五边形数定理

五边形数定理

 

五边形数定理是一个由欧拉发现的数学定理，描述欧拉函数展开式的特性[1] [2]。欧拉函数的展开式如下：

\prod_{n=1}^\infty (1-x^n)=\sum_{k=-\infty}^\infty(-1)^kx^{k(3k-1)/2}=\sum_{k=0}^\infty(-1)^kx^{k(3k\pm 1)/2}.

亦即

(1-x)(1-x^2)(1-x^3) \cdots = 1 - x - x^2 + x^5 + x^7 - x^{12} - x^{15} + x^{22} + x^{26} + \cdots.

欧拉函数展开后，有些次方项被消去，只留下次方项为1, 2, 5, 7, 12, ...的项次，留下来的次方恰为广义五边形数。

若将上式视为幂级数，其收敛半径为1，不过若只是当作形式幂级数（formal power series）来考虑，就不会考虑其收敛半径。

和分割函数的关系

欧拉函数的倒数是分割函数的母函数，亦即：

\frac{1}{\phi(x)}=\sum_{k=0}^\infty p(k) x^k

其中p(k)为k的分割函数。

上式配合五边形数定理，可以得到

(1 - x - x^2 + x^5 + x^7 - x^{12} - x^{15} + x^{22} + x^{26} + \cdots)(1 + p(1)x + p(2)x^2 + p(3)x^3 + \cdots)=1

考虑x^n项的系数，在 n>0 时，等式右侧的系数均为0，比较等式二侧的系数，可得

p(n) - p(n-1) - p(n-2) + p(n-5) + p(n-7) + \cdots=0

因此可得到分割函数p(n)的递归式

p(n) = p(n-1) + p(n-2) - p(n-5) - p(n-7) + \cdots

以n=10为例

p(10) = p(9) + p(8) - p(5) - p(3) = 30 + 22 - 7 - 3 = 42
这样就能在log（n）的时间下得到p(n)的值。
posted @ 2014-08-01 09:56  芷水  阅读(835)  评论(0)  编辑  收藏  举报