leetcode-背包问题

目录

• 问题描述
• 示例
• 动态规划
  • 状态和选择
  • 动态规划框架
  • 明确dp含义
  • 根据选择，状态转移
  • 代码实现
• 参考

 

---

问题描述

给你一个装载重量为 W 的背包和 N 个物品，每个物品有重量和价值两个属性。其中第 i 个物品的重量为 $wt[i]$，价值为 $val[i]$，现在让你用这个背包装物品，最多能装的价值是多少？

示例

 N = 3, W = 4
 wt = [2, 1, 3]
 val = [4, 2, 3]

返回6，选择前两件物品，总重量小于W，可获得最大价值6.

动态规划

状态和选择

状态有两个，就是「背包的容量」和「可选择的物品」。
对于每件物品，你能选择什么？选择就是「装进背包」或者「不装进背包」

动态规划框架

for 状态1 in 状态1的所有取值：
    for 状态2 in 状态2的所有取值：
        for ...
 
            dp[状态1][状态2][... = 择优(选择1，选择2...)

明确dp含义

首先看看刚才找到的「状态」，有两个，也就是说我们需要一个二维 dp 数组。
dp[i][w]定义：对于前 i 个物品，当前背包的容量为 w，这种情况下可以装的最大价值是 dp[i][w]

比如说，如果 dp[3][5] = 6，其含义为：对于给定的一系列物品中，若只对前 3 个物品进行选择，当背包容量为 5 时，最多可以装下的价值为 6。

根据选择，状态转移

如果没有把这第 i 个物品装入背包，那么很显然，最大价值 $dp[i][w] = dp[i-1][w]$，继承之前的结果。

如果把这第 i 个物品装入了背包，那么 $dp[i][w] = dp[i-1][w - wt[i-1]] + val[i-1]$.
若装了第 i 个物品，就要寻求剩余重量 $w-wt[i-1]$ 限制下的最大价值，加上第 i 个物品的价值 $val[i-1]$

代码实现

def backpack(W:int, N:int,wt: List[int], val: List[int]):
    # dp[i][j]对于前i个物品，背包容量为j，所装的价值是dp[i][j]
 
    dp = [[0]*(W+1) for _ in range(N+1)]
    
    for i in range(1,N+1):
        for j in range(1,W+1):
 
            # 若不选择第i个物品
            if j<wt[i-1]:
                dp[i][j] = dp[i-1][j]
            
			# 若选择第i个物品
            else:
                dp[i][j] = max(dp[i-1][j-wt[i-1]]+val[i-1],dp[i-1][j])
 
    return dp[N][W] 

参考

• https://labuladong.gitee.io/algo/3/26/84/