薛定谔方程
薛定谔方程
一维简谐波
对于最简单的一维简谐波，方程如下：
\[ y = Acos(kx-wt)
\]
我们可以这么理解，在\(t=t_0\)时刻，波的形状为\(y=Acos(kx-wt_0)\),
在\(x=x_0\)的位置，波幅按\(y=Acos(kx_0-wt)\)规律变化。
复指数形式
\[y = Ae^{i(kx-wt)}
\]
波函数
由于实物粒子具有波动性，那么必存在一个波动方程，考虑其最简单的形式，即：
物质波
德布罗意认为物质是一种波，其波长满足公式:\(\lambda = \frac{h}{p}\)，又有质能关系，可得：
\[\begin{aligned}
&E=h v=\frac{h}{2 \pi} 2 \pi \nu=\hbar \omega \\
&\vec{p}=\frac{h}{\lambda}=\frac{h}{2 \pi} \frac{2 \pi}{\lambda}=\hbar \vec{k}
\end{aligned}
\]
其中，\(\hbar\)称为约化普朗克常数，\(\hbar = \frac {h}{2\pi}\), \(\vec k\)被称为波数,\(k = \frac {2\pi} \lambda\)。
薛定谔方程推导
波函数求偏导
由于能量\(E\)为动能和势能之和，以及动量公式：
哈密顿算符
\[\hat{H}=-\frac{\hbar^{2}}{2 m} \frac{\partial^{2}}{\partial \vec{r}^{2}}+U(\vec{r}, t)=-\frac{\hbar^{2}}{2 m} \nabla^{2}+U(\vec{r}, t)
\]
其中，\(\nabla\)称为拉普拉斯算符
波函数物理意义
波函数——是空间和时间的复函数，满足薛定谔方程，即处在具体微观条件下，可由相应的薛定谔方程解出。而波函数所表示的波，也被称为概率波、或几率波.
概率诠释
波恩认为，波函数\(Ψ\)并非是电子波，而是描述电子在空间分布的几率波，没有物理实在性，也就是波函数本身没有物理意义。
波函数的模的平方，代表了电子在某个时刻，某个地点出现的概率是多少
电子几率波
由于波函数随时间和空间的演化满足薛定谔方程，所以当我们知道了一个电子的初态\(ψ(r,0)\), 也就是0时刻的电子波函数状态，那么以后每个时刻的波函数\(𝜓(r,t)\), 都能从薛定谔方程中求解出来。
