完全背包

完全背包：每一种物品可以选任意多次的背包问题。

经过分析，可以在01背包的代码基础上，增加一层循环，有以下暴力代码\(O(n^3)\)

#include<iostream>
using namespace std;

const int N = 1010;

int n, m;
int w[N], v[N];
int f[N][N];

int main(){
    cin >> n >> m;
    
    for(int i = 1; i <= n; i ++) cin >> v[i] >> w[i];
    
    //f[0][1 ~ m] = 0;
    
    for(int i = 1; i <= n; i ++){
        for(int j = 1; j <= m; j ++){
            f[i][j] = f[i - 1][j];
            int k = j / v[i];
            for(int t = 1; t <= k; t ++)
                f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - t * v[i]] + t * w[i]);
        }
    }
    
    cout << f[n][m];
    
    return 0;
}

时间上需要优化：
由上图：
\(f(i, j) = max(f(i - 1, j), f(i - 1, j - v[i]) + w[i], f(i - 1, j - 2 * v[i]) + 2 * w[i], ... , f(i - 1, j - k * v[i]) + k*w[i], ...)\)
做一个变量代换，将上式中的j换成\(j - v[i]\)
得\(f(i, j - v[i]) = max(f(i - 1, j - v[i]), f(i - 1, j - 2 * v[i]) + w[i],...)\)
发现第一个式子中\(max(f(i - 1, j), 后面一坨)\)中 \(后面一坨 = max(f(i - 1, j - v[i]) + w[i], f(i - 1, j - 2 * v[i]) + 2 * w[i], ...) = max(f(i - 1, j - v[i]), f(i - 1, j - 2 * v[i]) + w[i], ...) + w[i] = f(i, j - v[i]) + w[i]\)
所以得到\(f(i, j) = max(f(i - 1, j), f(i, j - v[i]) + w[i])\)
所以就可以把上面得第三重循环优化成O(1)的了

#include<iostream>
using namespace std;

const int N = 1010;

int n, m;
int w[N], v[N];
int f[N][N];

int main(){
    cin >> n >> m;
    
    for(int i = 1; i <= n; i ++) cin >> v[i] >> w[i];
    
    //f[0][1 ~ m] = 0;
    
    for(int i = 1; i <= n; i ++){
        for(int j = 1; j <= m; j ++){
           f[i][j] = f[i - 1][j];
           if(j >= v[i]) f[i][j] = max(f[i][j], f[i][j - v[i]] + w[i]);
        }
    }
    
    cout << f[n][m];
    
    return 0;
}

最后通过代码等价变形的方法，把空间优化成1维

#include<iostream>
using namespace std;

const int N = 1010;

int n, m;
int w[N], v[N];
int f[N];

int main(){
    cin >> n >> m;
    
    for(int i = 1; i <= n; i ++) cin >> v[i] >> w[i];
    
    for(int i = 1; i <= n; i ++)
        for(int j = v[i]; j <= m; j ++)
            f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]); // 此处正好需要的是第i层的f[j - v[i]],所以第二重循环不需要倒着来
    
    cout << f[m];
    
    return 0;
}