复旦高等代数II（18级）每周一题
本学期将继续进行高等代数每周一题的活动。计划从第一教学周开始，到第十五教学周结束，每周的周末公布一道思考题（共15道），供大家思考和解答。每周一题将通过“高等代数官方博客”（以博文的形式）和“高等代数在线课程18级课群”（以课群话题的形式）这两个渠道同时发布。有兴趣的同学可以将每周一题的解答写在纸上、拍成图片，并上传到每周一题对应的课群话题中。本人会对每周一题的解答进行批改和评价，并将优秀解答标记出来推荐给全班同学。
[问题2019S01] 设 $A$ 为 $n$ 阶复方阵, 满足 $(A')^m=A^k$, 其中 $m,k$ 是互异的正整数. 证明: $A$ 的特征值为 $0$ 或单位根.
[问题2019S02] 设 $V$ 为二维实线性空间, $\varphi,\psi$ 是 $V$ 上两个非零线性变换, 满足 $\varphi\psi+\psi\varphi=0$. 证明: 若 $V$ 只有平凡的 $\varphi-$不变子空间, 则 $V$ 必有非平凡的 $\psi-$不变子空间.
[问题2019S03] 设 $n\,(n\geq 2)$ 阶方阵 $A=\begin{pmatrix} 0 & a & a & \cdots & a & a \\ b & 0 & a & \cdots & a & a \\ b & b & 0 & \cdots & a & a \\ b & b & b & \cdots & 0 & a \\ b & b & b & \cdots & b & 0 \\ \end{pmatrix}$, 其中 $a,b$ 是复数. 试求 $A$ 可对角化的充要条件.
[问题2019S04] 设 $A,B$ 为 $n$ 阶方阵, 满足: $A^2-2AB+B^2=0$.
(1) 若 $n=2$, 证明: $AB=BA$;
(2) 若 $n\geq 3$, 举例说明: $AB=BA$ 不一定成立.
[问题2019S05] 设 $A$ 为数域 $K$ 上的 $n$ 阶方阵或具有相同行列分块方式的分块矩阵.
(1) 证明: 以下三种变换都是相似变换, 称为相似初等变换:
(1.1) 对换 $A$ 的第 $i$ 行与第 $j$ 行, 再对换第 $i$ 列与第 $j$ 列;
(1.2) $A$ 的第 $i$ 行乘以非零常数 $c\in K$, 第 $i$ 列乘以 $c^{-1}$;
(1.3) $A$ 的第 $i$ 行乘以常数 $c\in K$ 加到第 $j$ 行上, 第 $j$ 列乘以 $-c$ 加到第 $i$ 列上.
(2) 证明: 任一相似变换都是若干次相似初等变换的复合.
(3) 证明: 以下三种变换都是相似变换, 称为相似分块初等变换:
(3.1) 对换 $A$ 的第 $i$ 分块行与第 $j$ 分块行, 再对换第 $i$ 分块列与第 $j$ 分块列;
(3.2) $A$ 的第 $i$ 分块行左乘非异阵 $M$, 第 $i$ 分块列右乘 $M^{-1}$;
(3.3) $A$ 的第 $i$ 分块行左乘矩阵 $M$ 加到第 $j$ 分块行上, 第 $j$ 分块列右乘 $-M$ 加到第 $i$ 分块列上.
[问题2019S06] 设 $A\in M_n(K)$, $B\in M_{n\times m}(K)$, 分块矩阵 $(B,AB,\cdots,A^{n-2}B,A^{n-1}B)$ 的秩为 $r$. 证明: 存在可逆阵 $P\in M_n(K)$, 使得 $$P^{-1}AP=\begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} \\ 0 & A_{22} \\ \end{pmatrix},\,\,\,\,P^{-1}B=\begin{pmatrix} B_1 \\ 0 \\ \end{pmatrix},$$ 其中 $A_{11}\in M_r(K)$, $B_1\in M_{r\times m}(K)$.
[问题2019S07] 设 $A,B,C$ 是 $n$ 阶复矩阵, 满足: $C=AB-BA$, $AC=CA$, $BC=CB$.
(1) 请用 Jordan 标准型理论证明: $C$ 的特征值全为零;
(2) 设 $m_A(\lambda),m_B(\lambda)$ 分别是 $A,B$ 的极小多项式, $k=\min\{\deg m_A(\lambda),\deg m_B(\lambda),n-1\}$, 证明: $C^k=0$.
[问题2019S08] 设 $n$ 阶复矩阵 $A$ 满足: 对任意的正整数 $k$, $\mathrm{tr}(A^k)=r(A)$, 证明: 对任意的正整数 $k$, $A$ 与 $A^k$ 都相似.
[问题2019S09] 设 $A$ 为 $n$ 阶复方阵, $\theta_0$ 是 $\cos x=x$ 在 $(0,\dfrac{\pi}{2})$ 中的唯一解. 证明: 若 $A$ 的特征值全为 $\theta_0$, 则 $A$ 相似于 $\cos A$.
[问题2019S10] 设 $A=(a_{ij})$ 为 $n$ 阶实对称阵, 证明: $A$ 为半正定阵的充要条件是对任意的 $n$ 阶半正定实对称阵 $B=(b_{ij})$, 都有 $\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^na_{ij}b_{ij}\geq 0$ 成立.
[问题2019S11] 设 $a_1,a_2,\cdots,a_n$ 是 $n$ 个互异的正实数, $t$ 为正实数, $n$ 阶方阵 $A=(a_{ij})$, 其中 $a_{ij}=(a_i+a_j)^{-t}$, 证明: $A$ 为正定阵.
注 白皮书例 8.27 是一道典型的正定阵判定的例题, 可以通过 Cauchy 行列式和构造积分内积两种方法来证明 (参考白皮书 P392 和 P427). 白皮书第八章解答题 13 是例 8.27 的一种推广, 例 8.27 的另一种推广是 16 级高代 II 每周一题 [问题2017S14], 而本题是融合上述两种推广的进一步推广.
[问题2019S12] 设 $V$ 为区间 $[-1,1]$ 上由次数不超过 $5$ 的实系数多项式构成的实线性空间, $V$ 上的内积定义为 $$(f,g)=\int^{+1}_{-1}f(x)g(x)\mathrm{d}x,$$ 试求 $$\min_{f(x)\in V}\int^{+1}_{-1}(e^x-f(x))^2\mathrm{d}x.$$
[问题2019S13] 设 $A,B,C$ 为 $n$ 阶实对称阵, 请用实对称阵的正交相似标准型理论证明: $$\mathrm{tr}\big((ABC)^2\big)\leq\mathrm{tr}(A^2BC^2B),$$ 并求等号成立的充要条件.
[问题2019S14] 设 $A,B$ 为 $n$ 阶正定实对称阵, 证明: $$\dfrac{2^{n+1}}{|A+B|}\leq\dfrac{1}{|A|}+\dfrac{1}{|B|},$$ 且等号成立的充要条件为 $A=B$.
[问题2019S15] 设 $V$ 是 $n$ 维欧氏空间, 向量组 $\{\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m\}$ 满足如下条件: 若存在非负实数 $\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_m$, 使得 $\lambda_1\alpha_1+\lambda_2\alpha_2+\cdots+\lambda_m\alpha_m=0$, 则必有 $\lambda_1=\lambda_2=\cdots=\lambda_m=0$. 证明: 必存在向量 $\alpha\in V$, 使得 $(\alpha,\alpha_i)>0\,\,(i=1,2,\cdots,m)$.
