrac{a^2}{2} & \dfrac{a^3}{3} & \dfrac{a^4}{4} & \cdots & \dfrac{a^{n+1}}{n+1} \\ \dfrac{a^3}{3} & \dfrac{a^4}{4} & \dfrac{a^5}{5} & \cdots & \dfrac{a^{n+2}}{n+2} \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ \dfrac{a^n}{n} & \dfrac{a^{n+1}}{n+1} & \dfrac{a^{n+2}}{n+2} & \cdots & \dfrac{a^{2n-1}}{2n-1} \\ \end{pmatrix}.$$

[问题2020S17]  设 $V$ 为区间 $[-1,1]$ 上由次数不超过 $5$ 的实系数多项式构成的实线性空间, $V$ 上的内积定义为 $$(f,g)=\int^{+1}_{-1}f(x)g(x)\mathrm{d}x,$$ 试求$$\min_{f(x)\in V}\int^{+1}_{-1}(\sin\pi x-f(x))^2\mathrm{d}x.$$

[问题2020S18]  设 $Q$ 为 $n$ 阶正交阵, $1$ 不是 $Q$ 的特征值. 设 $P=I_n-2uu'$, 其中 $u$ 是单位实列向量. 证明: $1$ 是 $PQ$ 的特征值.