数学基础

数学:

一:整除

概念:

如果 A 能整除 B 则记之为 A|B 即存在一个数 kZ 使 Ak=B。即 BA 的倍数。

性质:

1. 如果 a|b,b|c 那么 a|c 表明整除具有传递性。
2. 如果 a|b,a|c 那么对于任意整数对 (x,y) 满足 xZ,yZ 都有 a|bx+cy

下面证明这两个性质。

证明性质1:

因为 a|b,所以 b=xa,xZ
因为 b|c,所以 c=yb,yZ
综上所以 c=yb,即 c=y×(xa)=xya
因为 xZ,yZ,所以 xyZ,所以 a|c

证明性质2:

因为 a|b 所以 b=ka,kZ
因为 a|c 所以 c=Ka,KZ
因为对于任意整数对 (x,y) 满足 xZ,yZ 所以 bxZ,cyZ
综上;故:原式 bx+cy=kax+Kay 合并同类项得 bx+cy=a(kx+Ky)
因为 kZ,xZ,KZ,yZ,所以 kxZ,KyZ
所以 kx+KyZ
至此原式得:a|a×(kx+Ky)
所以,对于任意整数对 (x,y) 满足 xZ,yZ 都有 a|bx+cy

证明题:

一:设 a|n,b|n 且存在整数 ax+by=1,证明 ab|n
证明:

因为 a|n,b|n 所以 n=ka,n=Kb,kZ,KZ
因为 ax+by=1
所以 n=n×(ax+by)
n=nax+nby
n=(Kb)ax+(ka)by
n=Kabx+kaby
n=ab(Kx+ky)
因为 KZ,xZ,kZ,yZ
所以 KxZ,kyZ
所以 Kx+kyZ
所以 ab|n

二:exgcd算法

形如求解 ax+by=c 知道 a,b,c 求解整数解 x,y 的值。
通常使用 exgcd 算法求解。
首先考虑无整数解的情况,根据贝祖定理,对于 aZ,bZ,cZ 如果有两个整数 x,y 满足 ax+by=c 那么 c=k×gcd(a,b),kZ
即:如果 cmodgcd(a,b)!=0 那么就无解。
如果有解,那么:
ax+by=gcd(a,b)bx+(amodb)y=gcd(b,amodb)
因为 gcd(a,b)=gcd(b,amodb)
所以 ax+by=bx+(amodb)y
因为 amodb=aa/b×b
所以原式为 ax+by=bx+(aa/b×b)y
化简下得:ax+by=bx+aya/bby
也就是 ax+by=b(xa/by)+ay
所以 x=y,y=xa/by
但是这么做只能求出 ax+by=gcd(a,b) 的特解,并不能求出 ax+by=c 的特解,但是因为贝祖定理得 c=k×gcd(a,b),kZ 所以将两边同时乘 c/gcd(a,b) 因为 cmodgcd(a,b)=0 所以 c/gcd(a,b)Z
又因为 x,yZ 所以 x×(c/gcd(a,b))Z 同理 y×(c/gcd(a,b))Z。所以不用担心是不是整数的问题。
模板题:
https://www.luogu.com.cn/problem/CF7C
代码:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef __int128 ll;
ll a,b,x,y,c;
 
ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){
	if(!b){
		x=1,y=0;
		return a;
	}
	ll d=exgcd(b,a%b,x,y);
	ll t=x;
	x=y;
	y=t-(a/b)*y; 
	return d;
}
template<typename T>inline void rd(T&r){
	r=0;char c=getchar(),m=1;
	for(;!isdigit(c);c=getchar()){
		if(c=='-')m=-1;
	}
	for(;isdigit(c);c=getchar()){
		r=(r<<3)+(r<<1)+(c^48);
	}
	r*=m;
}
template<typename T>inline void wt(T r){
	if(r<0){
		putchar('-');wt(-r);return;
	}
	if(r>9) wt(r/10);
	putchar(r%10+'0');
}
int main(){
	rd(a);rd(b);rd(c);
	c=-c;
	ll g=exgcd(a,b,x,y);
	if(c%g){
		puts("-1");
		return 0;
	}
	ll t=c/g;
	wt(x*t);
	putchar(' ');
	wt(y*t);
	putchar('\n');
	return 0;
}
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