数论知识(2)-------------欧拉函数

欧拉函数：一个整数n，小于且和n互质的正整数的个数（包含1）的个数，用φ(n)表示。

完全余数集合:欧拉函数中与n互质的数字的集合.

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性质：

如果n是素数，则 φ(n)=n-1；

求一个数n的所有互素和  sum=φ(n)*n/2;   <==这个性质，很有用。

欧拉定理 ：
对于互质的正整数 a 和 n ，有 aφ(n)  ≡ 1 mod n  。

费马定理 ：
若正整数 a 与素数 p 互质，则有 ap - 1 ≡ 1 mod p 。
证明这个定理非常简单，由于 φ(p) = p -1，代入欧拉定理即可证明。

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补充欧拉公式：

1. pk 的欧拉函数

对于给定的一个素数 p ， φ(p) = p -1。则对于正整数 n = pk ，

φ(n) = pk - pk -1

2. p * q 的欧拉函数

假设 p, q是两个互质的正整数，则 p * q 的欧拉函数为

φ(p * q) = φ(p) * φ(q) ， gcd(p, q) = 1 。

3.任意正整数的欧拉函数

φ(n) =n*(1-1/k1)*(1-1/k2)*......*(1-1/km);

k1,k2...km是n的素数因子

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欧拉单点求值

int Euler(int n)
{
    int temp=n,i;
    for(i=2;i*i<=n;i++)
    {
       if(n%i==0)
       {
           while(n%i==0)
           n=n/i;
           temp=temp/i*(i-1);
       }
    }
    if(n!=1) temp=temp/n*(n-1);
    return temp;
}

 欧拉函数打表

void Euler() //欧拉打表。
{
    int i,j;
    for(i=2;i<=3000000;i++)
    opl[i]=i;
    opl[1]=0;

    for(i=2;i<=3000000;i++)
    if(s[i]==false)
    {
        for(j=i;j<=3000000;j=j+i)
        {
            opl[j]=opl[j]/i*(i-1);
            s[j]=true;
        }
    }
}

还有一种是素数和欧拉表分开的，速度更快。在欧拉题目里有。