1209. 带分数

100可以表示为带分数的形式：100=3+69258/714还可以表示为：100=82+3546/197.
注意特征：带分数中，数字 1∼9分别出现且只出现一次（不包含 0）。类似这样的带分数，100有 11种表示法。

输入格式
一个正整数。
输出格式
输出输入数字用数码 1∼9不重复不遗漏地组成带分数表示的全部种数。
数据范围
1≤N<10^6
输入样例1：
100
输出样例1：
11
输入样例2：
105
输出样例2：
6

思路

1. 很暴力的方法，先搞出来1-9的全排列，再隔两个版，然后算一下符不符合答案，就行。
2. 比较优化的方法是把式子看成n = a + b / c, 可以得到n * c = a * c + b, 然后枚举a，在a的递归树的叶子处再搜索c，然后通过a和c算出b，检查b是否满足条件（1～9全取遍，不重不漏）。

暴力代码

#include<iostream>
using namespace std;

const int N = 20;

int st[N];
int n, cnt;
int res[N];

int get(int l, int r){
    int ans = 0;
    while(l <= r){
        ans = ans * 10 + res[l];
        l ++;
    }

    return ans;
}

void dfs(int k){
    if(k == 9){

        for(int i = 0; i < k; i ++)
            for(int j = i + 1; j < k - 1; j ++){
                int a = get(0, i), b = get(i + 1, j), c = get(j + 1, k - 1);
                if(b % c == 0 && a + b / c == n) cnt ++;
            }
        return;
    }

    for(int i = 1; i <= 9; i ++){
        if(st[i] == 0){
            st[i] = 1;
            res[k] = i;
            dfs(k + 1);
            st[i] = 0;
        }
    }
}

int main(){
    cin >> n;

    dfs(0);

    cout << cnt << endl;
}

优化代码

#include<iostream>
#include<cstring>

using namespace std;

const int N = 20;

int n;
int st[N], backup[N];
int cnt;

int check(int a, int c){
    memcpy(backup, st, sizeof st);

    int b = (n - a) * c;

    while(b){
        int x = b % 10;
        b /= 10;
        if(backup[x] || x == 0) return 0;
        backup[x] = 1;
    }

    for(int i = 1; i <= 9; i ++)
        if(backup[i] == 0) return 0;

    return 1;
}

void dfs_c(int a, int c, int u){
    if(u == n) return;

    if(check(a, c)) cnt ++;

    for(int i = 1; i <= 9; i ++){
        if(st[i] == 0){
            st[i] = 1;
            dfs_c(a, c * 10 + i, u + 1);
            st[i] = 0;
        }
    }
}

void dfs_a(int a, int u){
    if(a >= n) return;

    if(a) dfs_c(a, 0, u);

    for(int i = 1; i <= 9; i ++){
        if(st[i] == 0){
            st[i] = 1;
            dfs_a(a * 10 + i, u + 1);
            st[i] = 0;
        }
    }
}

int main(){
    cin >> n;

    dfs_a(0, 0);

    cout << cnt;
}