游戏AI：（一）图、树与寻路算法
一、图
无向图：
有向图：
权重图：
哈密顿图：
定义：经过所有的顶点并且只经过一次的路径，叫哈密顿路径，闭合的哈密顿路径叫哈密顿回路。
例如送快递，快递车从快递公司出发，遍历每个小区，且每个小区只去一次，最后回到快递公司。这就是一条哈密顿回路。
那么怎么表示图上节点之间的关系呢？
方法一：01矩阵（0表示没有路径，1表示有路径）
上图用01矩阵表示如下：
[1 1 0 0] //1和1有路径是因为上图中1有一个回路
[1 0 1 0]
[0 1 0 1]
[0 0 1 0]
方法二：链表
1->1->2
2->1->3
3->2->4
4->3
哪种方式更好要看具体情况，链表没有冗余信息，有就是有，没有就不写。矩阵则把所有信息都表示出来了，但是在游戏里，有时地图数据是从json文件里读出来的，这样就可以把配置地图工作交给策划，用一个矩阵来表示地图上的每个点会很方便，点可以定义成一个类，所以每个点可以表示很多信息。
二、树
二叉树：什么是二叉树？国家出台二胎法，要求每个家庭最多可以生两个孩子，所以只要有一个节点生了三个子树那就违法了，赶出二叉树家族。
满二叉树：他是二叉树家族的一员，所以也在二胎法环境下，但他们家多了一条家训，每个家庭要么不生，要生就必须生两个。生一个的非吾族类，虽远必诛。
完全二叉树：
满二叉树也是完全二叉树。
前面生一个的被满二叉树家族排挤了，完全二叉树长老说，别怕，来我这儿，但是你生的这一个是儿子还是女儿啊？这男左女右，要是你生的是儿子(左子树)，我就让你加入，你只有一个女儿(右子树)那就不行了。
所以完全二叉树家族的家训是，要么不生，要么先生儿子(左子树)。
平衡二叉树：左右子树的深度差<=1，通俗来说就是：我兄弟（兄弟节点：就是同一个妈生的左子树和右子树）有孩子（不管左右）了，我还没有，我不着急。但是我兄弟有孙子（子孙节点）了，我连孩子都没有，我就不平衡了。
二叉查找树：
对于每个根节点，左节点值小于父节点，右节点值大于父节点。
红黑树：
红黑树是每个结点都带有颜色属性的二叉查找树，颜色或红色或黑色。
寻路算法
1. 广度优先搜索 BFS & 深度优先搜索 DFS
广度优先搜索 BFS：顾名思义，广度优先就是从根节点出发，先遍历它所有的子节点，再遍历第一个子节点所有的子节点，一层一层下去。
优点：可以找出最短路径
缺点：遍历了所有顶点
深度优先搜索 DFS：从根节点出发，先访问它的子节点，然后是子节点的子节点，一直访问到叶子节点，再一层层回溯前面的过程。
缺点：找到的路径往往不是最短的
2. Dijkstra 算法
采用贪心算法策略，每次都选择距离最短的节点。
A* 算法
g(n)表示该点距离起点的代价，h(n)表示该点距离终点的代价。所以这个点的总开销=到起点的代价+到终点的代价。
下面讨论几种情况：
h(n)=0 ： 即只有g(n)在起作用，总开销=到起点的代价，那么每次都会选择距离最近的点，这等同于Dijkstra算法。
g(n)=0 ：即只有h(n)在起作用，总开销=到终点的代价，这种情况叫最佳优先搜索算法。
那么怎么求代价呢？
如果只能上下左右四方向移动，那么可以用曼哈顿距离，即 abs(node.x-nextNode.x)+abs(node.y-nextNode.y)
如果可以走斜线，那么可以用欧几里得距离，计算三角形的对角线就行了。sqrt(pow(abs(node.x-nextNode.x),2)+pow(abs(node.y-nextNode.y),2))，不用真的每次都傻傻的计算这么大一串，一般我们取的是边长为1的正方形，按曼哈顿距离，到达对角顶点每次要走两条边，按欧几里得距离直接走对角线，就是sqrt(2)，约等1.4。
下面我们用Unity来测试一下A*算法：
1）先创建Node类，这个类得包含坐标，父节点，该节点是路还是障碍，寻路消耗
1 public enum NodeType 2 { 3 Walk, 4 Stop 5 } 6 public class Node 7 { 8 //坐标 9 public int x; 10 public int y; 11 //父节点 12 public Node father; 13 //节点能不能走 14 public NodeType type; 15 //寻路消耗 16 public float G; 17 public float H; 18 public float F; 19 public Node(int x,int y,NodeType type) 20 { 21 this.x = x; 22 this.y = y; 23 this.type = type; 24 } 25 public void SetNode(Node father,float g,float h) 26 { 27 this.father = father; 28 this.G = g; 29 this.H = h; 30 this.F = g + h; 31 } 32 }
2 )创建AStar寻路算法类
1 public class AStar :MonoBehaviour 2 { 3 public static AStar instance; //这里只是为了方便使用，这种写法并不规范 4 5 int mapWidth; 6 int mapHight; 7 8 public Node[,] nodes; 9 List<Node> openList = new List<Node>(); 10 List<Node> closeList = new List<Node>(); 11 private void Awake() 12 { 13 instance = this; 14 } 15 public void InitMap(int w,int h) 16 { 17 mapWidth = w; 18 mapHight = h; 19 nodes = new Node[w, h]; 20 //随机生成地图 21 for(int i = 0; i < w; i++) 22 { 23 for(int j = 0; j < h; j++) 24 { 25 Node node = new Node(i, j, Random.Range(0, 10) < 3 ? NodeType.Stop : NodeType.Walk); 26 nodes[i, j] = node; 27 } 28 } 29 } 30 public List<Node> FindPath(Vector2 startPos,Vector2 endPos) 31 { 32 //判断传入的两个点是否合法 33 if (startPos.x < 0 || startPos.x > mapWidth || startPos.y < 0 || startPos.y > mapHight 34 || endPos.x < 0 || endPos.x > mapWidth || endPos.y < 0 || endPos.y > mapHight) 35 { 36 Debug.Log("开始或结束结点超出地图范围"); 37 return null; 38 } 39 Node startNode = nodes[(int)startPos.x, (int)startPos.y]; 40 Node endNode = nodes[(int)endPos.x,(int)endPos.y]; 41 if (startNode.type == NodeType.Stop || endNode.type == NodeType.Stop) 42 { 43 Debug.Log("开始或结束结点是阻挡物"); 44 return null; 45 } 46 47 //清空关闭和开启列表 48 openList.Clear(); 49 closeList.Clear(); 50 51 //开始点放入关闭列表中 52 startNode.SetNode(null, 0, 0); 53 closeList.Add(startNode); 54 55 while (true) 56 { 57 //从起点开始找周围的点 58 //左上 59 FindNeighbors(startNode.x - 1, startNode.y - 1, startNode, 1.4f, endPos); 60 //上 61 FindNeighbors(startNode.x, startNode.y - 1, startNode, 1.4f, endPos); 62 //右上 63 FindNeighbors(startNode.x + 1, startNode.y - 1, startNode, 1.4f, endPos); 64 //左 65 FindNeighbors(startNode.x - 1, startNode.y, startNode, 1.4f, endPos); 66 //右 67 FindNeighbors(startNode.x + 1, startNode.y, startNode, 1.4f, endPos); 68 //左下 69 FindNeighbors(startNode.x - 1, startNode.y + 1, startNode, 1.4f, endPos); 70 //下 71 FindNeighbors(startNode.x, startNode.y + 1, startNode, 1.4f, endPos); 72 //右下 73 FindNeighbors(startNode.x + 1, startNode.y + 1, startNode, 1.4f, endPos); 74 75 //选出开启列表中F值最小的点 76 openList.Sort(CompareNode); 77 78 //放入关闭列表中，并从开启列表移除 79 closeList.Add(openList[0]); 80 startNode = openList[0]; 81 openList.RemoveAt(0); 82 83 //如果这个点是终点，则返回结果 84 if (startNode==endNode) 85 { 86 return closeList; 87 } 88 } 89 } 90 private void FindNeighbors(int x,int y,Node father,float g,Vector2 endPos) 91 { 92 //判断这些点是否是边界或阻挡或在开启或关闭列表中，都不是才能放入开启列表中 93 if (x < 0 || x >= mapWidth || y < 0 || y >= mapHight) 94 return; 95 Node node = nodes[x, y]; 96 if (node == null || node.type == NodeType.Stop || 97 closeList.Contains(node) || openList.Contains(node)) 98 return; 99 //我离起点的距离=我父亲离起点的距离+我离父亲的距离 100 node.SetNode(father, father.G + g, Mathf.Abs(node.x - endPos.x) + Mathf.Abs(node.y - endPos.y)); 101 openList.Add(node); 102 } 103 private int CompareNode(Node a,Node b) 104 { 105 if (a.F > b.F) 106 return 1; 107 else 108 return -1; 109 } 110 }
3）接下来是测试的代码
1 public class Test : MonoBehaviour 2 { 3 //格子坐标 4 public int beginX=-3; 5 public int beginY=3; 6 //格子之间的偏移位置 7 public int offsetX=1; 8 public int offsetY=-1; 9 //地图大小 10 public int mapWidth=5; 11 public int mapHeight=5; 12 13 private Vector2 beginPos = Vector2.right * -1; 14 private Dictionary<string, GameObject> cubes = new Dictionary<string, GameObject>(); 15 private void Start() 16 { 17 AStar.instance.InitMap(mapWidth, mapHeight); 18 for(int i = 0; i < mapWidth; i++) 19 { 20 for(int j = 0; j < mapHeight; j++) 21 { 22 GameObject obj = GameObject.CreatePrimitive(PrimitiveType.Cube); 23 obj.transform.position = new Vector3(beginX + i * offsetX, beginY + j * offsetY, 0); 24 obj.name = i + "_" + j; 25 cubes.Add(obj.name, obj); 26 Node node = AStar.instance.nodes[i, j]; 27 if (node.type == NodeType.Stop) 28 { 29 obj.GetComponent<MeshRenderer>().material.color = Color.red; 30 } 31 } 32 } 33 } 34 private void Update() 35 { 36 if (Input.GetMouseButtonDown(0)) 37 { 38 RaycastHit hitInfo; 39 Ray ray = Camera.main.ScreenPointToRay(Input.mousePosition); 40 if(Physics.Raycast(ray,out hitInfo, 1000)) 41 { 42 if (beginPos == Vector2.right * -1) 43 { 44 string[] strs = hitInfo.collider.gameObject.name.Split('_'); 45 beginPos = new Vector2(int.Parse(strs[0]), int.Parse(strs[1])); 46 hitInfo.collider.gameObject.GetComponent<MeshRenderer>().material.color = Color.yellow; 47 } 48 else 49 { 50 string[] strs = hitInfo.collider.gameObject.name.Split('_'); 51 Vector2 endPos = new Vector2(int.Parse(strs[0]), int.Parse(strs[1])); 52 hitInfo.collider.gameObject.GetComponent<MeshRenderer>().material.color = Color.yellow; 53 List<Node> list = AStar.instance.FindPath(beginPos, endPos); 54 if (list != null) 55 { 56 for(int i = 0; i < list.Count; i++) 57 { 58 cubes[list[i].x + "_" + list[i].y].GetComponent<MeshRenderer>().material.color = Color.green; 59 } 60 } 61 } 62 63 } 64 65 } 66 } 67 }
测试结果：
