Unity Shader：（三）数学基础

一、矢量和标量

矢量：包含了模和方向。如 以10km/h的速度向北骑行。

区别于点：矢量是一个相对量，所在位置不重要，只要模和方向一致就是相等的。而点表示的就是一个位置。

标量：只有模没有方向。如 家距离学校1公里。

 

矢量运算：记住矢量的位置并不重要，可以通过移动矢量的位置，来做矢量运算。

B点到A点的位移可以用a-b得到的矢量表示。

 

 

 

 

单位矢量：在实际使用中，我们常常只关注矢量的方向，不关注大小，把矢量转换成单位矢量的过程叫做归一化。

 

数学公式是：单位矢量=矢量/矢量的模

 

 

 

矢量乘法：点积和叉积 （重中之重!!!） 

 

点积：结果是一个标量，表示两个向量的相似度，值越大越相似。

数学公式一：a·b = (a_x,a_y,a_z)·(b_x,b_y,b_z) = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z

 

几何意义：a·b等同于b在a方向上的投影值再乘以a的长度。

 

 

 数学公式二：a·b = |a||b|cosθ

叉积：结果是一个矢量，表示两个向量组成平面的法向量。

 

 

数学公式一：a×b = (a_x,a_y,a_z)×(b_x,b_y,b_z) = ( a_y b_z - a_z b_y , a_z b_x - a_x b_z , a_x b_y - a_y b_x )

a_x    a_y    a_{z         很不好记吧。下次遇到怎么办呢？先在草稿纸上把两个向量列出来，如左边所示。}

                         求x要遮住第一列，然后按yz的顺序，画叉叉。

b_x    b_y    b_{z         求y要遮住第二列，然后按zx的顺序，画叉叉。}

                         _{求z要遮住第三列，然后按xy的顺序，画叉叉。}

数学公式二：|a×b| = |a||b|sinθ

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例题：场景中有一个NPC位于点P处，他的前方用矢量V表示，玩家在X点处。

Q1: 判断玩家在NPC的哪个方向？　　(X-P)·V 大于0表示玩家和NPC之间的夹角<90°，玩家在NPC前方。小于0表示夹角>90°，玩家在NPC后方。等于0表示夹角=90°，玩家在NPC左/右。

Q2: NPC的视角角度是φ，判断玩家是否在NPC视角内？    全视角角度是φ，代表能看到左右φ/2的角度。通过点乘 (X-P)·V=|(X-P)||V|cosθ 公式反求得cosθ，cosθ>=cosφ/2表示θ<=φ/2，能看见。

Q3：NPC的观察距离也有限制？    |X-P| <= 观察距离

 

二、矩阵

1. 方块矩阵(方阵)：行和列相等的矩阵。

2. 对角矩阵：除了对角线上的元素外其余都为0。

3. 单位矩阵：对角线上元素都是1的对角矩阵，任何矩阵乘以单位矩阵都还是原来的矩阵。

4. 转置矩阵：转换行列矩阵，r×c变成c×r矩阵，C_ij 变成 C_ji 。(AB)^T = B^T A^T 。

5. 逆矩阵：方阵乘以它的逆矩阵结果为单位矩阵。一个矩阵可以表示一个变换，那么逆矩阵就可以还原这个变换。

6. 正交矩阵：方阵乘以它的转置矩阵结果为单位矩阵。欸？跟上一个好像。所以也有，正交矩阵的转置矩阵和逆矩阵相等。

这有什么用呢？因为Shader里经常需要求还原矩阵，可以用这个性质直接求转置矩阵更简单。

但要先判断是否是正交矩阵，所以就有了更重要的推论：正交矩阵的每一行/列元素是单位矢量，而且元素之间互相垂直。

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矩阵的几何意义：可以用矩阵来表示一个变换，这个变换包括：旋转、缩放、平移。

基础变换矩阵共同点：[M_3×3 t_3×1]

                                    [0_1×3       1]

M表示旋转和缩放，t表示平移。

所以，平移矩阵的长相应该只跟t有关，M是单位矩阵表示不做旋转和缩放变换。

平移矩阵：[1 0 0 t_x]

                  [0 1 0 t_y]

                  [0 0 1 t_z]

                  [0 0 0 1]

所以，缩放矩阵跟M有关。

缩放矩阵：[k_x 0 0 0]

                  [0 k_x 0 0]

                  [0 0 k_x 0]

                  [0 0 0 1]

旋转矩阵，这就比较复杂了，绕x,y,z轴旋转的矩阵不一样！不过旋转矩阵是正交矩阵。

绕X轴旋转θ度：[1 0 0 0]

                          [0 cosθ -sinθ 0]

                          [0 sinθ cosθ 0]

                          [0 0 0 1]

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绕Y轴旋转θ度：[cosθ 0 sinθ 0]

                          [0 1 0 0]

                          [-sinθ 0 cosθ 0]

                          [0 0 0 1]

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绕Z轴旋转θ度：[cosθ -sinθ 0 0]

                          [sinθ cosθ 0 0]

                          [0 0 1 0]

                          [0 0 0 1]

复合变换：既旋转又缩放还平移。我们约定的变换顺序是：先缩放，再旋转，后平移。如果用数学表达式，那么这是三个矩阵，计算顺序从右往左。

 

三、空间变换

1.模型空间（局部空间）：看到局部你应该懂了。对应Unity里的局部坐标。

2. 世界空间：根据上一个你应该也懂了。对应Unity里的世界坐标。

3. 观察空间（摄像机空间）：你要看模型的正面，那么相机的正向和模型的正向是对着的。所以观察空间的坐标系是不一样的。观察空间是右手坐标系，Z轴是反的。     

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说到这里不得不说说顶点着色器。

顶点着色器通常串联成一个MVP矩阵，第一步做模型变换（将顶点坐标从模型空间转换到世界空间）；

第二步做观察变换（顶点坐标从世界空间转换到观察空间）；

第三步做投影变换（顶点坐标从观察空间转换到裁剪空间）。

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