洛谷-P2258 子矩阵

子矩阵

题目描述

给出如下定义：

1. 子矩阵：从一个矩阵当中选取某些行和某些列交叉位置所组成的新矩阵（保持行与列的相对顺序）被称为原矩阵的一个子矩阵。

例如，下面左图中选取第22、44行和第22、44、55列交叉位置的元素得到一个2 \times 32×3的子矩阵如右图所示。

9 3 3 3 9

9 4 8 7 4

1 7 4 6 6

6 8 5 6 9

7 4 5 6 1

的其中一个2 \times 32×3的子矩阵是

4 7 4

8 6 9

2. 相邻的元素：矩阵中的某个元素与其上下左右四个元素（如果存在的话）是相邻的。

3. 矩阵的分值：矩阵中每一对相邻元素之差的绝对值之和。

本题任务：给定一个n行m列的正整数矩阵，请你从这个矩阵中选出一个r行c列的子矩阵，使得这个子矩阵的分值最小，并输出这个分值。

题目链接：https://www.luogu.com.cn/problem/P2258

解题思路：对行进行枚举（dfs确定选择哪些行，对列进行dp）通过dp求解即可

• #include<bits/stdc++.h>
  using namespace std;
  const int maxn=60;
  const int inf=0x3f3f3f3f;
  int n,m,r,c,ans;
  int R[maxn],cost[maxn][maxn],dp[maxn][maxn],a[maxn][maxn],val[maxn];
  //R表示需要选择哪些行，cost表示选择两列所增加的分值
  //val表示选择列中增加的值，dp[i][j]表示前i列中选取j列所需要的能量值
  int getdp()
  {
      int res=inf;
      for(int i=1;i<=m;i++)
      {
          val[i]=0;
          for(int j=1;j<r;j++)
          {
              val[i]+=abs(a[R[j]][i]-a[R[j+1]][i]);
          }
      }
      for(int i=1;i<=m;i++)
      {
          for(int j=i+1;j<=m;j++)
          {
              cost[i][j]=0;
              for(int k=1;k<=r;k++)
              {
                  cost[i][j]+=abs(a[R[k]][i]-a[R[k]][j]);
              }
          }
      }
      for(int i=1;i<=m;i++) //假设第i列已经选取，只需要dp前i-1列中选取j-1列所需要的最小值即可
      {
          for(int j=1;j<=i&&j<=c;j++)
          {
              dp[i][j]=1e9;
              for(int k=j-1;k<i;k++)
                dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[k][j-1]+cost[k][i]+val[i]);
          }
      }
      for(int i=c;i<=m;i++) res=min(res,dp[i][c]);
      return res;
  }
  void dfs(int now,int cnt)
  {
      if(now>n)
      {
          if(cnt==r) ans=min(ans,getdp());
          return ;
      }
      dfs(now+1,cnt);
      R[cnt+1]=now;
      dfs(now+1,cnt+1);
      return ;
  }
  int main()
  {
      cin>>n>>m>>r>>c;
       for(int i=1;i<=n;i++)
       {
           for(int j=1;j<=m;j++)
           {
                cin>>a[i][j];
           }
  
       }
       ans=inf;
       dfs(1,0);
       cout<<ans<<endl;
       return 0;
  }