薛定谔方程

目录

• 一维简谐波
  • 复指数形式
• 波函数
• 物质波
• 薛定谔方程推导
  • 波函数求偏导
  • 哈密顿算符
• 波函数物理意义
  • 概率诠释
  • 电子几率波

 

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薛定谔方程

一维简谐波

对于最简单的一维简谐波，方程如下：

$$y = Acos(kx-wt)$$

我们可以这么理解，在$t=t_0$时刻，波的形状为$y=Acos(kx-wt_0)$,
在$x=x_0$的位置，波幅按$y=Acos(kx_0-wt)$规律变化。

复指数形式

$$y = Ae^{i(kx-wt)}$$

波函数

由于实物粒子具有波动性，那么必存在一个波动方程，考虑其最简单的形式，即：

物质波

德布罗意认为物质是一种波，其波长满足公式:$\lambda = \frac{h}{p}$，又有质能关系，可得：

$$\begin{aligned} &E=h v=\frac{h}{2 \pi} 2 \pi \nu=\hbar \omega \\ &\vec{p}=\frac{h}{\lambda}=\frac{h}{2 \pi} \frac{2 \pi}{\lambda}=\hbar \vec{k} \end{aligned}$$

其中，$\hbar$称为约化普朗克常数，$\hbar = \frac {h}{2\pi}$, $\vec k$被称为波数,$k = \frac {2\pi} \lambda$。

薛定谔方程推导

波函数求偏导

由于能量$E$为动能和势能之和，以及动量公式：

代入得：

哈密顿算符

$$\hat{H}=-\frac{\hbar^{2}}{2 m} \frac{\partial^{2}}{\partial \vec{r}^{2}}+U(\vec{r}, t)=-\frac{\hbar^{2}}{2 m} \nabla^{2}+U(\vec{r}, t)$$

其中，$\nabla$称为拉普拉斯算符

波函数物理意义

波函数——是空间和时间的复函数，满足薛定谔方程，即处在具体微观条件下，可由相应的薛定谔方程解出。而波函数所表示的波，也被称为概率波、或几率波.

概率诠释

波恩认为，波函数$Ψ$并非是电子波，而是描述电子在空间分布的几率波，没有物理实在性，也就是波函数本身没有物理意义。
波函数的模的平方，代表了电子在某个时刻，某个地点出现的概率是多少

电子几率波

由于波函数随时间和空间的演化满足薛定谔方程，所以当我们知道了一个电子的初态$ψ(r,0)$, 也就是0时刻的电子波函数状态，那么以后每个时刻的波函数$𝜓(r,t)$, 都能从薛定谔方程中求解出来。