TAOCP(1):算法初步

何谓算法？

    算法即一个有穷规则的集合，其中之规则规定了一个解决某一特定类型问题的运算序列；它有5个主要特性：

1. 有穷性：在执行有穷步后结束

2. 确定性：算法的每一个步骤，都必须是确切定义的

3. 输入

4. 输出

5. 能行性：他们原则上都是能够精确地进行的。而且人们用笔和纸做有穷次即可完成。

 

算法举例：

欧几里德求最大公约数：给定两个正整数m，n，求最大公约数

E1.（求余数）以n除m并令r为余数（0<= r < n）

E2. (余数为0？) 若r=0，算法结束，n为答案

E3. (互换) 置m<-n, n<-r, 返回E1

python实现：

Example Source Code [http://www.cnblogs.com/tomsheep/]

 

#递归实现

def gcd1(m, n):
    r = m%n
    if r==0:return n
    else: return gcd1(n, r)
#非递归实现    
def gcd2(m, n):
    r = m%n 
    while(r):
        m = n
        n = r 
        r = m%n 
    return n

算法的集合表示：

    一个计算方法是一个四元组（Q, I, Ω, f），其中Q是一个包含子集I和Ω的集合，f是由Q到它自身的一个函数。其次，Ω的每个元素是f的不动点，即对Ω的任意元素q，f(q) = q。这四个部分Q,I,Ω,f分别用来表示计算的状态，输入，输出和计算规则。集合I中每个输入x定义一个计算序列x0,x1,…  满足x0 = x, 并且x[k+1] = f(x[k]) , k>=0.

    计算序列在k步终止的含义是：如果k是使x[k]在Ω中的最小整数，而且在这种情况下我们说由x产生x[k]。某些计算序列可能永不终止。

    一个算法是对于I中的所有x，都在有穷步内终止的一个计算方法。

 

以上述欧几里德最大公约数算法为例:

    Q是所有单个数（n）、所有有序偶（m, n）和所有有序四元组（m, n, r, 1）,(m, n, r, 2)以及（m, n, p, 3）的集合；其中m，n，p是正整数，而r是一个非负整数。I是所有有序偶（m, n）组成的子集，Ω是所有单个数（n）组成的子集。f定义为：

f(m, n) = (m, n, 0, 1); f(n) = (n);

f(m, n, r, 1) = (m, n, m%n, 2);

f(m, n, r, 2) = 如果r = 0，则（n）；否则（m, n, r, 3）

f(m, n, p, 3) = (n, p, p, 1).

注意，算法的上述形式化并不包括先前说的“能行性”，例如，Q可以表示不能用笔和纸的方法来计算的无穷序列，或者f包括了人类通常不能实施的运算。