复旦高等代数I（19级）每周一题

本学期的高等代数每周一题活动计划从第2教学周开始，到第15教学周结束，每周的周末公布一道思考题（共14道，思考题一般与下周授课内容密切相关），供大家思考和解答。每周一题将通过“高等代数官方博客”（以博文的形式）和“高等代数在线课程19级课群”（以课群话题的形式）这两个渠道同时发布。有兴趣的同学可以将每周一题的解答写在纸上、拍成图片，并上传到每周一题对应的课群话题中。本人会定期对每周一题的解答进行批改和评价，并将优秀解答标记出来推荐给全班同学。

[问题2019A01]  请用教材第1章“行列式”中的方法求出下列 $n$ 阶行列式的值 (注意: 不能使用教材第2章“矩阵”中的“矩阵乘法”、“Cauchy-Binet公式”和“降阶公式”等方法):

(1) $|A|=\begin{vmatrix} 2a_1 & a_1+a_2 & \cdots & a_1+a_n \\  a_2+a_1 & 2a_2 & \cdots & a_2+a_n \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_n+a_1 & a_n+a_2 & \cdots & 2a_n \\ \end{vmatrix}$,

(2) $|B|=\begin{vmatrix} 0 & a_1+a_2 & \cdots & a_1+a_n \\  a_2+a_1 & 0 & \cdots & a_2+a_n \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_n+a_1 & a_n+a_2 & \cdots & 0 \\ \end{vmatrix}$.

[问题2019A02]  设 2019 阶行列式 $$|A|=\begin{vmatrix} 1 & x_1 & x_1^2 & \cdots & x_1^{2018} \\ 1 & x_2 & x_2^2 & \cdots & x_2^{2018} \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ 1 & x_{2019} & x_{2019}^2 & \cdots & x_{2019}^{2018} \\ \end{vmatrix}.$$ 设 $|A|$ 的代数余子式分别为 $A_{ij}\,(1\leq i,j\leq 2019)$, 试求 $\sum\limits_{i,j=1}^{2019}(x_i^{2019}+j^{70})A_{ij}$.

[问题2019A03]  有限集合 $T$ 到自身上的一个双射 (即既单又满的映射) 称为 $T$ 上的一个置换 (Permutation), 集合 $S=\{1,2,\dots,n\}$ 的全体置换构成的集合记为 $S_n$. 对任一 $\sigma\in S_n$, $(\sigma(1),\sigma(2),\dots,\sigma(n))$ 是 $S$ 的一个全排列; 反之, 对 $S$ 的任一全排列 $(k_1,k_2,\dots,k_n)$, 定义 $\sigma(i)=k_i\,(\forall\,1\leq i\leq n)$, 则 $\sigma$ 是 $S$ 的一个置换. 因此, 我们可以把 $S$ 的置换和全排列等同起来.

设 $\sigma,\tau\in S_n$, $\tau$ 与 $\sigma$ 的乘积 $\tau\sigma$ 定义为 $\tau\sigma(i)=\tau(\sigma(i))\,(\forall\,1\leq i\leq n)$ (其实就是映射的复合), 容易验证 $\tau\sigma\in S_n$ 且乘法满足结合律. 设 $e:S\to S$ 为恒等映射, 即 $e(i)=i\,(\forall\,1\leq i\leq n)$, 则 $e\in S_n$. 因为 $\sigma:S\to S$ 是双射, 所以其逆映射 $\sigma^{-1}:S\to S$ 也是双射, 即 $\sigma^{-1}\in S_n$, 并且满足 $\sigma^{-1}\sigma=\sigma\sigma^{-1}=e$ (以上事实说明: $n$ 阶置换全体 $S_n$ 构成一个群, 称为 $n$ 阶对称群).

设 $e_1,e_2,\dots,e_n$ 是 $n$ 维标准单位列向量 (定义见高代教材第 109 页复习题 1), $\sigma\in S_n$, 定义矩阵 $$P_\sigma=(e_{\sigma(1)},e_{\sigma(2)},\dots,e_{\sigma(n)}),$$ 称为相伴于置换 $\sigma$ 的 $n$ 阶置换矩阵. 置换矩阵的等价定义是: $n$ 阶方阵 $P$ 的每行每列只有一个元素非零, 并且那些非零元素都等于 1. 设 $A$ 为 $n$ 阶方阵, $\sigma,\tau\in S_n$, 试证明以下结论 (第 3 小问说明: $n$ 阶置换矩阵全体 $\mathcal{P}_n$ 构成一个群, 它是 $n$ 阶正交群 $O(n)$ 的子群, 并且 $P:S_n\to\mathcal{P}_n$, $\sigma\mapsto P_\sigma$, 是一个群同构):

(1) 第一类初等矩阵 $P_{ij}$ (定义见高代教材第 84 页), 基础循环矩阵 $J$ (定义见高代白皮书第 56 页的例 2.1) 和反单位阵 (定义见高代教材第 323 页第 5 行最右端的矩阵) 都是置换矩阵.

(2) $|P_\sigma|=(-1)^{N(\sigma)}$, 其中 $N(\sigma)$ 是 $\sigma$ 作为全排列的逆序数.

(3) $P_{\tau\sigma}=P_\tau P_\sigma$, $P_e=I_n$, $P_{\sigma^{-1}}=P_\sigma^{-1}=P_\sigma'$.

(4) $AP_\sigma$ 的列向量是 $A$ 的列向量的一个置换, 即 $AP_\sigma$ 的第 $i$ 列是 $A$ 的第 $\sigma(i)$ 列; $P_\sigma'A$ 的行向量是 $A$ 的行向量的一个置换, 即 $P_\sigma'A$ 的第 $i$ 行是 $A$ 的第 $\sigma(i)$ 行.

[问题2019A04]  试求

(1) 与全体循环矩阵 (定义见高代白皮书第 59 页的例 2.12) 都乘法可交换的所有的 $n$ 阶方阵.

(2) 与全体置换矩阵 $\{P_\sigma,\,\sigma\in S_n\}$ 都乘法可交换的所有的 $n$ 阶方阵.

[问题2019A05]  求下列 $n$ 阶方阵的行列式 (第四行的 $\cdots$ 表示平移, 其余空白处元素都为零): 

$$\begin{pmatrix} a^2\!+\!bc & 2ab & b^2 & & & & & & & & \\ 2ac & a^2\!+\!2bc & 2ab & b^2 & & & & & & & \\ c^2 & 2ac & a^2\!+\!2bc & 2ab & b^2 & & & & & & \\ & & & & & \cdots & & & & & \\ & & & & & & c^2 & 2ac & a^2\!+\!2bc & 2ab & b^2 \\  & & & & & & & c^2 & 2ac & a^2\!+\!2bc & 2ab \\ & & & & & & & & c^2 & 2ac & a^2\!+\!bc \\ \end{pmatrix}.$$

[问题2019A06]  证明: $n$ 阶非异阵 $A$ 仅通过第三类初等行变换就可变为 $\mathrm{diag}\{1,\cdots,1,|A|\}$.

注  本题是白皮书例 2.34 的推广.

[问题2019A07]  设循环矩阵 $$A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & \cdots & n \\ n & 1 & 2 & \cdots & n-1 \\ n-1 & n & 1 & \cdots & n-2 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ 2 & 3 & 4 & \cdots & 1 \\ \end{pmatrix}.$$

(1) 请用白皮书例 2.52 的结论计算 $|A|$, 并与白皮书例 1.21 (行列式求和法) 的结果进行比较.

(2) 设 $A_{ij}$ 是 $A$ 的第 $(i,j)$ 元素的代数余子式, 求 $\sum\limits_{i,j=1}^nA_{ij}$.

[问题2019A08]  (1) 请用摄动法和初等变换法证明: $n$ 阶上三角阵 $A$ 的伴随阵 $A^*$ 也是上三角阵.

(2) 请用复旦高代教材第 130 页的习题 7 证明第 131 页的命题 3.5.1: 若向量组 $S$ 至少包含一个非零向量, 则 $S$ 必存在极大无关组.

(3) 请用形式行向量和相抵标准型理论证明复旦高代教材第 131 页的引理 3.5.1.

[问题2019A09]  设 $A$ 为数域 $K$ 上的 2 阶方阵, 试求 $C(A)=\{X\in M_2(K)\mid AX=XA\}$.

提示  对任意的 $\alpha\in K^2$, 考虑 $A\alpha$ 与 $\alpha$ 之间的线性关系.

[问题2019A10]  求下列数域 $K$ 上线性空间 $V_1,V_2,V_3$ 的维数和一组基 (表示为基础矩阵的线性组合):

(1) $V_1=\{X\in M_{2n}(K)\mid X'J+JX=0\}$, 其中 $J=\begin{pmatrix} 0 & I_n \\ -I_n & 0 \\ \end{pmatrix}$;

(2) $V_2=\{X\in M_{2n+1}(K)\mid X'M+MX=0\}$, 其中 $M=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & I_n \\ 0 & I_n & 0 \\ \end{pmatrix}$;

(3) $V_3=\{X\in M_{2n}(K)\mid X'N+NX=0\}$, 其中 $N=\begin{pmatrix} 0 & I_n \\ I_n & 0 \\ \end{pmatrix}$.

[问题2019A11]  设 $A$ 为 $n\,(n\geq 3)$ 阶可逆实对称阵, 且 $A$ 的所有 $n-1$ 阶主子式都是零. 证明: $A$ 必有一个非零的 $n-2$ 阶主子式, 且所有非零的 $n-2$ 阶主子式都与 $|A|$ 反号.

[问题2019A12]  设 $A,B$ 均为数域 $K$ 上的 $m\times n$ 阶矩阵, 线性映射 $\varphi:M_{n\times m}(K)\to M_{m\times n}(K)$ 定义为 $\varphi(X)=AXB$.

(1) 证明: 若 $m\neq n$, 则 $\varphi$ 不是线性同构;

(2) 试求 $\mathrm{Ker}\varphi$ 的维数和一组基.

[问题2019A13]  (1) 设 $V$ 是数域 $K$ 上的 $n$ 维线性空间, $f:V\to K$ 是线性函数, $0\neq v\in V$. 定义映射 $\varphi_{f,v}:V\to V$ 为 $\varphi_{f,v}(\alpha)=\alpha+f(\alpha)\cdot v$, 证明: $\varphi_{f,v}$ 是 $V$ 上的线性变换 (称为初等线性变换).

(2) 设 $\varphi$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换, 证明: $\varphi$ 是可逆初等线性变换的充要条件是 $\varphi$ 在 $V$ 的某组基下的表示矩阵是初等阵.

[问题2019A14]  设 $A$ 为数域 $K$ 上的 $n$ 阶方阵, 满足 $\mathrm{tr}(A)=0$, 证明: $A$ 相似于一个主对角元全为 0 的矩阵.

提示  对任意的 $\alpha\in K^n$, 考虑 $A\alpha$ 与 $\alpha$ 之间的线性关系, 并对阶数进行归纳.