[NOIP2012]疫情控制

• 洛谷
• LOJ（加强版）

你为什么要读这篇文章（本文涉及的内容）：本题（包括增强版）的算法的详细描述与贪心的正确性证明。

解答

2020-03-12 edit：

偶然翻到这篇博文，感觉自己写的题解是真的太毒瘤了……连我自己都看不懂自己写了啥。

做了一点修改与补充，enjoy！

二分答案+贪心。

约定

下文中，我们：

• 用\(d(u,v)\)表示在树上\(u\)和\(v\)两点之间的距离，
• 用\(tree(u)\)表示\(u\)的子树内的所有节点的集合，
• 用\(son(u)\)表示\(u\)的所有儿子节点的集合，
• 用\(leaf(u)\subseteq tree(u)\)表示\(tree(u)\)中的所有叶子节点。

初步

考虑\(leaf(u)\)被控制的充分必要条件：

• 存在军队\(x\)是\(u\)的祖先，或
• 对于每一个\(v\in son(u)\)，\(leaf(v)\)都已经被控制。

为了简化问题，我们先考虑在二分到\(mid\)时，哪些军队的位置是固定的。

显然，对于那些“不能到达根节点”，即\(d(x,1)>mid\)的军队\(x\)，尽量向上移动是最优的。

那么，可以用倍增在\(O(\log n)\)时间内处理出这些军队的最终位置，可以通过 DFS 求出根的哪些儿子的子树（的叶节点）没有被（完全）控制，设其集合为\(S_1\subseteq son(1)\)。（显然，其他节点都部署在根的儿子上)

贪心

之后，就是考虑能够到达根\(1\)的节点如何部署的问题了。由于离根越远的儿子越难满足，根据贪心的原则，优先考虑离根最远的儿子\(u\)：

1. 如果\(u\)的子树内有可以到达\(u\)的军队，取距根最远的（可部署的）\(x\)部署。
2. 否则（或者该子树内所有军队均已被部署），取到\(1\)最近的军队\(x\)部署。

一个实现上的优化：若\(u\)的子树内可以到达\(u\)且离\(u\)最远的军队已经被部署，则\(u\)的子树内已经没有未被部署的军队（因为总是由近到远选择军队部署），直接转到2即可。

正确性

若某个可行解里\(x\)部署到了\(v\in S_1,v\ne u\)上（或者没有部署，此时正确性是显然的），考虑该解中，部署在\(u\)的军队\(x'\)，则其可以与\(x\)交换部署的位置。我们来证明这一点。

有假设，显然有\(d(x',u)\le mid,d(x,v)\le mid\)。此外，\(x\)一定可以部署到\(u\)上，有\(d(x,u)\le mid\)。

故我们只需要说明\(x'\)可以部署在\(v\)上，即\(d(x',v)\le mid\)即可。我们来分情况说明这一点：

以下的证明为了不把行内公式写得太长，跳过了一些步骤。

具体证明最多只需用到\(d(x,y)\le d(x,z)+d(z,w)\)，就作为留给读者的练习了~

1. 若\(x\)在\(u\)子树内：此时\(d(x,v)=d(x,u)+d(u,v)\)
   1. 若\(x'\)在\(u\)子树内：
      • 此时\(d(x',v)=d(x',u)+d(u,v)\)。
      • 则由\(x\)的距离\(1\)的最远性，有\(d(x',v)\le d(x,v)\le mid\)。
      • 故\(x'\)能部署在\(v\)上。
   2. 否则，\(x'\)不在\(u\)子树内：
      • 则由\(u\)距离\(1\)的最远性，有\(d(u,1)\ge d(v,1)\)。
      • 可得到\(d(x',v)\le d(x',u)\le mid\)。
      • 故\(x'\)能部署在\(v\)上。
2. 若\(x\)不是\(u\)子树内的节点：显然此时\(x'\)不可能在\(u\)子树内。
   • 则由1.2的证明方法，可得\(d(x',v)\le d(x',u)\le mid\)。

那么（基本上只需要按照上面的描述）直接写就可以了。（注意细节……这题毕竟是个紫题……）

LOJ上的加强版

加强版的数据要求算法复杂度只能一个\(\log\)，怎么办？

显然，二分答案这一步是没办法去掉的……只能尝试把判断可行性优化到\(O(n)\)。

注意到在\(mid\)时间内处理出（不）可以到\(1\)的军队是简单的：预先处理出所有\(d(x,1)\)并排序，则答案为一个它的一个前缀。

考虑不倍增怎么求\(1\)的“哪些\(u\in son(v)\)的子树被控制”。换句话说，对于一个节点\(u\in son(1)\)，我们需要知道：

1. 它的（所有）子树是否全部被（完全）控制。
2. 有没有一个军队可以到\(u\)（的祖先），即是否存在\(x\)满足\(d(x,1)>mid,d(x,u)\le mid\)。

标记那些\(d(x,1)>mid\)的军队\(x\)（在树上的位置），在 DFS 到\(u\)时显然可以所有\(v\in son(u)\)的子树是否被控制，以及节点\(u\)距离最近的\(x\in tree(u)\)的距离，判断是否有\(d(x,u)\le mid\)即可。

LOJ最短代码 （写文章时）