Chapter 1

复指数的性质

$e^{j\theta }=cos\theta +jsin\theta$

由此推出 $cos\theta$ 是复数的实部，$sin\theta$ 是指数的虚部，且对于任何模数为 $1$ 的复数，

$$\begin{gathered} Re\{e^{j\theta }\}=cos\theta =\frac{e^{j\theta }+e^{-j\theta }}{2} \\ Im\{e^{j\theta }\}=sin\theta =\frac{e^{j\theta }-e^{-j\theta }}{2} \end{gathered}$$

函数的拆分

任何函数都可以被唯一的拆分成一个奇函数和一个偶函数，即

$$\begin{gathered} x(t)=x_e(t)+x_o(t) \\ {x}_e(t)=\frac{1}{2}(x(t)+x(-t)) \\ {x}_o(t)=\frac{1}{2}(x(t)-x(-t)) \end{gathered}$$

假设有多种被拆分的形式，即 $x(t)=f_1+g_1=f_2+g_2$ （其中 $f$ 为奇函数， $g$ 为偶函数），

那么 $f_1-f_2=g_2-g_1$

由于 奇函数 - 奇函数 = 奇函数，等式两边奇偶性相同，则 $f_1-f_2=g_2-g_1=0$

含有复数的指数、三角函数

指数函数

即 $x(t)=e^{j{\omega }_{0}t}$

周期性：

$$\begin{gathered} x(t+T)=e^{j{\omega }_{0}t}{e}^{j{\omega }_{0}T}=e^{j{\omega }_{0}t} \\ {e}^{j{\omega }_{0}T}=1 \\ {\omega }_{0}T=2k\pi (k=\pm 1,\pm 2,\cdots ) \\ {T}_0=\frac{2\pi }{|{\omega }_0|} \end{gathered}$$

三角函数

由于 $A{e}^{j({\omega }_{0}t+\varphi )}=Acos({\omega }_{0}t+\varphi )+Ajsin({\omega }_{0}t+\varphi )$ ，

$Acos({\omega }_{0}t+\varphi )=\frac{A}{2}{e}^{j\varphi }{e}^{j{\omega }_{0}t}+e^{-j\varphi }{e}^{-j{\omega }_{0}t}$

二者的周期是同步的

两种函数的能量

注意 $e^{j{\omega }_{0}t}$ 是模长为 $1$ 的复数，所以对于 $e^{j{\omega }_{0}t}$ ，$E_{period}={\int }_0^{T_0}{e}^{j{\omega }_{0}t}dt={\int }_0^{T_0}1dt=T_0$

对于 $Acos({\omega }_{0}t+\varphi )$ ，$E_{period}={\int }_0^{T_0}{A}^{2}co{s}^2({\omega }_{0}t+\varphi )dt$

考虑 和差化积，$co{s}^2\alpha =\frac{cos2\alpha +1}{2}$

$E_{period}=\frac{A^2}{2}{\int }_0^{T_0}(1+cos(2{\omega }_{0}t+2\varphi ))dt=\frac{A^2}{2}{T}_0$

指数函数产生的“谐波”

基波频率 ${\omega }_0$ ，谐波频率是基波频率的 $k$ 倍

震荡频率

对于指数函数和三角函数，当频率 ${\omega }_0$ 从 $0$ 到 $\pi$ 震荡频率增大，从 $\pi$ 到 $2\pi$ 震荡频率减小

$e.g.cos(\pi t)$ 的震荡频率大于 $cos(\frac{3}{2}\pi t)$

离散信号的周期性

对于连续信号来说，函数 $e^{j{\omega }_{0}t}$ 或 $cos({\omega }_{0}t+\varphi )$ 的周期就是 $\frac{2\pi }{{\omega }_0}$ ，而对于离散信号来说不一定是这样，举个例子：

$$x[n]=cos(\frac{4\pi n}{3})$$

对于连续信号 $x(t)=cos(\frac{4\pi t}{3})$ 来说，它的周期是 $\frac{3}{2}$ ，

而对于离散信号来说， $\frac{3}{2}$ 并不是信号上的点， $x[n]$ 的周期是 $N=m\frac{2\pi }{4\pi /3}\mathrm{的}\mathrm{最}\mathrm{小}\mathrm{整}\mathrm{数}=3$

离散信号的周期必须是整数，因此需要满足

$$\begin{gathered} {\omega }_{0}N=2\pi m(m\in \mathbb{Z}) \\ N=\frac{2\pi m}{{\omega }_0},s.t.N\in {\mathbb{Z}}^{+} \end{gathered}$$

脉冲信号与阶跃信号

离散信号

单位脉冲信号 $\delta [n]=\{\begin{array}{c}0,n\ne 0\\ 1,n=0\end{array}$ ，单位阶跃信号 $u[n]=\{\begin{array}{c}0,n<0\\ 1,n\ge 0\end{array}$

有如下性质：

$$\begin{array}{}\text{(1)}& \delta [n]& =u[n]-u[n-1]\text{(2)}& u[n]& =\sum _{k=\mathrm{\infty }}^0\delta [n-k]\text{(3)}& & =\sum _{m=-\mathrm{\infty }}^n\delta [m]\end{array}$$

对于任意离散信号 $x[n]$ ，有：

$$x[n]\delta [n-n_0]=x[n_0]\delta [n-n_0]$$

连续信号

单位阶跃信号 $u(t)=\{\begin{array}{c}0,t<0\\ 1,t>0\end{array}$

$$\begin{array}{}\text{(4)}& u(t)& =\underset{\mathrm{\Delta }\to 0}{lim}{u}_{\mathrm{\Delta }}(t)\text{(5)}& {\delta }_{\mathrm{\Delta }}(t)& =\frac{d{u}_{\mathrm{\Delta }}(t)}{dt}\text{(6)}& \delta (t)& =\underset{\mathrm{\Delta }\to 0}{lim}(t)\text{(7)}& u(t)& ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^t\delta (\tau )d\tau ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}\delta (t-\sigma )d\sigma \text{(8)}& x(t)\delta (t-t_0)& =x(t_0)\delta (t-t_0)\end{array}$$

注意箭头表示无穷远，箭头的面积是 $1$

用脉冲信号和阶跃信号表示任意离散信号

如图，$x(t)=2u(t-1)-3u(t-2)+2u(t-4)$
$x^{\prime }(t)=2\delta (t-1)-3\delta (t-2)+2\delta (t-4)$

系统的基本性质

需要/不需要存储 (with/without memory)

只与当前时间有关，则不需要存储；否则需要存储

可逆性 (invertibility)

系统的 $input$ 对 $output$ 构成一个单射

因果性 (causality)

系统的 $output$ 只与之前的时间值有关：

$e.g.y[n]=\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{n}x[k]$

我的理解：如果出现该时间后的值，如 $y[n]=x[n]-x[n+1]$ 。那么考虑如果 $x[n]=y[n-1]$ ，那就寄了

相应的，如果是 $y(t)=x(t)cos(t+1)$ 这种系统，就不会出现我理解的那种情况，那么是稳定的，也就属于因果系统了

稳定性 (stability)

有限的输入值得到有限的输出值

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}x[n]\stackrel{LTI}{\to }y[n]$ ，则 $y[n]$ 是有界的

时不变性 (time invariance)

如果系统 $x[n]\stackrel{LTI}{\to }y[n]$ 满足时不变性，那么 $x[n-n_0]\stackrel{LTI}{\to }y[n-n_0]$

如果有和时间相关的系数，如 $y[n]=(n-1)x[n]$ 那么时间轴发生变换肯定就不行了；

对于时间上的变化，时不变系统必须要求时间的线性性，不能存在翻转、放缩等等情况；

也就是说若 $y[n]=kx[ax+b]$ ，那么 $k$ 必须为常数，$a$ 必须等于 $1$

线性性 (linearity)

如果系统1 $x[n]\stackrel{LTI}{\to }y[n]$ 符合线性性，那么 $a{x}_1[n]+b{x}_2[n]\stackrel{LTI}{\to }a{y}_1[n]+b{y}_2[n]$

用线性代数的思维想，符合线性变换（具有转换矩阵 $\mathbb{T}$ ）的信号就具有线性性，如果出现常数项或大于一次的项，那么自然是不符合线性性的。

总结

性质	描述	符合的例子	不符合的例子
存储性 (memoryless)	是否只与当前时刻有关	$y[n]=nx[n]$	$y[n]=x[n]+x[n-1]$
可逆性 (invertibility)	是否能通过某种系统使得 $y[n]$ 变回 $x[n]$	$y[n]=\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{n}x[n]$	$y(t)=x^2(t)$ 或 $y(t)=2x(t)+3$
因果性 (causality)	任意时间点的 $y[n]$ 只与之前的时间值有关	$y[n]=\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{n}x[n]$	$y[n]=x[n]-x[n+1]$
稳定性 (stability)	有限的输入得到有限的输出	$y(t)=x^2(t)$	$y[n]=\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{n}u[n]$
时不变性 (time invariance)	时间轴移动后输出不变	$y[n]=sin(x[n])$	$y[n]=nx[n]$ 或 $y[n]=x[-n]$
线性性 (linearity)	符合线性变换的系统	$y[n]=\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{n}x[n]$	$y[n]=sin(x[n])$