试除法求约数&判定素数

给一个数n, 求[1, n]内的所有约数

由于当\(i | n\)，必有\((n / i) | n\)，并且这两个约数关于\(\sqrt n\)对称，所以要枚举出所有的约数，只需要枚举到\(1,...,[\sqrt n]\)的约数即可，并且对于任意的\(i \in \{1,... [\sqrt n]\}\)都有\(i < n / i\)，当\(i = \sqrt n\)时，\(i \le n / i\)，而当\(i = [\sqrt n] + 1, ..., n\)时，都有$i > n / i $, 所以以下三种循环方法等价（1，3两种不推荐，1慢，3溢出风险）。

1. for(int i = 1; i <= sqrt(n); i ++)
2. for(int i = 1; i <= n / i; i ++)
3. for(int i = 1; i * i <= n; i ++)

注：n为完全平方数的时候sqrt(n) | n，但此时sqrt(n)和n / sqrt(n)只能算作一个约数，因为他俩相等。此算法时间复杂度为固定值\(O(\sqrt n)\)

#include<iostream>
#include<vector>

using namespace std;

vector<int> res;
int n;

int main(){
	cin >> n;
	
	for(int i = 1; i <= n / i; i ++)
		if(n % i == 0){
			res.push_back(i);
			if(i < n / i)
				res.push_back(n / i);
		}
	
	for(auto t : res) cout << t << ' ';
	
	return 0;
}

判断素数

素数：当n的约数只有1和他本身，那么n为素数

所以判断一个数是不是素数只需要判断在\(2,..., [\sqrt n]\)内有没有它的约数即可。

#include<iostream>

using namespace std;

int n;

int isprime(int a){
	if(a < 2) return 0;
	
	for(int i = 2; i <= a / i; i ++)
		if(a % i == 0) return 0;
	
	return 1;
}

int main(){
	cin >> n;
	
	while(n --){
		int a;
		cin >> a;
		
		if(isprime(a)) cout << "Yes" << endl;
		else cout << "No" << endl;
	}
	
	return 0;
}