迪杰斯特拉算法(Dijkstra) （基础dij+堆优化） BY：优少

首先来一段百度百科压压惊。。。

迪杰斯特拉算法(Dijkstra)是由荷兰计算机科学家狄克斯特拉于1959 年提出的，因此又叫狄克斯特拉算法。是从一个顶点到其余各顶点的最短路径算法，解决的是有权图中最短路径问题。迪杰斯特拉算法主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。

让我来翻译一下：
Dijkstra可以求出一个点到一个图中其他所有节点的最短路径，故也称对于单源最短路径的一种解法

算法实现步骤：

a.初始时，只包括源点，即S = {v}，v的距离为0。U包含除v以外的其他顶点，即：U ={其余顶点}，若v与U中顶点u有边，则(u,v)为正常权值，若u不是v的出边邻接点,则(u,v)权值 ∞;
b.从U中选取一个距离v最小的顶点k，把k，加入S中（该选定的距离就是v到k的最短路径长度）。

c.以k为新考虑的中间点，修改U中各顶点的距离；若从源点v到顶点u的距离（经过顶点k）比原来距离（不经过顶点k）短，则修改顶点u的距离值，修改后的距离值的顶点k的距离加上边上的权。

d.重复步骤b和c直到所有顶点都包含在S中。

动画模拟：

 

 普通版Dijkstra代码如下：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
using namespace std;
int map[100][100];
int vis[100];
int way[100];
int n,e,w,s;
int main(){
    freopen("dij.in","r",stdin);
    freopen("dij.out","w",stdout);
       int i,j,x,y,z,w,mi=20000;
       scanf("%d%d",&n,&e);
       for(i=1;i<=e;i++)
       {
             scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
             map[x][y]=z;
             map[y][x]=z;
       }
       memset(way,127,sizeof(way));
       scanf("%d",&s);
       way[s]=0;
       for(i=1;i<n;i++)
       {
              for(j=1;j<=n;j++)
                  if(way[j]<mi&&vis[j]==0)
                  {
                        mi=way[j];
                        w=j;
                  }
              vis[w]=1;
              for(j=1;j<=n;j++)
                  if(map[w][j]!=0&&vis[j]==0&&way[j]>way[w]+map[w][j])
                     way[j]=way[w]+map[w][j];
       }
       for(i=1;i<=n;i++)
           printf("%d ",way[i]);
       return 0;
}

那现在让我们分析一下复杂度，很明显高达O（N*N），那当做一些题时不论内存还是时间都会爆，那就急需我们做一些优化了

Dijkstra的堆优化：

依旧是迪杰斯特拉算法的思想，寻找当前距离最小的点，然后将它标记为已经确定的点，用它来更新各个没被确定的点。

emmmm我们选择优先队列来确定每一个最小距离的点

例题：【模板】单源最短路径

代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
struct SYM{
    int to,next,w;
}edge[500010];
struct LKJ{
    int v,c;
    bool operator <(const LKJ &a)const {
        return c>a.c;
    }
};
priority_queue<LKJ,vector<LKJ> > q;
int head[101000],vis[101000],tot,dis[101000],n,m,k;
void add(int x,int y,int w){
    edge[++tot].to=y;
    edge[tot].w=w;
    edge[tot].next=head[x];
    head[x]=tot;
}
void dij(int s){
     dis[s]=0;
     LKJ hh;hh.v=s;hh.c=0; 
     q.push(hh);
     while(!q.empty()){
         LKJ tmp=q.top();q.pop();
         int x=tmp.v;
        if(vis[x]) continue;vis[x]=1;
         for(int i=head[x];i;i=edge[i].next)
             if(!vis[edge[i].to]&&dis[edge[i].to]>dis[x]+edge[i].w){
                 dis[edge[i].to]=dis[x]+edge[i].w;
                 hh.v=edge[i].to;hh.c=dis[edge[i].to];
                 q.push(hh);
             }
    }
}
int main(){
    memset(dis,127,sizeof(dis));
    int x,y,w;
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
    for(int i=1;i<=m;i++){
        scanf("%d%d%d",&x,&y,&w);
        add(x,y,w);
    }
    dij(k);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        if(dis[i]==2139062143) printf("2147483647 ");
        else printf("%d ",dis[i]);
    }
    return 0;
}