矩阵分解

矩阵分解-Basic MF

Basic MF是最基础的分解方式，将评分矩阵R分解为用户矩阵U和项目矩阵S， 通过不断的迭代训练使得U和S的乘积越来越接近真实矩阵，矩阵分解过程如图：

目标函数

预测值与真实值之间的差。采用梯度下降的方式迭代计算U和S，它们收敛时就是分解出来的矩阵。我们用损失函数来表示误差（等价于目标函数）：

\[\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}(R_{ij}-U^T_iS_j)^2 \]

上式中\(R_{ij}\)为评分矩阵中已知的打分值，\(U_i\)和\(S_j\)是未知变量，为了求上述公式的最小值，相当于求关于U和S二元函数的最小值(极小值)，采用梯度下降方法：

梯度下降

\[U_i = U_i - \eta\frac{\partial{L}}{\partial{U_i}} \\ S_j = S_j - \eta\frac{\partial{L}}{\partial{S_j}} \\ \]

正则化矩阵分解-Regularized MF

正则化矩阵分解是Basic MF的优化，解决MF造成的过拟合问题。其不是直接最小化损失函数，而是在损失函数基础上增加规范化因子，将整体作为损失函数。

红线表示正则化因子，在求解U和S时，仍然采用梯度下降法，此时迭代公式变为：

其中，