暑假看微分几何总结1
暑假看微分几何总结1
想要搞与曲面曲线相关的科研,如三维人脸识别,计算几何,几何建模等等,微分几何是一门必须要学的基础性学科。由于视觉是人类获取外部信息的主要通道,一般的物体存在都要有一定的几何形态,所以微分几何还同计算机图形学、理论物理、生物、建筑等诸多学科都有着广泛的联系。综上所述,这个暑假给自己定的主要目标就是好好看看微分几何。
本科的时候学过一遍梅向明写的,前一段时间又翻了两遍,这本《微分几何》在中文教材里面是比较好懂的一本。曲线论主要就是Frenet公式,曲面论主要是从曲面上曲线的弧长公式推出曲面的第一基本形式(等距变换,保角变换,内蕴量的性质),从曲面与切平面间的有向距离推出第二基本形式,而曲率的推导过程是:曲面上曲线的曲率->法曲率->主曲率(利用杜邦指标线)->高斯曲率和平均曲率(及几何意义)。还有高斯曲率是内蕴量,测地曲率测地线,Gauss-Bonnet,极小曲面,常高斯曲率曲面。外微分和整体微分几何我就没看了。
这个暑假主要看的一本是Oprea.J.写的<Differential Geometry and Its Application>,当时决定看这一本,主要是因为他带了Maple的试验代码,对于搞计算机的来看,可能会更形象,更容易接受些。这本书的思路和梅向明的就有点不一样了,曲面论首先定义了形状算子,即曲面的法线沿某一方向的导数。然后利用该变换矩阵的不变量来定义了曲率,特征值就是主曲率,用矩阵的迹定义平均曲率,矩阵的行列式定义高斯曲率。然后讲了高斯曲率平均曲率的一些几何特性,测地线等,主要把几何的不变量性质来同微分方程结合进行研究。
老外写的这本书,还举了不少例子,便于读者加深对理论的理解。对于学工科的看数学,还是对其的应用价值最感兴趣,现在贴几个出来:
1. 由于航海的发展,人们在海上可以利用北极星确定纬度,但是确定经度却比较困难。有一种方法是确定正午时与格林威治的时间差,但这就对钟表的准确性提出了要求。可以利用曲线论的方法研究如何确定钟摆的轨迹,使其摆动周期和振幅无关。
2. 核电站的冷却塔的结构是单叶双曲面,这是因为单叶双曲面是直纹面,可以沿其直母线方向放置梁,梁没有弯曲所以冷却塔所受压力较小,且易于建造。
3. 肺部气泡遵循Laplace-Young方程。肥皂膜是极小曲面,肥皂泡是平均曲率为常数的曲面。
4. 地理坐标,在图形学中参数化的应用。
5. 一个工业上的应用,求一个曲面连接平面传送带和圆柱管道,使得货物沿此曲面滑动最“平滑”,求出的满足条件的可展曲面为:
6. 陈省身讲的一个例子,利用螺旋线的几何性质研究DNA的化学性质(White公式,生物化学的一个基本的公式)
归根结底,我觉得微分几何最主要的思路就是:假定复杂曲线曲面的局部是可以用线性的切线切平面去近似,在其局部邻域建立坐标系,然后利用微积分推出曲面的一些与坐标系选取无关的不变量,进而揭示曲面的本质属性。