JPEG解码：反DCT变换（一）

DCT(Discrete Cosine Transform)离散余弦变换是一种经典谱分析方法，属于离散傅立叶变换的一种特殊情况，即在变换后的傅立叶级数中只包括余弦项，变化后的数据比较集中。经过DCT变换可以将图片从色彩域转换到频率域，将原始图像的信息块转化为代表不同频率分量的系数集。它是一种广泛使用的压缩方法，首先把每个单独的彩色图像分量分成8×8图像块，然后经过二维DCT变换，其低频分量都集中在左上角，高频分量分布在右下角。变换之后还是8×8的数据块，也就是说DCT变换本身并没有起到压缩数据的作用，但是它为以后的数据压缩奠定了必不可少的基础。

经过DCT变换的数据有2个优点：1，信号常将其能量的大部分集中于频率域的一个小范围内，这样一来，描述不重要的分量只需要很少的比特数；2，频率域分解映射了人类视觉系统的处理过程，并允许后继的量化过程满足其灵敏度的要求。对于变换之后的8×8的数据矩阵块，矩阵最左上角的直流 （DC）系数幅度最大，以DC 系数为出发点向下、向右的其它DCT 系数，离DC 分量越远，频率越高，幅度值越小，即图像信息的大部分集中于直流系数及其附近的低频频谱上，离DC 系数越来越远的高频频谱几乎不含图像信息，甚至于只含杂波。

 

压缩图像是经过DCT变换之后的图像，我们要对压缩图像进行解压就要对压缩数据进行“反DCT变换（DCT逆变换）”。DCT逆变换的方法有好几种，我们这里采用行列分解的方法。

DCT逆变换的公式为：

     

可改写为：

f=A^τFA                                                                                    

 

 其中A为矩阵：

 对上面的公式进行变形的

Y =FA

f  =A^T Y

f^T =(A^T Y)^T =Y^T A

其中F的数据块。

经分析可知，完成一次DCT逆变换需要4步：

1：压缩数据块（8×8）矩阵与矩阵A（8×8）相乘，得到矩阵Y（8×8）。

2：对矩阵Y进行转秩得到（8×8）。

3：Y的转秩再与矩阵A相乘得到8×8的矩阵f^t。

4：对f^t  进行转秩得到f。  

 

所以整个设计中需要两个模块，一个用于矩阵的相乘，两个用于矩阵的转秩。

总体设计如下：

 

 

A矩阵乘法器的作用是实现输入矩阵和A矩阵的相乘。注意A矩阵在乘法的右边。

iDCT变换的对象是8 ×8的数据单元，既输入数据共64个，按行输入，每8个数据为一行。每输入一行数据就分别和A矩阵的每一列进行乘加运算，每完成一次这样的乘加运算就输出一次结果。由于输入在左边，所以输出的按矩阵的行的序列输出的。比如，输入第一行数据，分别和A矩阵的各列相乘，按顺序输出8个结果，这8个结果就是输出矩阵的第一行；当输入第二行数据时，同样输出8个结果，这8个结果是输出矩阵的第二行。所以经过第一次矩阵乘法之后得到的是Y矩阵。

 

转秩就是对64个数据进行重新排列的结果。

如下图：

左边为未转秩的数据顺序，右边为转秩之后的数据顺序。