湘潭 A simple problem

A simple problem
Accepted : 30		Submit : 303
Time Limit : 15000 MS		Memory Limit : 655360 KB

 

Problem Description

There is a simple problem. Given a number N. you are going to calculate N%1+N%2+N%3+...+N%N.

Input

First line contains an integer T, there are T(1≤T≤50) cases. For each case T. The length N(1≤N≤10¹²).

Output

Output case number first, then the answer.

Sample Input

1
5

Sample Output

Case 1: 4

Source

daizhenyang

 

 学习莫比乌斯反演的时候，用到了一些常数的优化。用这样的方法能够解决这一道题。

 当然找规律也是可以做的，其实都是一样的，只不过从一个归纳的角度去看这一道题。

思路：先举个例子。

15%1 = 0 等差数列！！只不过只有一个数而已么

15%2 = 1 等差数列！！只不过只有一个数而已么

15%3 = 2 等差数列！！只不过只有一个数而已么

15%4 = 3   15%5=0 等差数列！！

15%6 = 3   15%7=1 等差数列！！

15%8 = 7    15%9=6   15%10=5.....  15%14=1   15%15=0 等差数列！！

观察是可以得到的，其实这个是另一个的一种转化。就是/

如果15/i == 15/(i+k) 那么这k个值都是相同。显然 。

比如，拿最后一组来说15/8 == 15/(8+7)，确实是。

那么我们能用到莫比乌斯反演里讲的优化，求区间的上限就可以了。i - 区间上限，就是一个等差数列。

上限的值为(n/(n/i)),解决。

具体见代码：因为在求和过程中会溢出，所以我用java了。

 1// package ttMain;

import java.math.BigInteger;
import java.util.Scanner;

public class Main{

    public static void main(String[] args) {
        Scanner cin = new Scanner(System.in);
        int T = cin.nextInt();
        for(int t=1;t<=T;t++)
        {
            long n = cin.nextInt();
            System.out.println("Case "+t+":"+" "+solve(n));
        }
    }
    
    private static BigInteger solve(long n) {
        
        BigInteger sum = BigInteger.ZERO;
        long d=0 ;
        /**
         * 看起来是一个for，10^12，其实不是的。是sqrt(n).
         * n/i == n/(k+i) 这里节省了很多的.
         */
        for(long i=1,la = 0;i<=n;i=la+1){
            la = n/(n/i);
            if(la==i){ //如果只有一个元素
                sum = sum.add(BigInteger.valueOf(n%i));
                continue;
            }
            //否则算出d
            d = n%(i+1) - n%i;
            sum = sum.add(GetSum(n%i,la-i+1,d));
        }
        return sum;
    }

    private static BigInteger GetSum(long a1, long n,long d) {
        /**
         * 求等差数列前n项和
         */
        BigInteger an = BigInteger.ZERO;
        an = BigInteger.valueOf(a1).
            add(BigInteger.valueOf(n-1).multiply(BigInteger.valueOf(d)));
        BigInteger sumn = BigInteger.valueOf(a1).add(an);
        sumn = sumn.multiply(BigInteger.valueOf(n)).divide(BigInteger.valueOf(2));
        return sumn;
    }
    
}

 

更为一般的情况：

1257: [CQOI2007]余数之和sum

Time Limit: 5 Sec  Memory Limit: 162 MB
Submit: 1743  Solved: 810
[Submit][Status]

Description

给出正整数n和k，计算j(n, k)=k mod 1 + k mod 2 + k mod 3 + … + k mod n的值，其中k mod i表示k除以i的余数。例如j(5, 3)=3 mod 1 + 3 mod 2 + 3 mod 3 + 3 mod 4 + 3 mod 5=0+1+0+3+3=7

Input

输入仅一行，包含两个整数n, k。

Output

输出仅一行，即j(n, k)。

Sample Input

5 3

Sample Output

7

HINT

 

50%的数据满足：1<=n, k<=1000 100%的数据满足：1<=n ,k<=10^9

 

Source

数论

 

源代码改一下就可以

//package ttMain;

import java.math.BigInteger;
import java.util.Scanner;

public class Main{

    public static void main(String[] args) {
        
        Scanner cin = new Scanner(System.in);
        long n = cin.nextLong();
        long k = cin.nextLong();
        BigInteger sum = BigInteger.ZERO;
        if(k<n){
            BigInteger tmpSum = BigInteger.valueOf(k);
            tmpSum = tmpSum.multiply(BigInteger.valueOf(n-k));
            sum = sum.add(tmpSum);
//            System.out.println(tmpSum);
        }
        sum = sum.add(solve(k,n));
        System.out.println(sum);
    }
    
    private static BigInteger solve(long k,long n) {
        
        BigInteger sum = BigInteger.ZERO;
        long d=0 ;
        boolean flag = false;
        /**
         * 看起来是一个for，10^12，其实不是的。是sqrt(k).
         * k/i == k/(k+i) 这里节省了很多的.
         */
        for(long i=1,la = 0;i<=k;i=la+1){
            if(flag) break;
            la = k/(k/i);
            if(k>n && la>=n) {
                la = n;
                flag = true;
            }
            if(la==i){ //如果只有一个元素
                sum = sum.add(BigInteger.valueOf(k%i));
                continue;
            }
            //否则算出d
            d = k%(i+1) - k%i;
            sum = sum.add(GetSum(k%i,la-i+1,d));
        }
        return sum;
    }

    private static BigInteger GetSum(long a1, long n,long d) {
        /**
         * 求等差数列前n项和
         */
        BigInteger an = BigInteger.ZERO;
        an = BigInteger.valueOf(a1).
            add(BigInteger.valueOf(n-1).multiply(BigInteger.valueOf(d)));
        BigInteger sumn = BigInteger.valueOf(a1).add(an);
        sumn = sumn.multiply(BigInteger.valueOf(n)).divide(BigInteger.valueOf(2));
        return sumn;
    }
    
}