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拓扑排序介绍
拓扑排序(Topological Order)是指,将一个有向无环图(Directed Acyclic Graph简称DAG)进行排序进而得到一个有序的线性序列。
这样说,可能理解起来比较抽象。下面通过简单的例子进行说明!
例如,一个项目包括A、B、C、D四个子部分来完成,并且A依赖于B和D,C依赖于D。现在要制定一个计划,写出A、B、C、D的执行顺序。这时,就可以利用到拓扑排序,它就是用来确定事物发生的顺序的。
在拓扑排序中,如果存在一条从顶点A到顶点B的路径,那么在排序结果中B出现在A的后面。
拓扑排序的算法图解
拓扑排序算法的基本步骤:
1. 构造一个队列Q(queue) 和 拓扑排序的结果队列T(topological);
2. 把所有没有依赖顶点的节点放入Q;
3. 当Q还有顶点的时候,执行下面步骤:
3.1 从Q中取出一个顶点n(将n从Q中删掉),并放入T(将n加入到结果集中);
3.2 对n每一个邻接点m(n是起点,m是终点);
3.2.1 去掉边<n,m>;
3.2.2 如果m没有依赖顶点,则把m放入Q;
注:顶点A没有依赖顶点,是指不存在以A为终点的边。
以上图为例,来对拓扑排序进行演示。
第1步:将B和C加入到排序结果中。
顶点B和顶点C都是没有依赖顶点,因此将C和C加入到结果集T中。假设ABCDEFG按顺序存储,因此先访问B,再访问C。访问B之后,去掉边<B,A>和<B,D>,并将A和D加入到队列Q中。同样的,去掉边<C,F>和<C,G>,并将F和G加入到Q中。
(01) 将B加入到排序结果中,然后去掉边<B,A>和<B,D>;此时,由于A和D没有依赖顶点,因此并将A和D加入到队列Q中。
(02) 将C加入到排序结果中,然后去掉边<C,F>和<C,G>;此时,由于F有依赖顶点D,G有依赖顶点A,因此不对F和G进行处理。
第2步:将A,D依次加入到排序结果中。
第1步访问之后,A,D都是没有依赖顶点的,根据存储顺序,先访问A,然后访问D。访问之后,删除顶点A和顶点D的出边。
第3步:将E,F,G依次加入到排序结果中。
因此访问顺序是:B -> C -> A -> D -> E -> F -> G
代码实现(邻接矩阵实现)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 | #include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #include<queue> using namespace std; int indegree[100]; int n,m; bool map[100][100]; int a[100]; int topu() { queue< int > q; int cnt = 1; while (!q.empty()) //清空队列 q.pop(); for ( int i = 1; i <= n ; i++) if (indegree[i] == 0) q.push(i); //将 没有依赖顶点的节点入队 int u; while (!q.empty()) // { u = q.front(); a[cnt++] = u; //将上边选出的没有依赖顶点的节点加入到排序结果中 q.pop(); //删除队顶元素 for ( int i = 1; i <= n ; i++) { if (map[u][i]) { indegree[i] --; //删去以u为顶点的边 if (indegree[i] == 0) //如果节点i的所有依赖顶点连接边都已经删去 q.push(i); //即变为无依赖顶点的节点 将其入队 } } if (cnt == n) //如果排序完成输出结果 { for ( int i = 1 ; i <= n ; i++) printf( " %d" ,a[i]); } } } int main() { int u,v; while (~scanf( "%d%d" ,&n,&m)) { memset(indegree,0, sizeof (indegree)); memset(map,0, sizeof (map)); for ( int i = 0 ; i < m ; i++) { scanf( "%d%d" ,&u,&v); if (!map[u][v]) //考虑重边 { indegree[v]++; //连接v的边的条数 map[u][v] = 1; //标记u v已经连接 } } topu(); } return 0; } |
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