复旦大学2018--2019学年第一学期（18级）高等代数I期末考试第八大题解答

八、(本题10分)  设 $A,B$ 为 $n$ 阶实方阵, 使得 $A'B$ 是反对称阵. 证明: $$r(A'B)\leq r(A)+r(B)-r(A+B),$$ 并确定等号成立的充要条件.

证明  我们提供以下两种证法.

几何证法  记 $V_A\subseteq\mathbb{R}^n$ 为线性方程组 $Ax=0$ 的解空间, $V_B,V_{A+B},V_{A'B}$ 的意义相同. 由 $A'B$ 是反对称阵可得 $A'B+B'A=0$, 从而 $(A+B)'(A+B)=A'A+B'B$. 对任一 $\alpha\in V_{A+B}$, 即 $(A+B)\alpha=0$, 我们有 $$0=\alpha'(A+B)'(A+B)\alpha=\alpha'A'A\alpha+\alpha'B'B\alpha.$$ 注意到 $\alpha'A'A\alpha=(A\alpha)'(A\alpha)$ 是实列向量 $A\alpha$ 的所有分量的平方和, 它大于等于 $0$, 且等于 $0$ 当且仅当 $A\alpha=0$, 因此由上式可知 $A\alpha=B\alpha=0$, 即 $\alpha\in V_A\cap V_B$, 从而 $V_{A+B}\subseteq V_A\cap V_B$. 另一方面, 显然有 $V_A\cap V_B\subseteq V_{A+B}$, 于是 $V_{A+B}=V_A\cap V_B$. 对任意的 $\alpha\in V_B$, 显然有 $A'B\alpha=0$, 从而 $\alpha\in V_{A'B}$, 即有 $V_B\subseteq V_{A'B}$. 由于 $A'B=-B'A$, 故对任意的 $\alpha\in V_A$, $A'B\alpha=-B'A\alpha=0$, 从而 $\alpha\in V_{A'B}$, 即有 $V_A\subseteq V_{A'B}$, 于是 $V_A+V_B\subseteq V_{A'B}$. 因此 $$n-r(A'B)=\dim V_{A'B}\geq \dim(V_A+V_B)=\dim V_A+\dim V_B-\dim(V_A\cap V_B)$$$$=\dim V_A+\dim V_B-\dim V_{A+B}=n-r(A)+n-r(B)-(n-r(A+B)),$$ 由此即得 $r(A'B)\leq r(A)+r(B)-r(A+B)$, 等号成立当且仅当 $V_{A'B}=V_A+V_B$.

代数证法  考虑如下分块矩阵的乘法: $$\begin{pmatrix} I_n & I_n \\ 0 & I_n \\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} A' & 0 \\ 0 & B' \\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} I_n & B \\ I_n & A \\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} (A+B)' & 0 \\ B' & -A'B \\ \end{pmatrix}.$$ 由矩阵秩的基本等式和不等式可知 $$r(A)+r(B)=r\begin{pmatrix} A' & 0 \\ 0 & B' \\ \end{pmatrix}\geq r\begin{pmatrix} (A+B)' & 0 \\ B' & -A'B \\ \end{pmatrix}\geq r(A+B)+r(A'B),$$ 这就是要证的不等式.  $\Box$

注  (1) 本题的两种证法与高代白皮书例 3.71 的代数证法和几何证法完全类似, 本题也和 16 级高代 I 期末考试第七大题有着密切的联系. 在本题的代数证法中, 给出等号成立的充要条件比较复杂，远没有几何证法给出的那么简单直接, 具体如何给出, 形式如何, 有兴趣的同学可以参考 15 级高代 I 期末考试第七大题和 16 级高代 I 每周一题第 13 题.

(2)  本题做对 (得分 7 分以上) 的同学共有 18人, 名单如下:

几何证法: 王捷翔 (8'), 宋雨芙 (7'), 封清 (9'), 谢永乐 (8'), 周子翔 (8'), 丁思成 (7'), 刘一川 (8'), 周烁星 (10');

代数证法: 邹年轶 (7'), 唐逸扬 (7'), 赵界清 (7'), 叶雨阳 (7'), 郑文琛 (7'), 陈宇杰 (8'), 黄泽松 (7'), 张思哲 (7'), 张哲维 (7'), 刘羽 (7').

(3)  本题还可以改编成如下形式:  

1、设 $A,B$ 为 $n$ 阶实方阵, 使得 $A'B$ 是非零反对称阵. 证明: $r(A)+r(B)-r(A+B)\geq 2$.

2、设 $A,B$ 为 $n$ 阶实方阵, 使得 $A'B$ 是反对称阵, 且满足 $r(A)+r(B)-r(A+B)=1$, 证明: $A'B=0$.