数位dp

数位dp

应用场所：

大多应用于求解一段很长的区间内，符合条件的数的个数。一般情况是用于计数问题。

先看一个模板题：

令 $d{p}_i$ 表示满 $i$ 位数每个数字的个数。
为什么不用单独讨论不同的数字？
因为对于不考虑前导零而言，满 $i$ 位数的所有数字中数字 $j$ 出现的次数是相同的。
转移 $d{p}_i=d{p}_{i-1}\times 10+{10}^{i-1}$

证明：

1. 递推证明：对于一个数字 $j$ 以计算 $d{p}_2$ 为例。计算 $d{p}_2$ 时， $j$ 在个位上出现了 $d{p}_{i-1}\times 10=d{p}_1\times 10=10$ 次。因为如果只有一位的话不管是什么数字都只出现了一次。而 $j$ 在十位上出现了 ${10}^{i-1}={10}^{2-1}=10$ 次