复旦大学2018--2019学年第二学期（18级）高等代数II期末考试第七大题解答

七、(本题10分)  证明: 存在 $71$ 阶实方阵 $A$, 使得 $$A^{70}+A^{69}+\cdots+A+I_{71}=\begin{pmatrix} 2019 & 2018 & \cdots & \cdots & 1949 \\ & 2019 & 2018 & \cdots & 1950 \\ & & 2019 & \cdots & 1951 \\ & & \qquad\ddots & \qquad\ddots & \vdots \\ & & & \,\,\,\,\ddots & 2018 \\ & & & & 2019 \\ \end{pmatrix}.$$

证明  记 $f(x)=x^{70}+x^{69}+\cdots+x+1$, 上述等式右边的矩阵为 $B$. 注意到 $f(1)<2019$ 和 $f(2)>2019$, 故由连续函数的性质可知, $f(x)=2019$ 在开区间 $(1,2)$ 中必有一实根 $\lambda_0$. 将 Jordan 块 $J_{71}(\lambda_0)$ 代入 $f(x)$ 中, 经计算可得 $$f(J_{71}(\lambda_0))=\begin{pmatrix} f(\lambda_0) & f'(\lambda_0) & \cdots & \cdots & \dfrac{1}{70!}f^{(70)}(\lambda_0) \\ & f(\lambda_0) & f'(\lambda_0) & \cdots & \vdots \\ & & f(\lambda_0) & \cdots & \vdots \\ & & \qquad\ddots & \qquad\ddots & \vdots \\ & & & \,\,\,\,\ddots & f'(\lambda_0) \\ & & & & f(\lambda_0) \\ \end{pmatrix},$$ 这是一个上三角阵, 主对角元全为 $f(\lambda_0)=2019$, 上次对角元全为 $f'(\lambda_0)>0$, 从而 $f(J_{71}(\lambda_0))$ 的特征值全为 $2019$, 其几何重数为 $71-r(f(J_{71}(\lambda_0))-2019I_{71})=1$. 因此, $f(J_{71}(\lambda_0))$ 的 Jordan 标准型中只有一个 Jordan 块 $J_{71}(2019)$, 即 $f(J_{71}(\lambda_0))$ 相似于 $J_{71}(2019)$.

另一方面, 矩阵 $B$ 也是一个上三角阵, 主对角元全为 $2019$, 上次对角元全为 $2018$, 从而 $B$ 的特征值全为 $2019$, 其几何重数为 $71-r(B-2019I_{71})=1$. 因此, $B$ 的 Jordan 标准型中只有一个 Jordan 块 $J_{71}(2019)$, 即 $B$ 也相似于 $J_{71}(2019)$.

由于矩阵的相似在基域扩张下不改变 (参考高代教材推论 7.6.5), 故 $f(J_{71}(\lambda_0))$ 和 $B$ 在实数域上相似, 即存在非异实矩阵 $P$, 使得 $B=P^{-1}f(J_{71}(\lambda_0))P=f(P^{-1}J_{71}(\lambda_0)P)$. 令 $A=P^{-1}J_{71}(\lambda_0)P$, 则 $A$ 是实矩阵, 并满足 $f(A)=B$.  $\Box$

注 1  本题是祖国 70 华诞献礼题. 祝愿我们伟大的祖国繁荣昌盛、蒸蒸日上!

注 2  本题完全做出 (得分在8分以上) 的同学为: 丁思成, 周烁星, 顾文颢, 封清, 张思哲, 叶雨阳, 黄泽松, 邬正千, 王捷翔 (17级), 邹年轶 (17级), 林洁 (17级), 张舒益 (17级), 陈钦品 (17级), 吴彦桥 (17级), 刘天航 (17级), 陈柯屿 (17级), 王祝斌 (17级).