tongj1981

中国的数学-陈省身(转贴)

                中国的数学
————几件数学新闻和对于中国数学的一些看法
庆祝自然科学基金制设立15周年和国家自然科学基金委员会成立10周年的讲演
陈省身
(Machematical Sciences Research Institute, 1000
Centennial Drive, Berkeley, CA94720, USA;
南开大学数学研究所,天津300071)
张存浩先生要我讲点数学,这么短的时间,而数学这么大,只好举几个要点
谈谈。数学是什么?数学是根据某些假设,用逻辑的推理得到结论,因为用
这么简单的方法,所以数学是一门坚固的科学,它得到的结论是很有效的。
这样的结论自然对学问的各方面都很有应用,不过有一点很奇怪的,就是这
种应用的范围非常大。最初你用几个数或画几个图就得到的一些结论,而由
此引起的发展却常常令人难以想象。在这个发展过程中,我认为不仅在数学
上最重要,而且在人类文化史上也非常突出的就是Euclid在《几何原本》。
这是第一本系统性的书,主要的目的是研究空间的性质。这些性质都可以从
很简单的公理用逻辑的推理得到。这是一本关于整个数学的书,不仅仅限于
几何学。例如,Euclid书上首先证明素数的个数是无穷的,这便是一个算术
的结论。随着推理的复杂化,便有许多“深刻”的定理,需要很长的证明。
例如 ,有些解析数论定理的证明,便需几十条引理。最初,用简单的方法
证明几个结果,大家很欣赏,也很重要。后来方法发展了,便产生很复杂的
推理,有些定理需要几十页才能证明。现在有的结果的证明甚至上百页,
上千页。看到这么复杂的证明,我们固然惊叹某些数学家高超的技巧和深厚
的功力,但心中难免产生一些疑问,甚或有些无所适从的感觉。所以我想,
日后数学的重要进展,在于引进观念,使问题简化。
先讲讲有限单群的问题。
1。有限单群
我们知道,数学的发展中有一个基本观念———群。群也是数学之中
各方面的最基本的观念。怎样研究群的结构呢?最简单的方法是讨论它的
子群,再由小的群的结构慢慢构造大一些的群。群中最重要的一种群是有
限群,而有限群是一个难极了的题目,需要有特别的方法,特别的观念去
研究。
命G为群,g∈G为一子群,如对任何g∈G
-1
g H g ∈H
则称H为正规的(nomal). 正规子群存在,可使G的研究变为子群H及商群
G/H的研究。这样就有一个很自然的问题,有哪些有限的单群(simple
group).单群除了它自己和单位元(identity)之外,没有其他的非平凡的
正规子群(normalsubgroup). 数学上称其为简单群,其实一点也不简单。
有限群论的一个深刻的定理是Fei-Thompson定理:非交换单群的阶(数)
(即群中元素的个数)是偶数。更不寻常的是除了某些大类(素数阶循环群
Zp,交错群An(n>=5), Lie型单群)外,后来发现了26个零零碎碎的有限单
群(散在单群,离散单群), 现在知道,最大的散在单群的阶是
41 20 9 6  2  3                                        54
2  3  5 7 11 13 17 19 23 29 31 41 47 59 71 =808,017..=10
这是很大的单群,由B。Fisher 和 R。L.Griess两位数学家所发现,数
学家称它为魔群(怪物,Monster).
单群的权威数学家D.Gorenstein相信有限单群都在这里了,这当然是数
学上一个很好的结果。把单群都确定了,就像化学家把元素都确定了,
物理学家把核子的结构都确定了一样。可这里有个缺点,Gorenstein并
未将证明定出来。他讲若将证明写出来至少有1000页,而1000页的证明
无论如何很容易有错误。可是Gorenstein又说,不要紧,若有错误,这
个错误一定可以补救。你相信不相信?数学界有些人怀疑这样的证明是
否必要。现在计算机的出现,许多问题可以验证到很大的数,是否还需
要严格的证明,已变成数学上一个有争论的问题。这个争论看来一时无
法解决。段学复先生是我的老朋友,是有限群论的专家,也许我们可以
问一下他的意见。我个人觉得这个问题很难回答。不过数学家有个自由,
当你不能做或不喜欢做一个问题时,你完全不必投入,你只需做一些你
能做或喜欢做的问题。
2 四色问题
把地图着色,使得邻国有不同的颜色,需要几种颜色?经验告诉我们,
四色够了。但是严格的证明极难。这就是有各的四色问题。地图不一
定在球面上,也可在亏格高的的曲面上(一个亏格高为g的曲面在拓扑
上讲是球面加g个把手;亏格为1的曲面可设想为环面)。可惊奇的是,
这个着色问题,对于g>=1的曲面完全解决了。可以证明:有整数χ(g),
满足条件:在亏格为g的曲面上任何地图都可用χ(g)种颜色着色,使
邻国有不同颜色,且有地图至少需要χ(g) 种颜色。这个数在g>=1时
可以完全确定。我们知道      χ(1)=7,即环面上的地图可用七色
着色,四色不够。
令人费解的是,证明地球上四色定理,困难多了。现有的证明,需要
计算机的帮助,与传统的证明不同。而我们觉得最简单的情况,即我
们住的地球球面上的着色问题反而特别复杂。把扩充的问题解决了,
得到了很有意思的结论。但是回到基本问题,反而更难。这种现象不
止这一个,还有很多,一个例子是所谓的低维拓扑,即推广的问题更
简单,而本身核心的问题反而不易克服,这确是数学神秘性的一面。
3 椭圆曲线
最近的数学进展,最受人注意的结果就是Fermat大定理的证明。
Fermat大定理说:方程式
n     n     n
x  +  y  =  z ,n>2
没有非平凡的整数解(即xyz<>0). 这个传说了300年的结果的证明,
最近由Princeton大学的教授Andrew J.Wiles(英国数学家)给出。但
证明中缺一段,是由他的学生Richard Tarlor补充的。因此,Fermat
定理现在已经有了一个完全的证明。整个文章发表在最近一期的
“Annals of Mathematics"(Prinston大学杂志,1996,第一期)整
个一期登的是Wiles与Taylor的论文,证明Fermat定理(Wiles为此同
Robert Langlands 获得了1996年的Wolf奖与National Academy
Science Award in Mathematics).
有意思的是,证明这个定理的关键是椭圆曲线。这是代数数论的一
个分支。有以下一则
故事。英国的大数学家G.H.Hardy(1877-1947)有一天去医院探望他
的朋友,印度天才数学家S.A.Ramanujan(1887-1920).Hardy 的汽车
号是1729。他向Ramanujan说,这个数目没有意思。Ramanujan说,
不然,这是可以用两种不同方法写为2个立方之和的最小的数,如
3      3   3      3
1729 = 1  +  12 = 9  +  10
这结果可用椭圆曲线论来证明。
我们知道,要找一个一般方程的解不容易的,而要找一个系数为整
数的多项式方程
P(x,y) = 0
(传统上叫Diophantine方程)的整数解更困难。因为普通的解不会是
整数,这是数论中的一个主要问题。需要说明的,在Wiles 完成这
个证明之前,我有一位在Berkley的朋友Kenneth A.Ribet ,他有重
要的贡献。他证明了一日本数学家Yutaka Taniyama的某一个关于
椭圆曲线的假设包含Fermat定理。于是可将Fermat 定理变为一个
关于椭圆曲线的定理。Wiles根据Ribet的结果又继续经过了许多步
骤,以至达到最后的证明。即在复平面内得到曲线。由复变函数论
知道,复平面内的曲线就成为一个Riemann曲面。Riemann曲面为定
向曲面,它可以是球,也可以是球加上好多把手。其中有一个最简
单的情形,就是一个球加上一个把手,即一个环面。环面是个群,
且为可交换群。
所谓椭圆曲线,就是把这个曲线看成复平面内亏格(genus)等于1的
复曲线。亏格等于1的曲线有一个非常深刻而巧妙的性质。即它上面
的点有一个可交换群的构造。两个点可以加起来,且有群的性质。
这是很重要的性质。椭圆曲线与椭圆无关。原因是,若所有曲线的
亏格大于1,相当于Riemann曲面有一个Poincare度量,它的曲率等
于1,所有曲面若其曲率等于—1,则叫做双曲的。亏格等于1的叫
椭圆。亏格等于0的叫抛物线。椭圆曲线的研究是数论中非常重要,
非常有意思的方面。最近一期的科学杂志(Science),有位先生写了
一篇关于椭圆曲线的文章。椭圆曲线在电报的密码上有应用。而中
国也有很多人在做代数几何与代数数论方面的工作。最近在黄山有
一个国际性的,题为“代数几何与代数数论”的会议,由冯克勤先
生主持。从这个定理我们应认识到:高深的数学是必要的。Fermat
定理的结论虽然简单,但它蕴藏着许多数学的关系,远远超出结论
中的数学观念。这些关系日新月异,十分神妙,
学问之奥,令人拜赏。我相信,Fermat定理不能用初等方法证明,
这种努力是徒劳的。数学是一个整体,一定要吸取几千年所有的进
步。
4 拓扑与量子场论
1995年初的一天晚上,我在家看晚间电视新闻。突然,我听到自己
的名字,大吃一惊。原来加利福尼亚发一种彩票,头彩300万美元,
若无人中彩的话,可以积累到下一次抽彩。我从前的一个学生,
名Robert Uomini, 中了头彩美金2200万元。他曾选过我的本科课,
当时还对微分几何很有兴趣。他很念旧,以100万美元捐赠加州大
学,设立“陈省身讲座”。学校决定,以此讲座邀请名学者为访问
教授。第一位应邀的为英国数学家Sir Michael Atiyah. 他到中国
不止一次。他是英国影响最大的数学家,剑桥大学三一学院的院长,
则卸任的英国皇家协会会长。Atiyah很会讲学,也很博学,他的报
告有很大的吸引力。他作了八讲,讲题是“拓扑与量子场论”。这
是当前一个热门的课题,把高深的数学和物理联系起来了,导出了
深刻的结果。现在拓扑在物理上有非常重要的应用,这跟杨振宁的
Yang-Mills场方程有很密切的关系。杨先生喜欢说,你们数学家写
的东西,我们学物理的人看不懂,等于另外一种文字。我想我们搞
数学的人有责任把我们的结果,写成不是本行的人也至少知道你讲
的是怎么一回事。
物理学,量子力学,尤其是量子场论与数学的关系其实并不复杂。
说到数学的应用,讲一下矢量空间,Euclid空间就是一个矢量空间。
再进一步,多个矢量空间构成一个拓扑空间,这就是所谓的矢量丛,
即一束这样的空间。这样的空间有一些简单的性质。比如说,局部
来讲,这种矢量空间是一个chart,是一个集,可用坐标来表示。
结果发现矢量丛这种空间在物理上很有用。物理学的一个基本观念
是“场”。最简单的场是电磁场,尤为近代生活的一部分。电磁场
的“势”适合Maxwell方程。Hermann Weyl第一个看出这个势不是
一个确定的函数。它可以变化。这在物理上叫做规范(gauge, 不完
全确定的,可以变化的),这就是物理上规范场论的第一个情形。
物理上有4种场:电磁场,引力场,强作用场和弱作用场。现在知道,
这些场都是规范场。即数学系上是一束矢量空间,用一个线性群来
缝住的。电磁场的重要推广,是Yang-Mills的规范场论。杨先生的
伟大贡献就是在SU(2)(special unitary group in twovariables)
情形下得到物理意义明确的规范场,即同位旋(isospin)规范场,
这种将数学现象给以物理的解释,是件了不起的工作,因为以往的
Maxwell场论是一个可交换的群。现在变为在SU(2),群是不能交换的。
而实际上,物理中找到了这样的场,这是科学上一个伟大的发展。
数学家可以自豪的是,物理学家所需的几何观念和工具,在数学上
已经发展了。杨先生之所以有这么大的成就,其中一个很重要的,
很了不起的原因是除了物理的感觉以外,他有很坚实的数学基础。
他能够在这大堆复杂的方程中看出某些规律,它们具有某种基本的
数学性质。Yang-Mills方程的数学基础是纤维丛。这种观念Dirac
就曾有过。Dirac的一篇基本论文中就讲到这种数学。但Dirac没有
数学的工具。所以他在讲这种观念时,不但数学家不懂,就连物理
学家也不懂。不过,其中有一个到现在还未解决的物理含义,即有
否磁单极(magnetic monople)。可能会有。就是说,有否这样的场,
它的曲率不等于0(曲率是度量场的复杂性的)?物理上要是发现了这
种场,会是件不得了的事实。这些观念的数学不简单。Yang-Mills
方程反过来影响到拓扑。现在的基础数学中,所谓低维拓扑(二维,
三维,四维)非常受人注意。因为物理空间是四维空间。而四维空
间有许多奇妙的性质。我们知道代数几何,曲线论,复变函数论
等许多基础数学理论是二维拓扑。而现在必到四维,四维有spinor
理论,有quantum结构。四维与物理更接近。它的结构是Lorentz结
构,而不是Riemann结构。这方面有很多工作可做。根据Yang-Mills
方程,对于四维拓扑,Atiyah的学生英国数学家Simon Donaldson
有很重要的贡献。其中有一个结果就是利用Yang-Mills方程证明四
维Euclid空间R4有无数微分结构与其标准结构不同。这一结果最近
又由Seiberg-Witten的新方程大大的简化了。这是最近拓扑在微分
几何,理论物理应用方面最引人注意的进展。
二维流形的发展有一段光荣的历史,牵涉到许多深刻的数学,可以
断言,三维,四维流形将更为丰富和神妙。
5。球装问题(Sphere Packing)
如何把一定的空间装得最紧,显然是一个实际而重要的问题。项武
义教授最近在这方面做了很重要的工作。这里先介绍一个有关的问
题:围着一个球,可以放几个同样大小的球?我们不妨假定球的半
径为一,即单位球。在平面情形,绕一单位圆我们显然可以放6个单
位圆。而在三维空间的情况则更为复杂。如果把单位球绕单位球相
切,不难证明,12个球是放得进的。这时虽然还剩下许多空间,但
不可能放进第13个球。要证明这一结论并不容易。当年Newton与
Gregory有个讨论。Newton 说第13个球装不进,Gregory说也许可以。
这个争论长期悬而未决。一直到1953年,K.Schutte和B.L.van der
Waerden才给了一个证明。这个证明是很复杂的。
一个更自然的问题是怎样把一个立方体空间用大小相同的球装得最
紧。衡量装得是否紧凑的尺度是密度(density),即所装的球的总
的体积和立方体空间的体积的比例。Kepler于1611年提出了一个猜
想:他认为立方体的球装的密度不会大于π/(18^1/2).项武义说他
证明了这个猜想。可是有人(Gabor Fejes Toth)认为他的证明不完
全,甚至有人(Thomas L.Hales)说是错误的。"Mathematical
Intelligencer"这个杂志上(1995年),有关于这一问题的讨论,项
武义有个答复。Toth 是匈牙利数学家,三代人搞同一个课题。匈
牙利数学很发达,在首都布达佩斯有个200多人的几何研究所。我
不知道几何中是否有这么多重要的问题需要这么多人去做。最年轻
的Toth在“MathematicsReviews"中有篇关于项的文章的评论。他
说项的文章有些定理没有详细的证明。天下的事情就是这样。做重
要工作有争议的时候,便产生一些有趣的现象。不过他觉得项的意
思是对的。不但项的意思是对的,甚至表示这个意思他从前也有。
最近项武义抒他认为没有的证明都有写出来了。
最主要的,我要跟大家说的是立体几何在数学中是很重要而因难的
部分。即使平面几何也可能很难。到了立体时,则更为复杂。近年
来对碳60(C60)的研究显示了几何在化学中的应用。多面体图形的
几何性质对固态物理也有重大的作用。。球装不过是立体几何的一
个问题。立体几何是大有前途的。
6。Finsler几何
最近经我鼓励,Finsler几何有重大发展,作简要报告如次:
在(x,y)平面上设积分
b
s = ∫    F(x,y,dy/dx)dx
a
其中y是x的未知函数。求这个积分的极小值,就是第一个变分学的
问题。称积分s为弧长,把观念几何化,即得Finsler几何。Gauss
看出,在特别情形:
2                              2
F  =E(x,y) + 2F(x,y) y' +G(x,y)y'       ,y'=dy/dx
其中E,F,G为x,y的函数,几何性质特别简单。1854年,Riemann的
讲演讨论了整个情形,创立了Riemann-Finsler几何。百余年来,
Riemann几何在物理中有重要的应用,而整体Riemann几何的发展更
是近代数学的核心部分。Riemann的几何基础包含Finsler几何。
我们最近几年的工作,把Riemann几何的发展,局部的和整体的,
完全推广到Finsler几何,而且很简单。因此,我觉得以后的微分
几何课或Riemann几何课都应该讲一般情形.最近有几个拓扑问题.
最主要的一个是Riemann流形的一个重要性质,即英国数学家Hodge
的调和积分。现在有2个年轻人,一个是David Bao, 另一个是他的
美国学生,抒这个Hodge的调和积分推广到了Finsler情形。这将是
微分几何的一块新园地,预料前景无限。1995年夏在美国西雅图有
一Finsler几何的国际会议。其论文集已于今年由美国数学会出版.
Finsler 几何在1900年有名的Hilbert演讲中是第23个问题。
7。中国的数学
数学研究的最高标准是创造性:要达到前人未到的境界,要找着最
深刻的关键。从另一点看,数学的范围,是无垠的。我愿借此机会
介绍一下科学出版社从俄文翻译的《数学百科全书》,全书5大卷,
每卷约千页。中国能出版这样的巨著,即是翻译,也是一项可喜的
在就。这是一部十分完备的百科全书,值得赞扬的。对着如此的学
问大海,入门必须领导,便需要权威性的学校和研究所。数学是活
的,不断有杰出的贡献,令人赞赏佩服。但一个国家,比较可以集
中某些方面,不必完全赶时髦。当年芬兰的复变函数论,波兰的纯
粹数学,都是专精一门而有成就的例子。
中国应该发展实力较强的方面。但由百科全书的例子,可看出中国
的数学是全面的。这是一个可喜的现象。中国的财富在“人民”。
中国的数学政策,除了鼓励尖端的研究以外,应该用来提高一般的
数学水平。我有两个建议:(1)设立数学讲座,待遇从优,其资格
可能是对数学发展有重大贡献的人;(2)设立新的数学中心,似乎
成都,西安,广州都是可能的地点。
中心应有相当的经费,部分可由地方负担,或私人筹措。近年因
为国家开放,年轻人都想经商赚钱,当然国家社会需要这样的人。
但是做科学的乐趣是一般不能理解的。在科学上做了基本的贡献,
有历史的意义。我想对于许多人,这是一项了不得的成就。在岗
位上专心学问,提携后进,“得天下之英才而教育之“,应该是
十分愉快的事情。一个实际的问题,是个人应否读数学。Hardy
说,一个条件是看你是否比老师强。这也许太强一些。我想学习
应不觉困难,读名著能很快与作者联系,都是测验。数学是小科
学,可以关起门来做。在一个多面竞争的社会中,是一项有优点
的职业,即使你有若干能力。
中国的数学有相当水平。年来政治多变,达此情况,足风中华民
族的勤劳本质。从前一个数学家的最高标准,是从国外名大学获
得博士学位。我们国家现在所包需做的,是充实各大学的研究院,
充实博士学位,人才由自己训练。
致谢  本文承葛墨林,陈永川教授帮助整理,特此致谢。

    文章来源:http://tongj1981.blog.163.com/blog/static/295579312007413101335993

    posted on 2007-05-13 22:14  同山  阅读(376)  评论(0编辑  收藏  举报

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