洛谷P3941入阵曲

题面：

题意：

　　给你一个的$n*m$矩阵，每个格子里都有一个不超过$k$的正整数。询问这个矩阵里有多少个不同的子矩形中的数字之和是$k$的倍数？

题解：

　　我们先考虑一个简化版的一维问题：给定一个长度为$n$的序列，$a[1],a[2],\cdots,a[n]$，如果某一段子序列的和为$k$的倍数，则称其为$k$倍区间，求该序列中有多少个$k$倍区间，要求时间复杂度为$O(n)$。

　　设$sum$为该序列的前缀和，那么若$(sum[r]-sum[l-1])%k==0$，则区间$[l,r]$符合条件，但暴力枚举复杂度为$O(n^2)$，不符合条件。

　　考虑优化，将上式变形后为$sum[l-1]%k==sum[r]%k$，所以我们可以用桶来处理在$i$之前前缀和为$sum[i]$的数量。

　　继续考虑原问题，我们可以枚举两行，再枚举列，把这一列合为一个数，即可用上述方法解决。

code：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define R register
#define ll long long
inline ll read(){
	ll aa=0;R int bb=1;char cc=getchar();
	while(cc<'0'||cc>'9')
		{if(cc=='-')bb=-1;cc=getchar();}
	while(cc>='0'&&cc<='9')
		{aa=(aa<<1)+(aa<<3)+(cc^48);cc=getchar();}
	return aa*bb;
}
const int N=403;
const int M=1e6+3;
int n,m,mod,sum[N][N],a[N];
ll ans,cnt[M];
int main()
{
	n=read();m=read();mod=read();
	for(R int i=1,num;i<=n;++i){
		num=0;
		for(R int j=1,x;j<=m;++j){
			x=read(); num+=x;
			if(num>=mod)num-=mod;
			sum[i][j]=num+sum[i-1][j];
			if(sum[i][j]>=mod)sum[i][j]-=mod;
		}
	}
	for(R int i=1;i<=n;++i){
		for(R int j=i;j<=n;++j){
			//cnt[0]=1;
			for(R int k=1;k<=m;++k){
				a[k]=(sum[j][k]-sum[i-1][k]+mod)%mod;
				ans+=cnt[a[k]];
				++cnt[a[k]];
			}
			ans+=cnt[0];
			//可理解为加上本来就为k的倍数的区间个数，可写成上述注释。
			for(R int k=1;k<=m;++k)cnt[a[k]]=0;
		}
	}
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}