TAOCP(1):算法初步
何谓算法?
算法即一个有穷规则的集合,其中之规则规定了一个解决某一特定类型问题的运算序列;它有5个主要特性:
1. 有穷性:在执行有穷步后结束
2. 确定性:算法的每一个步骤,都必须是确切定义的
3. 输入
4. 输出
5. 能行性:他们原则上都是能够精确地进行的。而且人们用笔和纸做有穷次即可完成。
算法举例:
欧几里德求最大公约数:给定两个正整数m,n,求最大公约数
E1.(求余数)以n除m并令r为余数(0<= r < n)
E2. (余数为0?) 若r=0,算法结束,n为答案
E3. (互换) 置m<-n, n<-r, 返回E1
python实现:
def gcd1(m, n): r = m%n if r==0:return n else: return gcd1(n, r) #非递归实现 def gcd2(m, n): r = m%n while(r): m = n n = r r = m%n return n
算法的集合表示:
一个计算方法是一个四元组(Q, I, Ω, f),其中Q是一个包含子集I和Ω的集合,f是由Q到它自身的一个函数。其次,Ω的每个元素是f的不动点,即对Ω的任意元素q,f(q) = q。这四个部分Q,I,Ω,f分别用来表示计算的状态,输入,输出和计算规则。集合I中每个输入x定义一个计算序列x0,x1,… 满足x0 = x, 并且x[k+1] = f(x[k]) , k>=0.
计算序列在k步终止的含义是:如果k是使x[k]在Ω中的最小整数,而且在这种情况下我们说由x产生x[k]。某些计算序列可能永不终止。
一个算法是对于I中的所有x,都在有穷步内终止的一个计算方法。
以上述欧几里德最大公约数算法为例:
Q是所有单个数(n)、所有有序偶(m, n)和所有有序四元组(m, n, r, 1),(m, n, r, 2)以及(m, n, p, 3)的集合;其中m,n,p是正整数,而r是一个非负整数。I是所有有序偶(m, n)组成的子集,Ω是所有单个数(n)组成的子集。f定义为:
f(m, n) = (m, n, 0, 1); f(n) = (n);
f(m, n, r, 1) = (m, n, m%n, 2);
f(m, n, r, 2) = 如果r = 0,则(n);否则(m, n, r, 3)
f(m, n, p, 3) = (n, p, p, 1).
注意,算法的上述形式化并不包括先前说的“能行性”,例如,Q可以表示不能用笔和纸的方法来计算的无穷序列,或者f包括了人类通常不能实施的运算。
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