最大连续子段和 ，最大子矩阵和问题
经典问题一：最大连续子段和问题
原文借鉴 风仲达 ：http://blog.csdn.net/liufeng_king/article/details/8632430
（给自己看的，抄一下也没问题吧~~~）
问题： 给出一段数字，假设有n个，有正有负，要你求最大的连续字段和。如：( -2,11,-4,13,-5,-2 )最大子段是{ 11,-4,13 }其和为20。
白痴的枚举法（n^3）的解法就不说了。
下面主要介绍两种方法：
（1）分治法求解
分治法思路如下：
将序列a[1:n]分成长度相等的两段a[1:n/2]和a[n/2+1:n],分别求出这两段的最大字段和，则a[1:n]的最大子段和有三中情形：
[1]、a[1:n]的最大子段和与a[1:n/2]的最大子段和相同；
[2]、a[1:n]的最大子段和与a[n/2+1:n]的最大子段和相同；
[3]、a[1:n]的最大字段和为
，且1<=i<=n/2,n/2+1<=j<=n。
可用递归方法求得情形[1],[2]。对于情形[3],可以看出a[n/2]与a[n/2+1]在最优子序列中。因此可以在a[1:n/2]中计算出
，并在a[n/2+1:n]中计算出
。则s1+s2即为出现情形[3]时的最优值。
具体代码如下：
//3d4-1 最大子段和问题的分治算法 #include "stdafx.h" #include <iostream> using namespace std; int MaxSubSum(int *a,int left,int right); int MaxSum(int n,int *a); int main() { int a[] = {-2,11,-4,13,-5,-2}; for(int i=0; i<6; i++) { cout<<a[i]<<" "; } cout<<endl; cout<<"数组a的最大连续子段和为:"<<MaxSum(6,a)<<endl; return 0; } int MaxSubSum(int *a,int left,int right) { int sum = 0; if(left == right) { sum = a[left]>0?a[left]:0; } else { int center = (left+right)/2; int leftsum = MaxSubSum(a,left,center); int rightsum = MaxSubSum(a,center+1,right); int s1 = 0; int lefts = 0; for(int i=center; i>=left;i--) { lefts += a[i]; if(lefts>s1) { s1=lefts; } } int s2 = 0; int rights = 0; for(int i=center+1; i<=right;i++) { rights += a[i]; if(rights>s2) { s2=rights; } } sum = s1+s2; if(sum<leftsum) { sum = leftsum; } if(sum<rightsum) { sum = rightsum; } } return sum; } int MaxSum(int n,int *a) { return MaxSubSum(a,0,n-1); }
算法所需的计算时间T(n)满足一下递归式：
解此递归方程可知：T(n)=O(nlogn)。
（2）动态规划算法求解
算法思路如下：
记
，则所求的最大子段和为：
由b[j]的定义知，当b[j-1]>0时，b[j]=b[j-1]+a[j]，否则b[j]=a[j]。由此可得b[j]的动态规划递推式如下：
b[j]=max{b[j-1]+a[j],a[j]},1<=j<=n。
具体代码如下：
//3d4-1 最大子段和问题的动态规划算法 #include "stdafx.h" #include <iostream> using namespace std; int MaxSum(int n,int *a); int main() { int a[] = {-2,11,-4,13,-5,-2}; for(int i=0; i<6; i++) { cout<<a[i]<<" "; } cout<<endl; cout<<"数组a的最大连续子段和为:"<<MaxSum(6,a)<<endl; return 0; } int MaxSum(int n,int *a) { int sum=0,b=0; for(int i=0; i<n; i++) { if(b>0) { b+=a[i]; } else { b=a[i]; } if(b>sum) { sum = b; } } return sum; }
经典问题二：最大子矩阵和问题
(1)问题描述：给定一个m行n列的整数矩阵A，试求A的一个子矩阵，时期各元素之和为最大。
(2)问题分析：
用二维数组a[1:m][1:n]表示给定的m行n列的整数矩阵。子数组a[i1:i2][j1:j2]表示左上角和右下角行列坐标分别为(i1,j1)和(i2,j2)的子矩阵，其各元素之和记为：
最大子矩阵问题的最优值为
。如果用直接枚举的方法解最大子矩阵和问题，需要O(m^2n^2)时间。注意到
，式中，
，设
，则
容易看出，这正是一维情形的最大子段和问题。因此，借助最大子段和问题的动态规划算法MaxSum，可设计出最大子矩阵和动态规划算法如下:
//3d4-5 最大子矩阵之和问题 #include "stdafx.h" #include <iostream> using namespace std; const int M=4; const int N=3; int MaxSum(int n,int *a); int MaxSum2(int m,int n,int a[M][N]); int main() { int a[][N] = {{4,-2,9},{-1,3,8},{-6,7,6},{0,9,-5}}; for(int i=0; i<M; i++) { for(int j=0; j<N; j++) { cout<<a[i][j]<<" "; } cout<<endl; } cout<<endl; cout<<"数组a的最大连续子段和为:"<<MaxSum2(M,N,a)<<endl; return 0; } int MaxSum2(int m,int n,int a[M][N]) { int sum = 0; int *b = new int[n+1]; for(int i=0; i<m; i++)//枚举行 { for(int k=0; k<n;k++) { b[k]=0; } for(int j=i;j<m;j++)//枚举初始行i,结束行j { for(int k=0; k<n; k++) { b[k] += a[j][k];//b[k]为纵向列之和
}
int max = MaxSum(n,b); if(max>sum) { sum = max; } } } return sum; } int MaxSum(int n,int *a) { int sum=0,b=0; for(int i=0; i<n; i++) { if(b>0) { b+=a[i]; } else { b=a[i]; } if(b>sum) { sum = b; } } return sum; }
以上代码MaxSum2方法的执行过程可用下图表示：
经典问题三：求最大m子段和问题
(1)问题描述：给定由n个整数(可能为负数)组成的序列a1,a2,a3……an,以及一个正整数m,要求确定此序列的m个不相交子段的总和达到最大。最大子段和问题是最大m字段和问题当m=1时的特殊情形。
(2)问题分析：设b(i,j)表示数组a的前j项中i个子段和的最大值，且第i个子段含a[j](1<=i<=m,i<=j<=n),则所求的最优值显然为
。与最大子段问题相似，计算b(i,j)的递归式为：
其中，
表示第i个子段含a[j-1],而
项表示第i个子段仅含a[j]。初始时，b(0,j)=0,(1<=j<=n);b(i,0)=0,(1<=i<=m)。
具体代码如下：
//3d4-6 最大m子段问题 #include "stdafx.h" #include <iostream> using namespace std; int MaxSum(int m,int n,int *a); int main() { int a[] = {0,2,3,-7,6,4,-5};//数组脚标从1开始 for(int i=1; i<=6; i++) { cout<<a[i]<<" "; } cout<<endl; cout<<"数组a的最大连续子段和为:"<<MaxSum(3,6,a)<<endl; } int MaxSum(int m,int n,int *a) { if(n<m || m<1) return 0; int **b = new int *[m+1]; for(int i=0; i<=m; i++) { b[i] = new int[n+1]; } for(int i=0; i<=m; i++) { b[i][0] = 0; } for(int j=1;j<=n; j++) { b[0][j] = 0; } //枚举子段数目，从1开始，迭代到m，递推出b[i][j]的值 for(int i=1; i<=m; i++) { //n-m+i限制避免多余运算，当i=m时，j最大为n，可据此递推所有情形 for(int j=i; j<=n-m+i; j++) { if(j>i) { b[i][j] = b[i][j-1] + a[j];//代表a[j]同a[j-1]一起，都在最后一子段中 for(int k=i-1; k<j; k++) { if(b[i][j]<b[i-1][k]+a[j]) b[i][j] = b[i-1][k]+a[j];//代表最后一子段仅包含a[j] } } else { b[i][j] = b[i-1][j-1]+a[j];//当i=j时，每一项为一子段 } } } int sum = 0; for(int j=m; j<=n; j++) { if(sum<b[m][j]) { sum = b[m][j]; } } return sum; }
上述算法的时间复杂度为O(mn^2)，空间复杂度为O(mn)。其实，上述算法中，计算b[i][j]时，只用到了数组b的第i-1行和第i行的值。因而，算法中只要存储数组b的当前行，不必存储整个数组。另一方面，
的值可以在计算i-1行时预先计算并保存起来。计算第i行的值时不必重新计算，节省了计算时间和空间。因此，算法可继续改进如下：
//3d4-7 最大m子段问题 #include "stdafx.h" #include <iostream> using namespace std; int MaxSum(int m,int n,int *a); int main() { int a[] = {0,2,3,-7,6,4,-5};//数组脚标从1开始 for(int i=1; i<=6; i++) { cout<<a[i]<<" "; } cout<<endl; cout<<"数组a的最大连续子段和为:"<<MaxSum(3,6,a)<<endl; } int MaxSum(int m,int n,int *a) { if(n<m || m<1) return 0; int *b = new int[n+1]; int *c = new int[n+1]; b[0] = 0;//b数组记录第i行的最大i子段和 c[1] = 0;//c数组记录第i-1行的最大i-1子段和 for(int i=1; i<=m; i++) { b[i] = b[i-1] + a[i]; c[i-1] = b[i]; int max = b[i]; //n-m+i限制避免多余运算，当i=m时，j最大为n，可据此递推所有情形 for(int j=i+1; j<=i+n-m;j++) { b[j] = b[j-1]>c[j-1]?b[j-1]+a[j]:c[j-1]+a[j]; c[j-1] = max;//预先保存第j-1行的最大j-1子段和 if(max<b[j]) { max = b[j]; } } c[i+n-m] = max; } int sum = 0; for(int j=m; j<=n; j++) { if(sum<b[j]) { sum = b[j]; } } return sum; }
上述算法时间复杂度为O(m(n-m))，空间复杂度为O(n)。当m或n-m为常数时，时间复杂度和空间复杂度均为O(n)。
